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引入 计算:(1)$(x+4)(x-4)=$
$x^2 - 16$
；(2)$(m+n)(m-n)=$$m^2 - n^2$
.答案
(1) $x^2 - 16$；(2) $m^2 - n^2$
解析
【分析】
观察两个算式的结构，均为两个数的和与这两个数的差相乘的形式，符合平方差公式的适用条件。解题时先分别找出每个算式中相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$），再直接套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算即可。
【解析】
(1) 对于$(x+4)(x-4)$，相同项为$x$，互为相反数的项为$4$和$-4$，套用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=x^2 - 4^2\\&=x^2 - 16\end{aligned}$
(2) 对于$(m+n)(m-n)$，相同项为$m$，互为相反数的项为$n$和$-n$，套用平方差公式计算：
$原式=m^2 - n^2$
【答案】
(1) $x^2 - 16$；(2) $m^2 - n^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，核心考查对平方差公式结构特征的识别能力，只要能准确区分算式中的相同项和相反项，直接套用公式即可求解，是巩固平方差公式的典型基础题。
【难度系数】
0.9
观察两个算式的结构，均为两个数的和与这两个数的差相乘的形式，符合平方差公式的适用条件。解题时先分别找出每个算式中相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$），再直接套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算即可。
【解析】
(1) 对于$(x+4)(x-4)$，相同项为$x$，互为相反数的项为$4$和$-4$，套用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=x^2 - 4^2\\&=x^2 - 16\end{aligned}$
(2) 对于$(m+n)(m-n)$，相同项为$m$，互为相反数的项为$n$和$-n$，套用平方差公式计算：
$原式=m^2 - n^2$
【答案】
(1) $x^2 - 16$；(2) $m^2 - n^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，核心考查对平方差公式结构特征的识别能力，只要能准确区分算式中的相同项和相反项，直接套用公式即可求解，是巩固平方差公式的典型基础题。
【难度系数】
0.9
归纳 平方差公式:$(a+b)(a-b)=$
几何意义 你能根据图中所示的面积关系说明平方差公式吗？完成下列问题.
如图,①②的总面积用式子表达为
$a^2 - b^2$
,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差
.几何意义 你能根据图中所示的面积关系说明平方差公式吗？完成下列问题.
如图,①②的总面积用式子表达为
$(a + b)(a - b)$
.而①③的总面积可以用①③④的总面积减去④的面积得到,用式子表达①③的总面积为$a^2 - b^2$
.又因为②与③的面积相等,都为$(a - b)b$
,故①②的总面积与①③的总面积相等
,可得等式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
.答案
平方差公式:$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。①②的总面积用式子表达为$(a + b)(a - b)$。①③的总面积用式子表达为$a^2 - b^2$。②与③的面积相等,都为$(a - b)b$,故①②的总面积与①③的总面积相等,可得等式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
解析
【分析】
本题分为平方差公式基础识记和几何推导两部分，解题思路如下：
1. 公式填空部分：直接回忆平方差公式的定义内容填写即可；
2. 几何推导部分：通过分别计算两组图形的总面积，利用等面积关系推导公式：
第一步先计算①和②的总面积：两者是高度相同的长方形，分别求面积再提取公因式得到表达式；
第二步计算①和③的总面积：用边长为a的大正方形面积减去边长为b的小正方形④的面积即可得到；
第三步验证②和③的面积：两个长方形长、宽分别相等，因此面积相等，进而推出①+②和①+③的面积相等，联立两个面积表达式即可得到平方差公式。
【解析】
1. 平方差公式基础内容：
根据平方差公式的定义，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，因此$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
2. 结合图形计算面积：
（1）①是长为$a$、宽为$(a-b)$的长方形，面积为$a(a-b)$；②是长为$b$、宽为$(a-b)$的长方形，面积为$b(a-b)$，因此①②的总面积为$a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)$。
（2）①③④共同组成边长为$a$的正方形，总面积为$a^2$；④是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$，因此①③的总面积为$a^2-b^2$。
（3）②的长为$b$、宽为$(a-b)$，面积为$b(a-b)$；③的长为$(a-b)$、宽为$b$，面积为$b(a-b)$，因此②和③的面积相等。
（4）因为①②的总面积和①③的总面积都等于①的面积加一个大小为$b(a-b)$的面积，因此两者总面积相等，可得等式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
【答案】
$a^2 - b^2$；平方差；$(a + b)(a - b)$；$a^2 - b^2$；$b(a - b)$；相等；$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式，面积法推导公式，列代数式
【点评】
本题从代数定义和几何意义两个角度考查平方差公式，通过直观的面积推导能帮助学生理解公式的本质，掌握推导思路可更好地灵活运用平方差公式解决相关计算问题。
【难度系数】
0.8
本题分为平方差公式基础识记和几何推导两部分，解题思路如下：
1. 公式填空部分：直接回忆平方差公式的定义内容填写即可；
2. 几何推导部分：通过分别计算两组图形的总面积，利用等面积关系推导公式：
第一步先计算①和②的总面积：两者是高度相同的长方形，分别求面积再提取公因式得到表达式；
第二步计算①和③的总面积：用边长为a的大正方形面积减去边长为b的小正方形④的面积即可得到；
第三步验证②和③的面积：两个长方形长、宽分别相等，因此面积相等，进而推出①+②和①+③的面积相等，联立两个面积表达式即可得到平方差公式。
【解析】
1. 平方差公式基础内容：
根据平方差公式的定义，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，因此$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
2. 结合图形计算面积：
（1）①是长为$a$、宽为$(a-b)$的长方形，面积为$a(a-b)$；②是长为$b$、宽为$(a-b)$的长方形，面积为$b(a-b)$，因此①②的总面积为$a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)$。
（2）①③④共同组成边长为$a$的正方形，总面积为$a^2$；④是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$，因此①③的总面积为$a^2-b^2$。
（3）②的长为$b$、宽为$(a-b)$，面积为$b(a-b)$；③的长为$(a-b)$、宽为$b$，面积为$b(a-b)$，因此②和③的面积相等。
（4）因为①②的总面积和①③的总面积都等于①的面积加一个大小为$b(a-b)$的面积，因此两者总面积相等，可得等式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
【答案】
$a^2 - b^2$；平方差；$(a + b)(a - b)$；$a^2 - b^2$；$b(a - b)$；相等；$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式，面积法推导公式，列代数式
【点评】
本题从代数定义和几何意义两个角度考查平方差公式，通过直观的面积推导能帮助学生理解公式的本质，掌握推导思路可更好地灵活运用平方差公式解决相关计算问题。
【难度系数】
0.8
1.【例1】计算：
(1)$(x+2)(x-2)=x^2 - 2^2 =$
(2)$(2x+3)(2x-3)=$
2.计算：
(1)$(a-3)(a+3)=$
(2)$(1+2b)(1-2b)=$
(1)$(x+2)(x-2)=x^2 - 2^2 =$
$x^2 - 4$
；(2)$(2x+3)(2x-3)=$
$(2x)^2 - 3^2$
$=$$4x^2 - 9$
.2.计算：
(1)$(a-3)(a+3)=$
$a^2 - 9$
；(2)$(1+2b)(1-2b)=$
$1 - 4b^2$
.答案
1. (1) $x^2 - 4$ (2) $(2x)^2 - 3^2$，$4x^2 - 9$ 2. (1) $a^2 - 9$ (2) $1 - 4b^2$
解析
【分析】
这些题目均考查平方差公式的直接应用，解题时首先观察相乘的两个二项式的特征：都含有一个相同的项和一对互为相反数的项，符合平方差公式的适用条件。解题可按3个步骤进行：①定位公式中的a和b：相同的项为a，符号相反的项为b；②套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$写出对应形式；③化简计算得到最终结果。
【解析】
首先明确平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
1. (1) 式子$(x+2)(x-2)$中，相同项$a=x$，相反项的绝对值$b=2$，套公式得$x^2-2^2$，计算得$x^2-4$；
(2) 式子$(2x+3)(2x-3)$中，相同项$a=2x$，相反项的绝对值$b=3$，先套公式得$(2x)^2-3^2$，再化简：$(2x)^2=4x^2$，$3^2=9$，最终得$4x^2-9$；
2. (1) 式子$(a-3)(a+3)$中，相同项$a=a$，相反项的绝对值$b=3$，套公式计算得$a^2-3^2=a^2-9$；
(2) 式子$(1+2b)(1-2b)$中，相同项$a=1$，相反项的绝对值$b=2b$，套公式计算得$1^2-(2b)^2=1-4b^2$。
【答案】
1. (1) $x^2 - 4$ (2) $(2x)^2 - 3^2$，$4x^2 - 9$ 2. (1) $a^2 - 9$ (2) $1 - 4b^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，解题核心是准确识别公式中的相同项和相反项，熟练套用公式即可解决，熟练掌握该公式能为后续复杂整式运算、因式分解等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.85
这些题目均考查平方差公式的直接应用，解题时首先观察相乘的两个二项式的特征：都含有一个相同的项和一对互为相反数的项，符合平方差公式的适用条件。解题可按3个步骤进行：①定位公式中的a和b：相同的项为a，符号相反的项为b；②套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$写出对应形式；③化简计算得到最终结果。
【解析】
首先明确平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
1. (1) 式子$(x+2)(x-2)$中，相同项$a=x$，相反项的绝对值$b=2$，套公式得$x^2-2^2$，计算得$x^2-4$；
(2) 式子$(2x+3)(2x-3)$中，相同项$a=2x$，相反项的绝对值$b=3$，先套公式得$(2x)^2-3^2$，再化简：$(2x)^2=4x^2$，$3^2=9$，最终得$4x^2-9$；
2. (1) 式子$(a-3)(a+3)$中，相同项$a=a$，相反项的绝对值$b=3$，套公式计算得$a^2-3^2=a^2-9$；
(2) 式子$(1+2b)(1-2b)$中，相同项$a=1$，相反项的绝对值$b=2b$，套公式计算得$1^2-(2b)^2=1-4b^2$。
【答案】
1. (1) $x^2 - 4$ (2) $(2x)^2 - 3^2$，$4x^2 - 9$ 2. (1) $a^2 - 9$ (2) $1 - 4b^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，解题核心是准确识别公式中的相同项和相反项，熟练套用公式即可解决，熟练掌握该公式能为后续复杂整式运算、因式分解等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.85
3.【例2】计算：
(1)$(3 + 2a)(-2a + 3)$；
(2)$(-3x - y)(-3x + y)$。
4. (人教八上$\mathrm{P}_{114}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编)计算：
(1)$(xy + 2)(2 - xy)$；
(2)$(2x + 1)(2x - 1)(4x^2 + 1)$。
(1)$(3 + 2a)(-2a + 3)$；
(2)$(-3x - y)(-3x + y)$。
4. (人教八上$\mathrm{P}_{114}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编)计算：
(1)$(xy + 2)(2 - xy)$；
(2)$(2x + 1)(2x - 1)(4x^2 + 1)$。
答案
3. (1) 解:原式 = (3 + 2a)(3 - 2a) = 3² - (2a)² = 9 - 4a².
(2) 解:原式 = (-3x)² - y² = 9x² - y².
4. (1) 解:原式 = (2 + xy)(2 - xy) = 2² - (xy)² = 4 - x²y².
(2) 解:原式 = [(2x)² - 1²](4x² + 1) = (4x² - 1)(4x² + 1) = 16x⁴ - 1.
(2) 解:原式 = (-3x)² - y² = 9x² - y².
4. (1) 解:原式 = (2 + xy)(2 - xy) = 2² - (xy)² = 4 - x²y².
(2) 解:原式 = [(2x)² - 1²](4x² + 1) = (4x² - 1)(4x² + 1) = 16x⁴ - 1.
解析
【分析】
这几道题均考查平方差公式的应用，解题思路如下：①首先明确平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，公式特征是两个多项式相乘，其中有一项完全相同（即公式里的$a$），另一项互为相反数（即公式里的$b$）；②对每个式子先整理形式，找出对应的相同项$a$和相反项$b$；③套用平方差公式计算，注意系数和字母的乘方运算不要出错；④如果是多个多项式连续相乘，先计算前两个多项式的乘积，再判断所得结果是否还能继续用平方差公式，逐步计算即可。
【解析】
3. (1) 调整式子顺序符合平方差形式：
原式$=(3 + 2a)(3 - 2a)$，其中相同项为$3$，相反项为$2a$，
代入平方差公式得：$3^2 - (2a)^2 = 9 - 4a^2$。
(2) 式子中相同项为$-3x$，相反项为$y$和$-y$，
直接套用公式得：原式$=(-3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$。
4. (1) 调整式子顺序符合平方差形式：
原式$=(2 + xy)(2 - xy)$，其中相同项为$2$，相反项为$xy$，
代入公式得：$2^2 - (xy)^2 = 4 - x^2y^2$。
(2) 连续两次使用平方差公式计算：
先计算前两个多项式的乘积：$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$，
再将所得结果与第三个多项式相乘：$(4x^2 - 1)(4x^2 + 1)=(4x^2)^2 - 1^2 = 16x^4 - 1$。
【答案】
3. (1) $\boxed{9 - 4a^2}$；(2) $\boxed{9x^2 - y^2}$
4. (1) $\boxed{4 - x^2y^2}$；(2) $\boxed{16x^4 - 1}$
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，核心是准确识别两个相乘多项式中的相同项和相反项，计算时要注意系数也要进行平方运算，连续使用平方差公式时要逐步计算，避免跳步出错，熟练掌握公式特征是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
这几道题均考查平方差公式的应用，解题思路如下：①首先明确平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，公式特征是两个多项式相乘，其中有一项完全相同（即公式里的$a$），另一项互为相反数（即公式里的$b$）；②对每个式子先整理形式，找出对应的相同项$a$和相反项$b$；③套用平方差公式计算，注意系数和字母的乘方运算不要出错；④如果是多个多项式连续相乘，先计算前两个多项式的乘积，再判断所得结果是否还能继续用平方差公式，逐步计算即可。
【解析】
3. (1) 调整式子顺序符合平方差形式：
原式$=(3 + 2a)(3 - 2a)$，其中相同项为$3$，相反项为$2a$，
代入平方差公式得：$3^2 - (2a)^2 = 9 - 4a^2$。
(2) 式子中相同项为$-3x$，相反项为$y$和$-y$，
直接套用公式得：原式$=(-3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$。
4. (1) 调整式子顺序符合平方差形式：
原式$=(2 + xy)(2 - xy)$，其中相同项为$2$，相反项为$xy$，
代入公式得：$2^2 - (xy)^2 = 4 - x^2y^2$。
(2) 连续两次使用平方差公式计算：
先计算前两个多项式的乘积：$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$，
再将所得结果与第三个多项式相乘：$(4x^2 - 1)(4x^2 + 1)=(4x^2)^2 - 1^2 = 16x^4 - 1$。
【答案】
3. (1) $\boxed{9 - 4a^2}$；(2) $\boxed{9x^2 - y^2}$
4. (1) $\boxed{4 - x^2y^2}$；(2) $\boxed{16x^4 - 1}$
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，核心是准确识别两个相乘多项式中的相同项和相反项，计算时要注意系数也要进行平方运算，连续使用平方差公式时要逐步计算，避免跳步出错，熟练掌握公式特征是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
5.【例3】用简便方法计算:$101×99.$
答案
5. 解:原式 = (100 + 1) × (100 - 1) = 100² - 1² = 10 000 - 1 = 9 999.
解析
【分析】
观察算式中的两个乘数101和99，二者均接近整百数100，可将101改写为100+1，99改写为100-1，此时原式转化为“两个数的和乘这两个数的差”的形式，刚好符合平方差公式的结构特征，因此可以套用平方差公式进行简便计算，无需直接列竖式运算，降低计算难度。
【解析】
解：原式$=(100+1)×(100-1)$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$=100^2 - 1^2$
$=10000 - 1$
$=9999$
【答案】
9999
【知识点】
平方差公式；乘法简便运算
【点评】
本题是平方差公式在简便计算中的典型应用，解题关键是观察乘数的数字特征，将两个乘数合理变形为同一个数的和与差的形式，再套用公式计算，可有效避免繁琐的竖式运算，提升计算正确率。
【难度系数】
0.9
观察算式中的两个乘数101和99，二者均接近整百数100，可将101改写为100+1，99改写为100-1，此时原式转化为“两个数的和乘这两个数的差”的形式，刚好符合平方差公式的结构特征，因此可以套用平方差公式进行简便计算，无需直接列竖式运算，降低计算难度。
【解析】
解：原式$=(100+1)×(100-1)$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$=100^2 - 1^2$
$=10000 - 1$
$=9999$
【答案】
9999
【知识点】
平方差公式；乘法简便运算
【点评】
本题是平方差公式在简便计算中的典型应用，解题关键是观察乘数的数字特征，将两个乘数合理变形为同一个数的和与差的形式，再套用公式计算，可有效避免繁琐的竖式运算，提升计算正确率。
【难度系数】
0.9
6. 用简便方法计算:$40\frac{1}{3} × (-39\frac{2}{3}).$
答案
6. 解:原式 = $-(40 + \frac{1}{3})(40 - \frac{1}{3})$ = $-(1\ 600 - \frac{1}{9}) = -1\ 599\frac{8}{9}$.
解析
【分析】
观察两个乘数的特征，$40\frac{1}{3}$和$39\frac{2}{3}$的绝对值都接近整数40，可拆分为$40+\frac{1}{3}$和$40-\frac{1}{3}$，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构；同时两个乘数异号，乘积为负，先提取负号后再用平方差公式计算，能避免复杂的带分数乘法，简化计算过程。
【解析】
解：原式$=-(40+\frac{1}{3})×(40-\frac{1}{3})$
根据平方差公式展开得：
$=-[40^2-(\frac{1}{3})^2]$
计算乘方项：
$=-(1600-\frac{1}{9})$
去括号化简：
$=-1600+\frac{1}{9}=-1599\frac{8}{9}$
【答案】
$-1599\frac{8}{9}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 有理数简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在有理数运算中的应用，解题核心是通过拆分带分数构造平方差公式的结构，有效降低计算量，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
观察两个乘数的特征，$40\frac{1}{3}$和$39\frac{2}{3}$的绝对值都接近整数40，可拆分为$40+\frac{1}{3}$和$40-\frac{1}{3}$，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构；同时两个乘数异号，乘积为负，先提取负号后再用平方差公式计算，能避免复杂的带分数乘法，简化计算过程。
【解析】
解：原式$=-(40+\frac{1}{3})×(40-\frac{1}{3})$
根据平方差公式展开得：
$=-[40^2-(\frac{1}{3})^2]$
计算乘方项：
$=-(1600-\frac{1}{9})$
去括号化简：
$=-1600+\frac{1}{9}=-1599\frac{8}{9}$
【答案】
$-1599\frac{8}{9}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 有理数简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在有理数运算中的应用，解题核心是通过拆分带分数构造平方差公式的结构，有效降低计算量，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
