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1.算一算，填一填。
62÷11=(
62÷11=(
略
)答案
$62÷11=5.6363···$
商的空缺两位依次填：6，3
除法竖式内空缺（从上到下、从左到右）依次填：0，6，6，4，0，3，3，7
右上框填空：
依次不断（重复）出现的数字$\boldsymbol{6}$和$\boldsymbol{3}$，是这个循环小数的循环节，商简写为$\boldsymbol{5.\dot{6}\dot{3}}$。
右下框填空：
余数$\boldsymbol{7}$和$\boldsymbol{4}$依次重复出现。
商的空缺两位依次填：6，3
除法竖式内空缺（从上到下、从左到右）依次填：0，6，6，4，0，3，3，7
右上框填空：
依次不断（重复）出现的数字$\boldsymbol{6}$和$\boldsymbol{3}$，是这个循环小数的循环节，商简写为$\boldsymbol{5.\dot{6}\dot{3}}$。
右下框填空：
余数$\boldsymbol{7}$和$\boldsymbol{4}$依次重复出现。
解析
【分析】
本题需要先按照除数是整数的小数除法计算法则计算$62÷11$的商，再观察计算过程中余数和商的变化规律，结合循环小数的概念完成填空。解题时先计算整数部分的商和余数，再补0继续除，当发现余数和之前出现过的余数相同时，说明后续的商就会开始重复出现，即可确定循环节，完成所有填空。
【解析】
1. 计算$62÷11$：
① 整数部分：$11×5=55$，$62-55=7$，整数商为5，余数是7；
② 点小数点，给余数7补0得70，$11×6=66$，$70-66=4$，十分位商6，余数是4；
③ 给余数4补0得40，$11×3=33$，$40-33=7$，百分位商3，余数是7；
④ 此时余数7和第一步的余数相同，说明后续计算会重复之前的过程：补0得70→商6→余4→补0得40→商3→余7，因此商的千分位是6，万分位是3，商为$5.6363···$。
2. 观察规律：
余数依次是7、4、7、4……，所以余数7和4依次重复出现；
商的小数部分依次是6、3、6、3……，依次不断重复出现的数字是6和3，这两个数字就是这个循环小数的循环节，循环小数简写时在循环节的首位和末位数字上方点循环点，即简写为$5.\dot{6}\dot{3}$。
3. 对应填空：
商的空缺两位填6、3；
除法竖式空缺从上到下从左到右依次填0，6，6，4，0，3，3，7；
右上框依次填：重复、6、3、循环节、$5.\dot{6}\dot{3}$；
右下框依次填：7、4。
【答案】
$62÷11=5.6363···$
商空缺位：6，3；
竖式空缺（从上到下从左到右）：0，6，6，4，0，3，3，7；
右上框：重复，6，3，循环节，$\boldsymbol{5.\dot{6}\dot{3}}$；
右下框：7，4。
【知识点】
除数是整数的小数除法；循环小数的概念；循环小数的简写
【点评】
本题将小数除法计算和循环小数的知识点相结合，既要求熟练掌握除数是整数的小数除法的计算步骤，又需要能通过观察余数的变化规律判断循环节，掌握循环小数的简写规则，是小数除法和循环小数结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题需要先按照除数是整数的小数除法计算法则计算$62÷11$的商，再观察计算过程中余数和商的变化规律，结合循环小数的概念完成填空。解题时先计算整数部分的商和余数，再补0继续除，当发现余数和之前出现过的余数相同时，说明后续的商就会开始重复出现，即可确定循环节，完成所有填空。
【解析】
1. 计算$62÷11$：
① 整数部分：$11×5=55$，$62-55=7$，整数商为5，余数是7；
② 点小数点，给余数7补0得70，$11×6=66$，$70-66=4$，十分位商6，余数是4；
③ 给余数4补0得40，$11×3=33$，$40-33=7$，百分位商3，余数是7；
④ 此时余数7和第一步的余数相同，说明后续计算会重复之前的过程：补0得70→商6→余4→补0得40→商3→余7，因此商的千分位是6，万分位是3，商为$5.6363···$。
2. 观察规律：
余数依次是7、4、7、4……，所以余数7和4依次重复出现；
商的小数部分依次是6、3、6、3……，依次不断重复出现的数字是6和3，这两个数字就是这个循环小数的循环节，循环小数简写时在循环节的首位和末位数字上方点循环点，即简写为$5.\dot{6}\dot{3}$。
3. 对应填空：
商的空缺两位填6、3；
除法竖式空缺从上到下从左到右依次填0，6，6，4，0，3，3，7；
右上框依次填：重复、6、3、循环节、$5.\dot{6}\dot{3}$；
右下框依次填：7、4。
【答案】
$62÷11=5.6363···$
商空缺位：6，3；
竖式空缺（从上到下从左到右）：0，6，6，4，0，3，3，7；
右上框：重复，6，3，循环节，$\boldsymbol{5.\dot{6}\dot{3}}$；
右下框：7，4。
【知识点】
除数是整数的小数除法；循环小数的概念；循环小数的简写
【点评】
本题将小数除法计算和循环小数的知识点相结合，既要求熟练掌握除数是整数的小数除法的计算步骤，又需要能通过观察余数的变化规律判断循环节，掌握循环小数的简写规则，是小数除法和循环小数结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
2.先计算，再将它们的商填到合适的圈内。
2÷4=
6÷5=
1÷6=
2.4÷6=
10÷8=
0.2÷10=
4÷3=
10÷11=
2÷4=
6÷5=
1÷6=
2.4÷6=
10÷8=
0.2÷10=
4÷3=
10÷11=
答案
2.0.5,1.2,0.1666…,0.4,1.25,0.02,1.333…,0.9090…
有限小数:0.5,1.2,0.4,1.25,0.02
无限小数:0.1666…,1.333…,0.9090…
有限小数:0.5,1.2,0.4,1.25,0.02
无限小数:0.1666…,1.333…,0.9090…
解析
【分析】
解题时首先要正确计算出所有除法算式的商，再明确两类小数的定义：小数部分位数有限的是有限小数，小数部分位数无限的是无限小数，最后根据定义对计算出的商分类，填入对应圈中即可。
【解析】
1. 计算每个算式的商：
$2÷4=0.5$
$6÷5=1.2$
$1÷6=0.1666\dots$
$2.4÷6=0.4$
$10÷8=1.25$
$0.2÷10=0.02$
$4÷3=1.333\dots$
$10÷11=0.9090\dots$
2. 按定义分类：
0.5、1.2、0.4、1.25、0.02的小数部分位数有限，属于有限小数；
0.1666…、1.333…、0.9090…的小数部分位数无限，属于无限小数。
【答案】
各算式的商依次为：0.5,1.2,0.1666…,0.4,1.25,0.02,1.333…,0.9090…
有限小数:0.5,1.2,0.4,1.25,0.02
无限小数:0.1666…,1.333…,0.9090…
【知识点】
小数除法计算，有限与无限小数分类
【点评】
本题需要先准确计算除法算式的结果，再结合两类小数的定义分类，解题核心是保证计算正确率，牢记有限小数和无限小数的区别。
【难度系数】
0.8
解题时首先要正确计算出所有除法算式的商，再明确两类小数的定义：小数部分位数有限的是有限小数，小数部分位数无限的是无限小数，最后根据定义对计算出的商分类，填入对应圈中即可。
【解析】
1. 计算每个算式的商：
$2÷4=0.5$
$6÷5=1.2$
$1÷6=0.1666\dots$
$2.4÷6=0.4$
$10÷8=1.25$
$0.2÷10=0.02$
$4÷3=1.333\dots$
$10÷11=0.9090\dots$
2. 按定义分类：
0.5、1.2、0.4、1.25、0.02的小数部分位数有限，属于有限小数；
0.1666…、1.333…、0.9090…的小数部分位数无限，属于无限小数。
【答案】
各算式的商依次为：0.5,1.2,0.1666…,0.4,1.25,0.02,1.333…,0.9090…
有限小数:0.5,1.2,0.4,1.25,0.02
无限小数:0.1666…,1.333…,0.9090…
【知识点】
小数除法计算，有限与无限小数分类
【点评】
本题需要先准确计算除法算式的结果，再结合两类小数的定义分类，解题核心是保证计算正确率，牢记有限小数和无限小数的区别。
【难度系数】
0.8
3.7.7878…是一个（
循环
）小数，用简便方法记作（7.˙˙78
），循环环节是（78
）。答案
3.循环,7.˙˙78,78
解析
【分析】
解决这道题我们可以结合循环小数相关的三个核心概念逐步推导：第一步先判断小数类型，若无限小数的小数部分有一组数字依次不断重复出现，就属于循环小数；第二步回忆循环小数的简便记法规则：只写出第一个循环节，再在循环节的首位和末位数字上方各加一个小圆点即可；第三步明确循环节的定义：小数部分依次重复出现的固定数字组就是循环节。我们对应7.7878…的特征逐一匹配就能得出答案。
【解析】
1. 判断小数类型：观察7.7878…，它的小数部分是无限的，且“78”两个数字依次不断重复出现，符合循环小数的特征，所以它是循环小数。
2. 写简便记法：该小数的重复数字组是78，按照规则在第一个7和最后一个8的上方各点一个小圆点，记作$7.\dot{7}\dot{8}$。
3. 找循环节：小数部分不断重复出现的数字是78，所以循环节是78。
【答案】
循环；$7.\dot{7}\dot{8}$；78
【知识点】
循环小数的认识；循环小数简便记法；循环节的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，核心是对循环小数相关定义的掌握，熟记概念即可快速拿分。
【难度系数】
0.9
解决这道题我们可以结合循环小数相关的三个核心概念逐步推导：第一步先判断小数类型，若无限小数的小数部分有一组数字依次不断重复出现，就属于循环小数；第二步回忆循环小数的简便记法规则：只写出第一个循环节，再在循环节的首位和末位数字上方各加一个小圆点即可；第三步明确循环节的定义：小数部分依次重复出现的固定数字组就是循环节。我们对应7.7878…的特征逐一匹配就能得出答案。
【解析】
1. 判断小数类型：观察7.7878…，它的小数部分是无限的，且“78”两个数字依次不断重复出现，符合循环小数的特征，所以它是循环小数。
2. 写简便记法：该小数的重复数字组是78，按照规则在第一个7和最后一个8的上方各点一个小圆点，记作$7.\dot{7}\dot{8}$。
3. 找循环节：小数部分不断重复出现的数字是78，所以循环节是78。
【答案】
循环；$7.\dot{7}\dot{8}$；78
【知识点】
循环小数的认识；循环小数简便记法；循环节的定义
【点评】
本题是基础概念考察题，核心是对循环小数相关定义的掌握，熟记概念即可快速拿分。
【难度系数】
0.9
4.先用简便形式表示下面的循环小数，再写出它们的近似数。（保留两位小数）
9.999…(
8.375375…(
4.15353…(
9.999…(
9.˙9
)≈(10.00
)8.375375…(
8.˙37˙5
)≈(8.38
)4.15353…(
4.1˙5˙3
)≈(4.15
)答案
4.9.˙9,10.00,8.˙37˙5,8.38,4.1˙5˙3,4.15
解析
【分析】
解决这道题需要分两个步骤思考：第一步是循环小数的简便表示：首先找到每个循环小数中不断重复出现的数字段（即循环节），只写出一个循环节，再在循环节的第一个和最后一个数字上方各标记一个小圆点即可。第二步是求保留两位小数的近似数：根据四舍五入规则，观察小数的千分位数字，千分位≥5就向百分位进1，千分位＜5就直接舍去千分位及后面的数，注意近似数末尾的0不能去掉，要保证保留两位小数的格式。
【解析】
1. 处理9.999…：它的循环节是单个数字9，简便记法为在十分位的9上方点圆点，即$9.\dot{9}$；保留两位小数时，千分位是9，9＞5，向百分位进1，连续进位后得到近似数10.00。
2. 处理8.375375…：它的循环节是375，简便记法为在循环节首位3和末位5上方各点圆点，即$8.\dot{3}7\dot{5}$；保留两位小数时，千分位是5，5=5，向百分位进1，百分位7+1=8，得到近似数8.38。
3. 处理4.15353…：它的循环节是53，简便记法为在循环节首位5和末位3上方各点圆点，即$4.1\dot{5}\dot{3}$；保留两位小数时，千分位是3，3＜5，直接舍去千分位及后面的数，得到近似数4.15。
【答案】
$9.\dot{9}$，10.00，$8.\dot{3}7\dot{5}$，8.38，$4.1\dot{5}\dot{3}$，4.15
【知识点】
循环小数简便记法，四舍五入法，小数近似数
【点评】
本题侧重考察循环小数的基础认知和近似数的求取，易错点为循环节识别错误、求取近似数时省略末尾的0，做题时要细心判断循环节，严格按保留位数要求书写近似数。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要分两个步骤思考：第一步是循环小数的简便表示：首先找到每个循环小数中不断重复出现的数字段（即循环节），只写出一个循环节，再在循环节的第一个和最后一个数字上方各标记一个小圆点即可。第二步是求保留两位小数的近似数：根据四舍五入规则，观察小数的千分位数字，千分位≥5就向百分位进1，千分位＜5就直接舍去千分位及后面的数，注意近似数末尾的0不能去掉，要保证保留两位小数的格式。
【解析】
1. 处理9.999…：它的循环节是单个数字9，简便记法为在十分位的9上方点圆点，即$9.\dot{9}$；保留两位小数时，千分位是9，9＞5，向百分位进1，连续进位后得到近似数10.00。
2. 处理8.375375…：它的循环节是375，简便记法为在循环节首位3和末位5上方各点圆点，即$8.\dot{3}7\dot{5}$；保留两位小数时，千分位是5，5=5，向百分位进1，百分位7+1=8，得到近似数8.38。
3. 处理4.15353…：它的循环节是53，简便记法为在循环节首位5和末位3上方各点圆点，即$4.1\dot{5}\dot{3}$；保留两位小数时，千分位是3，3＜5，直接舍去千分位及后面的数，得到近似数4.15。
【答案】
$9.\dot{9}$，10.00，$8.\dot{3}7\dot{5}$，8.38，$4.1\dot{5}\dot{3}$，4.15
【知识点】
循环小数简便记法，四舍五入法，小数近似数
【点评】
本题侧重考察循环小数的基础认知和近似数的求取，易错点为循环节识别错误、求取近似数时省略末尾的0，做题时要细心判断循环节，严格按保留位数要求书写近似数。
【难度系数】
0.8
5.在○里填上“＞”“＜”或“=”。
0.66○0.˙6
3.088○3.˙0˙8
7.2˙8○7.˙2˙8
0.˙9˙8○0.999
0.66○0.˙6
3.088○3.˙0˙8
7.2˙8○7.˙2˙8
0.˙9˙8○0.999
答案
5.＜,＞,＞,＜
解析
【分析】
比较含有循环小数的大小，首先要明确循环节的意义，将循环小数按照循环节多写出几位，再遵循小数比较大小的规则：先比较整数部分，整数部分相同则依次比较十分位、百分位、千分位……直到比出大小为止。
【解析】
1. 比较0.66和$0.\dot{6}$：
$0.\dot{6}$是循环节为6的循环小数，展开为0.6666……，两者整数部分、十分位、百分位均相同，0.66的千分位是0，$0.\dot{6}$的千分位是6，0＜6，所以$0.66＜0.\dot{6}$。
2. 比较3.088和$3.\dot{0}\dot{8}$：
$3.\dot{0}\dot{8}$是循环节为08的循环小数，展开为3.080808……，两者整数部分、十分位、百分位均相同，3.088的千分位是8，$3.\dot{0}\dot{8}$的千分位是0，8＞0，所以$3.088＞3.\dot{0}\dot{8}$。
3. 比较$7.2\dot{8}$和$7.\dot{2}\dot{8}$：
$7.2\dot{8}$是循环节为8的循环小数，展开为7.28888……；$7.\dot{2}\dot{8}$是循环节为28的循环小数，展开为7.282828……，两者整数部分、十分位、百分位均相同，$7.2\dot{8}$的千分位是8，$7.\dot{2}\dot{8}$的千分位是2，8＞2，所以$7.2\dot{8}＞7.\dot{2}\dot{8}$。
4. 比较$0.\dot{9}\dot{8}$和0.999：
$0.\dot{9}\dot{8}$是循环节为98的循环小数，展开为0.989898……，两者整数部分、十分位均相同，$0.\dot{9}\dot{8}$的百分位是8，0.999的百分位是9，8＜9，所以$0.\dot{9}\dot{8}＜0.999$。
【答案】
＜,＞,＞,＜
【知识点】
循环小数的认识，小数大小比较，循环节的含义
【点评】
本题核心考查对循环小数概念的理解以及小数大小比较方法的应用，解题时只需将循环小数展开到可比较出大小的位数，再逐位对比即可，掌握方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
比较含有循环小数的大小，首先要明确循环节的意义，将循环小数按照循环节多写出几位，再遵循小数比较大小的规则：先比较整数部分，整数部分相同则依次比较十分位、百分位、千分位……直到比出大小为止。
【解析】
1. 比较0.66和$0.\dot{6}$：
$0.\dot{6}$是循环节为6的循环小数，展开为0.6666……，两者整数部分、十分位、百分位均相同，0.66的千分位是0，$0.\dot{6}$的千分位是6，0＜6，所以$0.66＜0.\dot{6}$。
2. 比较3.088和$3.\dot{0}\dot{8}$：
$3.\dot{0}\dot{8}$是循环节为08的循环小数，展开为3.080808……，两者整数部分、十分位、百分位均相同，3.088的千分位是8，$3.\dot{0}\dot{8}$的千分位是0，8＞0，所以$3.088＞3.\dot{0}\dot{8}$。
3. 比较$7.2\dot{8}$和$7.\dot{2}\dot{8}$：
$7.2\dot{8}$是循环节为8的循环小数，展开为7.28888……；$7.\dot{2}\dot{8}$是循环节为28的循环小数，展开为7.282828……，两者整数部分、十分位、百分位均相同，$7.2\dot{8}$的千分位是8，$7.\dot{2}\dot{8}$的千分位是2，8＞2，所以$7.2\dot{8}＞7.\dot{2}\dot{8}$。
4. 比较$0.\dot{9}\dot{8}$和0.999：
$0.\dot{9}\dot{8}$是循环节为98的循环小数，展开为0.989898……，两者整数部分、十分位均相同，$0.\dot{9}\dot{8}$的百分位是8，0.999的百分位是9，8＜9，所以$0.\dot{9}\dot{8}＜0.999$。
【答案】
＜,＞,＞,＜
【知识点】
循环小数的认识，小数大小比较，循环节的含义
【点评】
本题核心考查对循环小数概念的理解以及小数大小比较方法的应用，解题时只需将循环小数展开到可比较出大小的位数，再逐位对比即可，掌握方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
二、选择题(将正确答案的序号填在括号里)。
1.下面各数是循环小数的是(
A.0.1515
B.0.151617…
C.0.01515…
D.0.5555
1.下面各数是循环小数的是(
C
)。A.0.1515
B.0.151617…
C.0.01515…
D.0.5555
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先回忆循环小数的定义：循环小数是无限小数，且小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现。我们可以先排除选项里的有限小数，再判断剩余无限小数是否存在依次重复出现的数字，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确循环小数的判定标准：①是无限小数；②小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现，两个条件需同时满足。
逐个分析选项：
A.0.1515的小数部分只有4位，是有限小数，不符合循环小数要求，排除；
B.0.151617…是无限小数，但小数部分的数字没有依次不断重复出现的规律，不属于循环小数，排除；
C.0.01515…是无限小数，且小数部分从百分位起“15”依次不断重复出现，符合循环小数的特征，当选；
D.0.5555的小数部分只有4位，是有限小数，不符合循环小数要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
循环小数的判定、有限小数、无限小数
【点评】
本题核心考查对循环小数概念的掌握，易错点是容易把有重复数字的有限小数错判为循环小数，解题时要先判断小数是有限还是无限，再验证是否有循环部分即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆循环小数的定义：循环小数是无限小数，且小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现。我们可以先排除选项里的有限小数，再判断剩余无限小数是否存在依次重复出现的数字，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确循环小数的判定标准：①是无限小数；②小数部分有一个或几个数字依次不断重复出现，两个条件需同时满足。
逐个分析选项：
A.0.1515的小数部分只有4位，是有限小数，不符合循环小数要求，排除；
B.0.151617…是无限小数，但小数部分的数字没有依次不断重复出现的规律，不属于循环小数，排除；
C.0.01515…是无限小数，且小数部分从百分位起“15”依次不断重复出现，符合循环小数的特征，当选；
D.0.5555的小数部分只有4位，是有限小数，不符合循环小数要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
循环小数的判定、有限小数、无限小数
【点评】
本题核心考查对循环小数概念的掌握，易错点是容易把有重复数字的有限小数错判为循环小数，解题时要先判断小数是有限还是无限，再验证是否有循环部分即可。
【难度系数】
0.8
2.下面各式的商不是循环小数的是(
A.$2÷ 3$
B.$1.6÷ 6$
C.$7÷ 9$
D.$4.5÷ 4$
D
)。A.$2÷ 3$
B.$1.6÷ 6$
C.$7÷ 9$
D.$4.5÷ 4$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个式子的商不是循环小数，首先要明确循环小数的定义：小数部分从某一位起，一个或几个数字不断重复出现的无限小数叫做循环小数。解题时我们只需要分别计算出四个选项的商，再判断哪个商是有限小数（即不是循环小数）就能得到答案。
【解析】
我们逐一计算每个选项的商：
A. $2÷3=0.\dot{6}$，小数部分6不断重复，是循环小数；
B. $1.6÷6=0.2\dot{6}$，小数部分从第二位起6不断重复，是循环小数；
C. $7÷9=0.\dot{7}$，小数部分7不断重复，是循环小数；
D. $4.5÷4=1.125$，商是三位有限小数，不是循环小数。
因此商不是循环小数的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
循环小数的认识；除数是整数的小数除法
【点评】
本题考查循环小数的判断，解题关键是熟练掌握小数除法计算方法，牢记循环小数的特征，计算时注意小数点的位置即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子的商不是循环小数，首先要明确循环小数的定义：小数部分从某一位起，一个或几个数字不断重复出现的无限小数叫做循环小数。解题时我们只需要分别计算出四个选项的商，再判断哪个商是有限小数（即不是循环小数）就能得到答案。
【解析】
我们逐一计算每个选项的商：
A. $2÷3=0.\dot{6}$，小数部分6不断重复，是循环小数；
B. $1.6÷6=0.2\dot{6}$，小数部分从第二位起6不断重复，是循环小数；
C. $7÷9=0.\dot{7}$，小数部分7不断重复，是循环小数；
D. $4.5÷4=1.125$，商是三位有限小数，不是循环小数。
因此商不是循环小数的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
循环小数的认识；除数是整数的小数除法
【点评】
本题考查循环小数的判断，解题关键是熟练掌握小数除法计算方法，牢记循环小数的特征，计算时注意小数点的位置即可正确解答。
【难度系数】
0.8
3.将下列各数按从小到大的顺序排列，排在第三个的是(
A.$4.8\dot{1}$
B.$4.\dot{8}\dot{1}$
C.$4.818$
D.$4.8$
C
)。A.$4.8\dot{1}$
B.$4.\dot{8}\dot{1}$
C.$4.818$
D.$4.8$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确小数比较大小的规则，以及循环小数的意义。第一步先把所有循环小数展开多写几位，方便后续逐位比较；第二步按照“先比整数部分，整数部分相同再依次比十分位、百分位、千分位……，相同数位上数字大的数更大”的规则，把四个数从小到大排序；最后找到排在第三位的数即可。
【解析】
先把各循环小数展开到可以比较的位数，有限小数补0到相同数位方便对比：
A. $4.8\dot{1}=4.81111···$
B. $4.\dot{8}\dot{1}=4.818181···$
C. $4.818=4.818000···$
D. $4.8=4.800000···$
逐位比较大小：
1. 四个数的整数部分都是4，大小相同；
2. 四个数的十分位都是8，大小相同；
3. 看百分位：D的百分位是0，其余三个数的百分位都是1，所以D最小，排第1位；
4. 剩余三个数千分位对比：A的千分位是1，B、C的千分位是8，所以A小于B、C，排第2位；
5. 剩余B、C万分位对比：C的万分位是0，B的万分位是1，所以C＜B，C排第3位，B排第4位。
综上从小到大排序为：$\boldsymbol{D ＜ A ＜ C ＜ B}$，排在第三个的是C。
【答案】
C
【知识点】
1. 循环小数的认识
2. 小数大小比较
【点评】
本题重点考察循环小数的改写和小数大小比较的方法，解题时注意要把循环小数展开足够的位数再逐位比较，同时看清排序要求是从小到大，避免顺序搞反出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确小数比较大小的规则，以及循环小数的意义。第一步先把所有循环小数展开多写几位，方便后续逐位比较；第二步按照“先比整数部分，整数部分相同再依次比十分位、百分位、千分位……，相同数位上数字大的数更大”的规则，把四个数从小到大排序；最后找到排在第三位的数即可。
【解析】
先把各循环小数展开到可以比较的位数，有限小数补0到相同数位方便对比：
A. $4.8\dot{1}=4.81111···$
B. $4.\dot{8}\dot{1}=4.818181···$
C. $4.818=4.818000···$
D. $4.8=4.800000···$
逐位比较大小：
1. 四个数的整数部分都是4，大小相同；
2. 四个数的十分位都是8，大小相同；
3. 看百分位：D的百分位是0，其余三个数的百分位都是1，所以D最小，排第1位；
4. 剩余三个数千分位对比：A的千分位是1，B、C的千分位是8，所以A小于B、C，排第2位；
5. 剩余B、C万分位对比：C的万分位是0，B的万分位是1，所以C＜B，C排第3位，B排第4位。
综上从小到大排序为：$\boldsymbol{D ＜ A ＜ C ＜ B}$，排在第三个的是C。
【答案】
C
【知识点】
1. 循环小数的认识
2. 小数大小比较
【点评】
本题重点考察循环小数的改写和小数大小比较的方法，解题时注意要把循环小数展开足够的位数再逐位比较，同时看清排序要求是从小到大，避免顺序搞反出错。
【难度系数】
0.7
4.在$69÷33$的商的小数部分的第21位上的数字是(
A.2
B.0
C.9
D.1
B
)。A.2
B.0
C.9
D.1
答案
4.B
解析
【分析】
要找到商的小数部分第21位的数字，我们可以分三步思考：第一步先计算出69÷33的商，观察商的小数部分的规律，确定它的循环节；第二步用小数部分的位数21除以循环节的长度，得到商和余数；第三步根据余数判断对应位置的数字，余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。
【解析】
首先计算$69÷33$的商：
$69÷33=2.090909······$，可以看出小数部分是“09”依次重复出现，所以循环节是09，长度为2。
接下来计算21除以循环节的长度：$21÷2=10$（组）$······1$（个），说明小数部分前21位里有10组完整的循环节“09”，还多1个数字，多出来的这个数字就是循环节的第1个数字，也就是0。
【答案】
B
【知识点】
除数是整数的小数除法，循环小数，周期问题
【点评】
本题主要考查对循环小数规律的掌握和周期问题的应用，关键是先准确计算出商，找到循环节，再结合除法的余数判断对应位置的数字。
【难度系数】
0.75
要找到商的小数部分第21位的数字，我们可以分三步思考：第一步先计算出69÷33的商，观察商的小数部分的规律，确定它的循环节；第二步用小数部分的位数21除以循环节的长度，得到商和余数；第三步根据余数判断对应位置的数字，余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。
【解析】
首先计算$69÷33$的商：
$69÷33=2.090909······$，可以看出小数部分是“09”依次重复出现，所以循环节是09，长度为2。
接下来计算21除以循环节的长度：$21÷2=10$（组）$······1$（个），说明小数部分前21位里有10组完整的循环节“09”，还多1个数字，多出来的这个数字就是循环节的第1个数字，也就是0。
【答案】
B
【知识点】
除数是整数的小数除法，循环小数，周期问题
【点评】
本题主要考查对循环小数规律的掌握和周期问题的应用，关键是先准确计算出商，找到循环节，再结合除法的余数判断对应位置的数字。
【难度系数】
0.75
三、解决问题。
2020年11月24日22时06分，嫦娥五号探测器顺利完成第一次轨道修正，继续飞向月球。截至第一次轨道修正前，已在轨飞行约17小时，距离地球约16万千米，平均每小时飞行几万千米？（得数保留两位小数）
2020年11月24日22时06分，嫦娥五号探测器顺利完成第一次轨道修正，继续飞向月球。截至第一次轨道修正前，已在轨飞行约17小时，距离地球约16万千米，平均每小时飞行几万千米？（得数保留两位小数）
答案
16÷17≈0.94(万千米)
解析
【分析】
要求平均每小时飞行的距离，也就是求飞行的速度，我们可以根据行程问题的基本数量关系“速度=路程÷时间”来解题。首先从题目中找到对应的数据：总路程是16万千米，飞行时间是17小时，将数据代入公式列出除法算式即可。另外题目要求得数保留两位小数，计算时需要除到小数点后第三位，再用四舍五入法取近似值。
【解析】
根据速度、路程、时间的关系可得：
速度 = 路程 ÷ 时间
代入数值列式：
16 ÷ 17 ≈ 0.94（万千米）
（计算时16÷17得到的商约为0.941，小数点后第三位是1，小于5，直接舍去，保留两位小数为0.94）
【答案】
平均每小时飞行约0.94万千米。
【知识点】
1. 除数是整数的小数除法
2. 行程问题基本公式
3. 小数的近似数
【点评】
本题结合航天热点背景设计，侧重考查基础数量关系的应用和小数计算、取近似值的能力，解题的关键是找准对应的路程和时间，计算时细心即可。
【难度系数】
0.8
要求平均每小时飞行的距离，也就是求飞行的速度，我们可以根据行程问题的基本数量关系“速度=路程÷时间”来解题。首先从题目中找到对应的数据：总路程是16万千米，飞行时间是17小时，将数据代入公式列出除法算式即可。另外题目要求得数保留两位小数，计算时需要除到小数点后第三位，再用四舍五入法取近似值。
【解析】
根据速度、路程、时间的关系可得：
速度 = 路程 ÷ 时间
代入数值列式：
16 ÷ 17 ≈ 0.94（万千米）
（计算时16÷17得到的商约为0.941，小数点后第三位是1，小于5，直接舍去，保留两位小数为0.94）
【答案】
平均每小时飞行约0.94万千米。
【知识点】
1. 除数是整数的小数除法
2. 行程问题基本公式
3. 小数的近似数
【点评】
本题结合航天热点背景设计，侧重考查基础数量关系的应用和小数计算、取近似值的能力，解题的关键是找准对应的路程和时间，计算时细心即可。
【难度系数】
0.8
☆1.在下列各式中的数的合适位置点上圆点使其成为循环小数，同时使式子成立。
9.078＜9.078
5.67＞5.672
3.03＞3.03
1.98=1.9898…
9.078＜9.078
5.67＞5.672
3.03＞3.03
1.98=1.9898…
答案
1.$9.0\dot{7}\dot{8}＜9.07\dot{8},5.\dot{6}\dot{7}＞5.67\dot{2},3.0\dot{3}＞3.\dot{0}\dot{3},1.\dot{9}\dot{8}=1.9898…$(部分答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先回忆循环小数的含义和小数大小比较的方法：小数比较大小先比整数部分，整数部分相同再依次比较十分位、百分位、千分位……直到比出大小为止。本题中左右两边原本的有限小数部分完全相同，我们只需要通过设置不同的循环节，让循环小数后续数位的数字符合大小关系要求即可，部分式子的循环节设置不唯一，只要满足大小关系就正确。
【解析】
1. 对于$9.078＜9.078$：两个数的前三位小数都是0、7、8，要让左边的数更小，可将左边的循环节设为78，得到$9.0\dot{7}\dot{8}=9.0787878···$，右边的循环节设为8，得到$9.07\dot{8}=9.078888···$，万分位上$7＜8$，满足$9.0\dot{7}\dot{8}＜9.07\dot{8}$。
2. 对于$5.67＞5.672$：左边数的前两位小数是6、7，要让它大于右侧的数，可将左边循环节设为67，得到$5.\dot{6}\dot{7}=5.676767···$，右侧循环节设为2，得到$5.67\dot{2}=5.672222···$，万分位上$6＞2$，满足$5.\dot{6}\dot{7}＞5.67\dot{2}$。
3. 对于$3.03＞3.03$：两个数前两位小数是0、3，要让左边的数更大，可将左边循环节设为3，得到$3.0\dot{3}=3.03333···$，右边循环节设为03，得到$3.\dot{0}\dot{3}=3.030303···$，万分位上$3＞0$，满足$3.0\dot{3}＞3.\dot{0}\dot{3}$。
4. 对于$1.98=1.9898···$：右侧是98依次循环的循环小数，所以左侧的循环节为98，即$1.\dot{9}\dot{8}$，和右侧完全相等。
（前3个式子答案不唯一，符合大小关系即可）
【答案】
$9.0\dot{7}\dot{8}＜9.07\dot{8},5.\dot{6}\dot{7}＞5.67\dot{2},3.0\dot{3}＞3.\dot{0}\dot{3},1.\dot{9}\dot{8}=1.9898…$(部分答案不唯一)
【知识点】
循环小数的认识；小数大小比较
【点评】
本题重点考查对循环节规律的掌握和小数大小比较方法的运用，解题时需要结合循环节推断小数后续数位的数字，灵活设置循环节满足大小要求，部分解法不唯一，能很好地锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆循环小数的含义和小数大小比较的方法：小数比较大小先比整数部分，整数部分相同再依次比较十分位、百分位、千分位……直到比出大小为止。本题中左右两边原本的有限小数部分完全相同，我们只需要通过设置不同的循环节，让循环小数后续数位的数字符合大小关系要求即可，部分式子的循环节设置不唯一，只要满足大小关系就正确。
【解析】
1. 对于$9.078＜9.078$：两个数的前三位小数都是0、7、8，要让左边的数更小，可将左边的循环节设为78，得到$9.0\dot{7}\dot{8}=9.0787878···$，右边的循环节设为8，得到$9.07\dot{8}=9.078888···$，万分位上$7＜8$，满足$9.0\dot{7}\dot{8}＜9.07\dot{8}$。
2. 对于$5.67＞5.672$：左边数的前两位小数是6、7，要让它大于右侧的数，可将左边循环节设为67，得到$5.\dot{6}\dot{7}=5.676767···$，右侧循环节设为2，得到$5.67\dot{2}=5.672222···$，万分位上$6＞2$，满足$5.\dot{6}\dot{7}＞5.67\dot{2}$。
3. 对于$3.03＞3.03$：两个数前两位小数是0、3，要让左边的数更大，可将左边循环节设为3，得到$3.0\dot{3}=3.03333···$，右边循环节设为03，得到$3.\dot{0}\dot{3}=3.030303···$，万分位上$3＞0$，满足$3.0\dot{3}＞3.\dot{0}\dot{3}$。
4. 对于$1.98=1.9898···$：右侧是98依次循环的循环小数，所以左侧的循环节为98，即$1.\dot{9}\dot{8}$，和右侧完全相等。
（前3个式子答案不唯一，符合大小关系即可）
【答案】
$9.0\dot{7}\dot{8}＜9.07\dot{8},5.\dot{6}\dot{7}＞5.67\dot{2},3.0\dot{3}＞3.\dot{0}\dot{3},1.\dot{9}\dot{8}=1.9898…$(部分答案不唯一)
【知识点】
循环小数的认识；小数大小比较
【点评】
本题重点考查对循环节规律的掌握和小数大小比较方法的运用，解题时需要结合循环节推断小数后续数位的数字，灵活设置循环节满足大小要求，部分解法不唯一，能很好地锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
☆2.一个循环小数是7.2306306…，它的小数部分第2024位上的数字是几？
答案
2.2024-1=2023(个),2023÷3=674(组)……1(个),所以它的小数部分第2024位上的数字是3
解析
【分析】
首先观察循环小数7.2306306…的特征：小数部分第一位是2，不属于循环部分，从第二位开始“306”3个数字依次不断重复出现，即循环节是306，长度为3。要求第2024位上的数字，第一步需要先减去不参与循环的第1位，得到循环部分对应的总位数；第二步用循环部分的总位数除以循环节的长度，根据余数判断对应数字：余数是几，就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。
【解析】
步骤1：确定循环节和不循环部分
该循环小数的小数部分第1位是2（不参与循环），从第2位开始循环节为“306”，循环节长度是3。
步骤2：计算循环部分的总位数
去掉第1位不循环的数字，剩余参与循环的位数为：
$2024 - 1 = 2023$（个）
步骤3：结合有余数的除法判断对应数字
$2023 ÷ 3 = 674$（组）……$1$（个）
商674说明有674组完整的循环节，余数1说明剩余1个数字，对应循环节的第1个数字，即3。
【答案】
3
【知识点】
循环小数的认识；周期问题；有余数除法的应用
【点评】
本题重点考查循环小数的周期规律应用，解题的核心是先区分小数部分的不循环段和循环段，避免直接用总位数除以循环节长度导致出错，结合有余数的除法即可快速定位对应位置的数字。
【难度系数】
0.7
首先观察循环小数7.2306306…的特征：小数部分第一位是2，不属于循环部分，从第二位开始“306”3个数字依次不断重复出现，即循环节是306，长度为3。要求第2024位上的数字，第一步需要先减去不参与循环的第1位，得到循环部分对应的总位数；第二步用循环部分的总位数除以循环节的长度，根据余数判断对应数字：余数是几，就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。
【解析】
步骤1：确定循环节和不循环部分
该循环小数的小数部分第1位是2（不参与循环），从第2位开始循环节为“306”，循环节长度是3。
步骤2：计算循环部分的总位数
去掉第1位不循环的数字，剩余参与循环的位数为：
$2024 - 1 = 2023$（个）
步骤3：结合有余数的除法判断对应数字
$2023 ÷ 3 = 674$（组）……$1$（个）
商674说明有674组完整的循环节，余数1说明剩余1个数字，对应循环节的第1个数字，即3。
【答案】
3
【知识点】
循环小数的认识；周期问题；有余数除法的应用
【点评】
本题重点考查循环小数的周期规律应用，解题的核心是先区分小数部分的不循环段和循环段，避免直接用总位数除以循环节长度导致出错，结合有余数的除法即可快速定位对应位置的数字。
【难度系数】
0.7
