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7.【例4】计算:$(x+2)(x-3)-(x+3)(x-3).$
答案
7. 解:原式 = x² - 3x + 2x - 6 - (x² - 3²) = x² - x - 6 - x² + 9 = 3 - x.
解析
【分析】
观察式子结构，运算为两个多项式乘积的差，解题思路如下：1. 分别计算两个乘积项：(x+2)(x-3)无对应简便乘法公式，用多项式乘多项式法则展开；(x+3)(x-3)符合“两数和乘两数差”的结构，优先用平方差公式计算，简化运算。2. 两个乘积项相减时，先把第二个乘积的结果括起来，去括号时注意括号前为负号，括号内每一项都要变号。3. 最后合并同类项得到结果。
【解析】
解：原式 = (x² - 3x + 2x - 6) - (x² - 3²)
= x² - x - 6 - x² + 9
= 3 - x
【答案】
3 - x
【知识点】
多项式乘多项式、平方差公式、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题时要注意观察式子特征，能运用乘法公式的优先使用公式简化计算，去括号时需格外注意符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
观察式子结构，运算为两个多项式乘积的差，解题思路如下：1. 分别计算两个乘积项：(x+2)(x-3)无对应简便乘法公式，用多项式乘多项式法则展开；(x+3)(x-3)符合“两数和乘两数差”的结构，优先用平方差公式计算，简化运算。2. 两个乘积项相减时，先把第二个乘积的结果括起来，去括号时注意括号前为负号，括号内每一项都要变号。3. 最后合并同类项得到结果。
【解析】
解：原式 = (x² - 3x + 2x - 6) - (x² - 3²)
= x² - x - 6 - x² + 9
= 3 - x
【答案】
3 - x
【知识点】
多项式乘多项式、平方差公式、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题时要注意观察式子特征，能运用乘法公式的优先使用公式简化计算，去括号时需格外注意符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
8. 计算:$(3x + 1)(3x - 1) - (3 - 2x)(3x + 2).$
答案
8. 解:原式 = (3x)² - 1² - (9x + 6 - 6x² - 4x) = 9x² - 1 - 9x - 6 + 6x² + 4x = 15x² - 5x - 7.
解析
【分析】
本题属于整式混合运算题，解题思路如下：①观察算式前半部分$(3x+1)(3x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，优先用平方差公式计算，可简化运算过程；②后半部分$(3-2x)(3x+2)$按照多项式乘多项式法则展开，注意每一项都要相乘，不要漏乘；③由于后半部分整体前面是减号，展开后去括号时括号内每一项都要变号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：原式先利用平方差公式计算前项，再展开后项的多项式乘积：
$=(3x)^2 - 1^2 - (3×3x + 3×2 - 2x×3x - 2x×2)$
$=9x^2 - 1 - (9x + 6 - 6x^2 - 4x)$
去括号，括号前为负号，括号内各项均变号：
$=9x^2 - 1 - 9x - 6 + 6x^2 + 4x$
合并同类项：
$=(9x^2+6x^2)+(-9x+4x)+(-1-6)$
$=15x^2 - 5x - 7$
【答案】
$15x^2 - 5x - 7$
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心是灵活运用乘法公式简化运算，同时要注意去括号时的符号变化，熟练掌握各类运算法则是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
本题属于整式混合运算题，解题思路如下：①观察算式前半部分$(3x+1)(3x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，优先用平方差公式计算，可简化运算过程；②后半部分$(3-2x)(3x+2)$按照多项式乘多项式法则展开，注意每一项都要相乘，不要漏乘；③由于后半部分整体前面是减号，展开后去括号时括号内每一项都要变号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：原式先利用平方差公式计算前项，再展开后项的多项式乘积：
$=(3x)^2 - 1^2 - (3×3x + 3×2 - 2x×3x - 2x×2)$
$=9x^2 - 1 - (9x + 6 - 6x^2 - 4x)$
去括号，括号前为负号，括号内各项均变号：
$=9x^2 - 1 - 9x - 6 + 6x^2 + 4x$
合并同类项：
$=(9x^2+6x^2)+(-9x+4x)+(-1-6)$
$=15x^2 - 5x - 7$
【答案】
$15x^2 - 5x - 7$
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心是灵活运用乘法公式简化运算，同时要注意去括号时的符号变化，熟练掌握各类运算法则是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
1. 下列各式中能用平方差公式的是 （
A.$(x+y)(y+x)$
B.$(x+y)(y-x)$
C.$(x+y)(-y-x)$
D.$(-x+y)(y-x)$
B
）A.$(x+y)(y+x)$
B.$(x+y)(y-x)$
C.$(x+y)(-y-x)$
D.$(-x+y)(y-x)$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断能否用平方差公式，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一组项完全相同，另一组项互为相反数。解题时逐个分析选项，对比每个选项的两个因式，确认是否同时存在相同项和相反项，即可得出正确答案。
【解析】
平方差公式的标准形式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是两个相乘的二项式中，一项完全相同，另一项互为相反数。
对各选项逐一分析：
选项A：$(x+y)(y+x)=(x+y)(x+y)=(x+y)^2$，两个因式完全相同，无互为相反数的项，不符合平方差公式要求；
选项B：$(x+y)(y-x)=(y+x)(y-x)$，相同项为$y$，相反项为$x$和$-x$，完全符合平方差公式的结构特征；
选项C：$(x+y)(-y-x)=(x+y)[-(x+y)]=-(x+y)^2$，两个因式的所有项均互为相反数，不符合要求；
选项D：$(-x+y)(y-x)=(y-x)(y-x)=(y-x)^2$，两个因式完全相同，无互为相反数的项，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的识别、整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查对平方差公式结构的理解，准确区分两个因式中的相同项和相反项是解题的核心，熟练掌握该知识点可为后续整式化简、因式分解等内容打好基础。
【难度系数】
0.8
要判断能否用平方差公式，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一组项完全相同，另一组项互为相反数。解题时逐个分析选项，对比每个选项的两个因式，确认是否同时存在相同项和相反项，即可得出正确答案。
【解析】
平方差公式的标准形式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是两个相乘的二项式中，一项完全相同，另一项互为相反数。
对各选项逐一分析：
选项A：$(x+y)(y+x)=(x+y)(x+y)=(x+y)^2$，两个因式完全相同，无互为相反数的项，不符合平方差公式要求；
选项B：$(x+y)(y-x)=(y+x)(y-x)$，相同项为$y$，相反项为$x$和$-x$，完全符合平方差公式的结构特征；
选项C：$(x+y)(-y-x)=(x+y)[-(x+y)]=-(x+y)^2$，两个因式的所有项均互为相反数，不符合要求；
选项D：$(-x+y)(y-x)=(y-x)(y-x)=(y-x)^2$，两个因式完全相同，无互为相反数的项，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的识别、整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查对平方差公式结构的理解，准确区分两个因式中的相同项和相反项是解题的核心，熟练掌握该知识点可为后续整式化简、因式分解等内容打好基础。
【难度系数】
0.8
2. 计算:(1)$(a+7)(a-7) = \_\_\_\_\_\_$;
(2)$(a+\frac{1}{2}b)(a-\frac{1}{2}b) = \_\_\_\_\_\_$.
(2)$(a+\frac{1}{2}b)(a-\frac{1}{2}b) = \_\_\_\_\_\_$.
答案
(1) $a^2 - 49$ (2) $a^2 - \frac{1}{4}b^2$
解析
【分析】
观察两个式子的结构，都是两个二项式相乘，且两个因式中都有一个完全相同的项，另一个项互为相反数，符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的适用条件。解题时先分别确定每个式子中对应公式里的相同项$m$和相反项$n$，再代入公式计算即可：
(1)式中相同项是$a$，相反项是$7$和$-7$，直接代入公式计算；
(2)式中相同项是$a$，相反项是$\frac{1}{2}b$和$-\frac{1}{2}b$，代入公式时注意要给$\frac{1}{2}b$整体加平方再计算。
【解析】
利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算：
(1) 对于$(a+7)(a-7)$，相同项为$a$，相反项为$7$，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 7^2 \\&=a^2 - 49\end{aligned}$
(2) 对于$(a+\frac{1}{2}b)(a-\frac{1}{2}b)$，相同项为$a$，相反项为$\frac{1}{2}b$，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \\&=a^2 - \frac{1}{4}b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 - 49$ (2) $a^2 - \frac{1}{4}b^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，区分相同项和相反项，计算时注意系数和字母要分别乘方，避免漏算系数的平方。
【难度系数】
0.9
观察两个式子的结构，都是两个二项式相乘，且两个因式中都有一个完全相同的项，另一个项互为相反数，符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的适用条件。解题时先分别确定每个式子中对应公式里的相同项$m$和相反项$n$，再代入公式计算即可：
(1)式中相同项是$a$，相反项是$7$和$-7$，直接代入公式计算；
(2)式中相同项是$a$，相反项是$\frac{1}{2}b$和$-\frac{1}{2}b$，代入公式时注意要给$\frac{1}{2}b$整体加平方再计算。
【解析】
利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算：
(1) 对于$(a+7)(a-7)$，相同项为$a$，相反项为$7$，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 7^2 \\&=a^2 - 49\end{aligned}$
(2) 对于$(a+\frac{1}{2}b)(a-\frac{1}{2}b)$，相同项为$a$，相反项为$\frac{1}{2}b$，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \\&=a^2 - \frac{1}{4}b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 - 49$ (2) $a^2 - \frac{1}{4}b^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，区分相同项和相反项，计算时注意系数和字母要分别乘方，避免漏算系数的平方。
【难度系数】
0.9
3. 计算:
(1) $(2y + 4x)(4x - 2y)$；
(2) $(a^2 + 2b)(a^2 - 2b)$；
(3) $(-\frac{1}{3}x + y)(-\frac{1}{3}x - y)$。
(1) $(2y + 4x)(4x - 2y)$；
(2) $(a^2 + 2b)(a^2 - 2b)$；
(3) $(-\frac{1}{3}x + y)(-\frac{1}{3}x - y)$。
答案
3. (1) 解:原式 = (4x + 2y)(4x - 2y)
= (4x)² - (2y)² = 16x² - 4y².
(2) 解:原式 = (a²)² - (2b)² = a⁴ - 4b².
(3) 解:原式 = $(-\frac{1}{3}x)^2 - y^2 = \frac{1}{9}x^2 - y^2$.
= (4x)² - (2y)² = 16x² - 4y².
(2) 解:原式 = (a²)² - (2b)² = a⁴ - 4b².
(3) 解:原式 = $(-\frac{1}{3}x)^2 - y^2 = \frac{1}{9}x^2 - y^2$.
解析
【分析】
这三道题均符合平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。解题时首先要识别每个因式中相同的项（对应公式里的a）和互为相反数的项（对应公式里的b），再代入平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算即可，计算时注意项的系数也要同步平方。
具体每道题的思考方向：
(1) 先调整两个因式的项的顺序，找到相同项是$4x$，相反项是$2y$，代入公式；
(2) 直接识别相同项是$a^2$，相反项是$2b$，代入公式；
(3) 识别相同项是$-\frac{1}{3}x$，相反项是$y$，代入公式计算。
【解析】
(1) 先整理式子得到相同项在前的形式，再套用平方差公式：
原式$=(4x + 2y)(4x - 2y)$
$=(4x)^2 - (2y)^2$
$=16x^2 - 4y^2$
(2) 直接识别相同项和相反项，套用平方差公式：
原式$=(a^2)^2 - (2b)^2$
$=a^4 - 4b^2$
(3) 识别相同项为$-\frac{1}{3}x$，相反项为$y$，套用平方差公式：
原式$=(-\frac{1}{3}x)^2 - y^2$
$=\frac{1}{9}x^2 - y^2$
【答案】
(1) $16x^2 - 4y^2$；(2) $a^4 - 4b^2$；(3) $\frac{1}{9}x^2 - y^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法；幂的运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确区分两个因式中的相同项和相反项，计算时要注意给项的整体平方，不要遗漏系数的平方运算，避免出现类似$(4x)^2=4x^2$的错误。
【难度系数】
0.85
这三道题均符合平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。解题时首先要识别每个因式中相同的项（对应公式里的a）和互为相反数的项（对应公式里的b），再代入平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算即可，计算时注意项的系数也要同步平方。
具体每道题的思考方向：
(1) 先调整两个因式的项的顺序，找到相同项是$4x$，相反项是$2y$，代入公式；
(2) 直接识别相同项是$a^2$，相反项是$2b$，代入公式；
(3) 识别相同项是$-\frac{1}{3}x$，相反项是$y$，代入公式计算。
【解析】
(1) 先整理式子得到相同项在前的形式，再套用平方差公式：
原式$=(4x + 2y)(4x - 2y)$
$=(4x)^2 - (2y)^2$
$=16x^2 - 4y^2$
(2) 直接识别相同项和相反项，套用平方差公式：
原式$=(a^2)^2 - (2b)^2$
$=a^4 - 4b^2$
(3) 识别相同项为$-\frac{1}{3}x$，相反项为$y$，套用平方差公式：
原式$=(-\frac{1}{3}x)^2 - y^2$
$=\frac{1}{9}x^2 - y^2$
【答案】
(1) $16x^2 - 4y^2$；(2) $a^4 - 4b^2$；(3) $\frac{1}{9}x^2 - y^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法；幂的运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确区分两个因式中的相同项和相反项，计算时要注意给项的整体平方，不要遗漏系数的平方运算，避免出现类似$(4x)^2=4x^2$的错误。
【难度系数】
0.85
4. 计算:$200^2 - 201 × 199.$
答案
4. 解:原式 = 200² - (200 + 1)(200 - 1)
= 200² - (200² - 1²) = 200² - 200² + 1² = 1.
= 200² - (200² - 1²) = 200² - 200² + 1² = 1.
解析
【分析】
拿到本题如果直接计算201×199，数值较大计算繁琐易出错。我们可以观察数字特征：201=200+1，199=200-1，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，因此先将$201×199$转化为平方差的形式，再代入原式化简计算，即可快速得到结果，避免复杂的大数乘法。
【解析】
解：原式$=200^2 - (200 + 1)(200 - 1)$
根据平方差公式展开得：
$=200^2 - (200^2 - 1^2)$
去括号化简：
$=200^2 - 200^2 + 1$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式在有理数运算中的典型应用，解题关键是观察数字特征，合理变形构造出平方差公式的结构，大幅降低计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.85
拿到本题如果直接计算201×199，数值较大计算繁琐易出错。我们可以观察数字特征：201=200+1，199=200-1，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，因此先将$201×199$转化为平方差的形式，再代入原式化简计算，即可快速得到结果，避免复杂的大数乘法。
【解析】
解：原式$=200^2 - (200 + 1)(200 - 1)$
根据平方差公式展开得：
$=200^2 - (200^2 - 1^2)$
去括号化简：
$=200^2 - 200^2 + 1$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式在有理数运算中的典型应用，解题关键是观察数字特征，合理变形构造出平方差公式的结构，大幅降低计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.85
5. (整体思想)已知$3x^2 - x - 1 = 0$,求式子$(2x + 3)(2x - 3) + 2x(x - 1)$的值.
答案
5. 解:原式 = 4x² - 9 + 2x² - 2x = 6x² - 2x - 9.
∵ 3x² - x - 1 = 0,
∴ 3x² - x = 1.
∴ 原式 = 2(3x² - x) - 9 = 2 × 1 - 9 = -7.
∵ 3x² - x - 1 = 0,
∴ 3x² - x = 1.
∴ 原式 = 2(3x² - x) - 9 = 2 × 1 - 9 = -7.
解析
【分析】
本题是已知方程求代数式值的题型，解题思路清晰可分为两步：第一步先利用整式运算法则对目标代数式化简，用到平方差公式和单项式乘多项式法则，展开后合并同类项即可得到最简形式；第二步观察化简后的式子与已知方程的关联，利用整体思想，不需要求出x的具体值，从已知方程中提炼出整体项的取值，代入最简式就能快速算出结果。
【解析】
先化简待求代数式：
1. 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算$(2x+3)(2x-3)$：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$
2. 根据单项式乘多项式法则计算$2x(x-1)$：
$2x(x-1)=2x^2-2x$
3. 合并同类项得：
原式$=4x^2-9+2x^2-2x=6x^2-2x-9$
再结合已知条件整体代入：
已知$3x^2 - x - 1 = 0$，移项可得$3x^2 - x = 1$
将化简后的式子变形为含$3x^2 - x$的形式：$6x^2-2x-9=2(3x^2 - x)-9$
把$3x^2 - x = 1$代入得：
原式$=2×1 - 9=2-9=-7$
【答案】
$-7$
【知识点】
整式的混合运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础应用题，解题关键是先通过整式运算规则化简目标式，再利用整体思想代入计算，规避了求解未知数的繁琐步骤，能很好地考查学生对整式运算的掌握程度和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是已知方程求代数式值的题型，解题思路清晰可分为两步：第一步先利用整式运算法则对目标代数式化简，用到平方差公式和单项式乘多项式法则，展开后合并同类项即可得到最简形式；第二步观察化简后的式子与已知方程的关联，利用整体思想，不需要求出x的具体值，从已知方程中提炼出整体项的取值，代入最简式就能快速算出结果。
【解析】
先化简待求代数式：
1. 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算$(2x+3)(2x-3)$：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$
2. 根据单项式乘多项式法则计算$2x(x-1)$：
$2x(x-1)=2x^2-2x$
3. 合并同类项得：
原式$=4x^2-9+2x^2-2x=6x^2-2x-9$
再结合已知条件整体代入：
已知$3x^2 - x - 1 = 0$，移项可得$3x^2 - x = 1$
将化简后的式子变形为含$3x^2 - x$的形式：$6x^2-2x-9=2(3x^2 - x)-9$
把$3x^2 - x = 1$代入得：
原式$=2×1 - 9=2-9=-7$
【答案】
$-7$
【知识点】
整式的混合运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础应用题，解题关键是先通过整式运算规则化简目标式，再利用整体思想代入计算，规避了求解未知数的繁琐步骤，能很好地考查学生对整式运算的掌握程度和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 探究性学习
【探究】(1)如图1，边长为$a$的大正方形中有一个边长为$b$的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)，通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式
【应用】(2)已知$4m^2 =12 +n^2$，$2m +n =4$，则$2m -n$的值为
(3)计算：$(x -2)(x +2)(x^2 +4)$；
【拓展】(4)计算：$(2 +1)(2^2 +1)(2^4 +1)···(2^{32} +1)+1 =$
【探究】(1)如图1，边长为$a$的大正方形中有一个边长为$b$的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)，通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
；(用含$a,b$的等式表示)【应用】(2)已知$4m^2 =12 +n^2$，$2m +n =4$，则$2m -n$的值为
3
；(3)计算：$(x -2)(x +2)(x^2 +4)$；
【拓展】(4)计算：$(2 +1)(2^2 +1)(2^4 +1)···(2^{32} +1)+1 =$
$2^{64}$
.答案
6. 解:(1) $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ (2) 3
(3) 原式 = $(x^2 - 2^2)(x^2 +4) = (x^2 -4)(x^2 +4) = x^4 -16$.
(4) $2^{64}$ 提示:原式 = $(2 -1)(2 +1)(2^2 +1)(2^4 +1)…(2^{32} +1) +1 = (2^2 -1)(2^2 +1)(2^4 +1)…(2^{32} +1) +1 = (2^{32} -1)(2^{32} +1) +1 = 2^{64} -1 +1 = 2^{64}$.
(3) 原式 = $(x^2 - 2^2)(x^2 +4) = (x^2 -4)(x^2 +4) = x^4 -16$.
(4) $2^{64}$ 提示:原式 = $(2 -1)(2 +1)(2^2 +1)(2^4 +1)…(2^{32} +1) +1 = (2^2 -1)(2^2 +1)(2^4 +1)…(2^{32} +1) +1 = (2^{32} -1)(2^{32} +1) +1 = 2^{64} -1 +1 = 2^{64}$.
解析
【分析】
(1) 可通过计算两个图形阴影部分的面积推导乘法公式：图1阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，图2阴影面积为拼成长方形的面积，二者面积相等即可得到对应公式。
(2) 先对已知等式变形，使左侧符合平方差公式的结构，分解后代入已知的$2m+n=4$，即可求出$2m-n$的值。
(3) 观察式子结构，先对前两个因式用平方差公式计算，所得结果再和第三个因式结合，再次使用平方差公式即可得到最终结果。
(4) 原式缺少平方差公式中“两数差”的项，可先乘数值为1的$(2-1)$，不改变原式大小的同时构造出平方差公式的结构，连续使用公式化简后即可求出结果。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1=a^2-b^2$；图2拼成长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$。因为阴影部分面积不变，所以可得公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
(2) 由$4m^2=12+n^2$移项得$4m^2-n^2=12$，用平方差公式分解得$(2m+n)(2m-n)=12$，将$2m+n=4$代入得$4×(2m-n)=12$，解得$2m-n=3$。
(3) 原式$=(x^2-2^2)(x^2+4)=(x^2-4)(x^2+4)=x^4-4^2=x^4-16$。
(4) 原式$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1$
$=(2^4-1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1$
$\dots$
$=(2^{32}-1)(2^{32}+1)+1$
$=2^{64}-1+1=2^{64}$。
【答案】
(1) $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；(2) 3；(3) $x^4-16$；(4) $2^{64}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算，代数式求值
【点评】
本题围绕平方差公式展开，从几何推导到基础应用再到拓展运算，考查对公式的理解和灵活运用能力，掌握公式的结构特征、会合理变形构造公式形式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 可通过计算两个图形阴影部分的面积推导乘法公式：图1阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，图2阴影面积为拼成长方形的面积，二者面积相等即可得到对应公式。
(2) 先对已知等式变形，使左侧符合平方差公式的结构，分解后代入已知的$2m+n=4$，即可求出$2m-n$的值。
(3) 观察式子结构，先对前两个因式用平方差公式计算，所得结果再和第三个因式结合，再次使用平方差公式即可得到最终结果。
(4) 原式缺少平方差公式中“两数差”的项，可先乘数值为1的$(2-1)$，不改变原式大小的同时构造出平方差公式的结构，连续使用公式化简后即可求出结果。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1=a^2-b^2$；图2拼成长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$。因为阴影部分面积不变，所以可得公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
(2) 由$4m^2=12+n^2$移项得$4m^2-n^2=12$，用平方差公式分解得$(2m+n)(2m-n)=12$，将$2m+n=4$代入得$4×(2m-n)=12$，解得$2m-n=3$。
(3) 原式$=(x^2-2^2)(x^2+4)=(x^2-4)(x^2+4)=x^4-4^2=x^4-16$。
(4) 原式$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1$
$=(2^4-1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1$
$\dots$
$=(2^{32}-1)(2^{32}+1)+1$
$=2^{64}-1+1=2^{64}$。
【答案】
(1) $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；(2) 3；(3) $x^4-16$；(4) $2^{64}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算，代数式求值
【点评】
本题围绕平方差公式展开，从几何推导到基础应用再到拓展运算，考查对公式的理解和灵活运用能力，掌握公式的结构特征、会合理变形构造公式形式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
