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1. 母题 教材$P_{19}$习题$T_1$ 已知$(m-3)x^{m^2 -7} +2026x -2026=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值为（
A.3
B.0
C.$-3$
D.$\pm3$
C
）A.3
B.0
C.$-3$
D.$\pm3$
答案
1. C
2. 把一元二次方程$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+(x-2)^2=2$化成一般形式为
$2x^2-4x-1=0$
.答案
2. $2x^2-4x-1=0$
3. 新考法·整体代入法 连云港连云区期中 如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx - 1 = 0$的一个解是$x = 1$，则$2026 - a - b =$
$2025$
。答案
3. 2025
4. 新趋势学科内综合 已知菱形ABCD的两条对角线交于点O，且AO，BO的长分别为方程$x^2 -7x +12=0$的两个根，则这个菱形的边长为（
A.5
B.4
C.3
D.6
A
）A.5
B.4
C.3
D.6
答案
4. A
5.用配方法解一元二次方程$ax^2+bx-c=0(a≠0,c＞0)$，得到$(x-c)^2=4c^2$，从而解得方程的一根为1，则$a-3b=$
$3$
.答案
5. 3 【点拨】由$(x-c)^2=4c^2$可得$x-c=\pm 2c$,$\therefore x=c\pm 2c$,即$x=-c$或$x=3c$. $\because$ 方程的一根为 1, 且 $c＞0$,$\therefore 3c=1$,即$c=\frac{1}{3}$.$\therefore (x-\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$,整理,得$x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$.$\therefore a=1$,$b=-\frac{2}{3}$.$\therefore a-3b=1+2=3$.
6. 母题教材$P_{51}$复习题$T_1$ 用适当的方法解方程：
(1)$(x-5)^2=16$；
(2)$x^2-4x+1=0$；
(3)$x^2+1=\sqrt{6}x$；
(4)$(2x+1)^2+3(2x+1)=0$。
(1)$(x-5)^2=16$；
(2)$x^2-4x+1=0$；
(3)$x^2+1=\sqrt{6}x$；
(4)$(2x+1)^2+3(2x+1)=0$。
答案
6. 【解】(1)直接开平方,得 $x-5=\pm 4$,则 $x=5\pm 4$,$\therefore x_1=1$,$x_2=9$.
(2)原方程可化为$(x-2)^2=3$,$\therefore x-2=\pm\sqrt{3}$.
$\therefore x_1=2-\sqrt{3}$,$x_2=2+\sqrt{3}$.
(3)原方程可化为$x^2-\sqrt{6}x+1=0$.
$\because a=1$,$b=-\sqrt{6}$,$c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$.
$\therefore x=\frac{-(-\sqrt{6})\pm\sqrt{2}}{2×1}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$,$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
(4)因式分解,得$(2x+1)(2x+4)=0$.
$\therefore 2x+1=0$ 或 $2x+4=0$.$\therefore x_1=-\frac{1}{2}$,$x_2=-2$.
(2)原方程可化为$(x-2)^2=3$,$\therefore x-2=\pm\sqrt{3}$.
$\therefore x_1=2-\sqrt{3}$,$x_2=2+\sqrt{3}$.
(3)原方程可化为$x^2-\sqrt{6}x+1=0$.
$\because a=1$,$b=-\sqrt{6}$,$c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$.
$\therefore x=\frac{-(-\sqrt{6})\pm\sqrt{2}}{2×1}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$,$x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
(4)因式分解,得$(2x+1)(2x+4)=0$.
$\therefore 2x+1=0$ 或 $2x+4=0$.$\therefore x_1=-\frac{1}{2}$,$x_2=-2$.
7.[深圳期中]一元二次方程$x^2 -kx -3=0$的根的情况是 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根
答案
7. B
8. [《数学周报》杯全国初中数学竞赛] 对于实数$u,v$,定义一种运算“$*$”为:$u*v=uv+v$.若关于$x$的方程$x*(a*x)=-\dfrac{1}{4}$有两个不同的实数根,则满足条件的实数$a$的取值范围是
$a＞0或a＜-1$
.答案
8. $a＞0$ 或 $a＜-1$ 【点拨】由 $x*(a*x)=-\frac{1}{4}$,得$(a+1)x^2+(a+1)x+\frac{1}{4}=0$.依题意,得$\begin{cases}a+1≠0,\\\Delta=(a+1)^2-(a+1)＞0,\end{cases}$解得 $a＞0$ 或 $a＜-1$. 故 $a$ 的取值范围是 $a＞0$ 或 $a＜-1$.
9. 「一题多解」已知$x_1$，$x_2$是方程$x^2 - x - 2027=0$的两个实数根，则代数式$x_2^3 - 2027x_2 + x_1^2$的值是
$4055$
。答案
9. 4 055 【点拨】方法 1: $\because x_1$,$x_2$ 是方程 $x^2-x-2\ 027=0$ 的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=1$,$x_1x_2=-2\ 027$,$x_2^2-x_2-2\ 027=0$,即 $x_2^2-2\ 027=x_2$,$\therefore$ 原式$=x_2(x_2^2-2\ 027)+x_1^2=x_2^2+x_1^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1+4\ 054=4\ 055$.方法 2: $\because x_1$,$x_2$ 是方程 $x^2-x-2\ 027=0$ 的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=1$,$x_1^2-x_1-2\ 027=0$,$x_2^2-x_2-2\ 027=0$,$\therefore x_1^2=x_1+2\ 027$,$x_2^2=x_2+2\ 027$,$x_2^2-2\ 027=x_2$.$\therefore$ 原式$=x_2(x_2^2-2\ 027)+x_1^2=x_2^2+x_1^2=x_2+2\ 027+x_1+2\ 027=1+2\ 027+2\ 027=4\ 055$.
10. [华师一附中自主招生]已知$m,n$是方程$x^2+3x+1=0$的两根.
(1)求$(m+5-\dfrac{16}{5-m})·\dfrac{2m-10}{3-m}-\dfrac{2}{m}$的值；
(2)求$\sqrt{\dfrac{m^3}{n}}+\sqrt{\dfrac{n^3}{m}}$的值.
(1)求$(m+5-\dfrac{16}{5-m})·\dfrac{2m-10}{3-m}-\dfrac{2}{m}$的值；
(2)求$\sqrt{\dfrac{m^3}{n}}+\sqrt{\dfrac{n^3}{m}}$的值.
答案
10. 【解】(1)$\because m^2+3m+1=0$,$\therefore$ 原式$=-2(m+3)-\frac{2}{m}=-2·\frac{m^2+3m+1}{m}=0$.
(2)$\because m,n$ 是方程 $x^2+3x+1=0$ 的两根,$\therefore m+n=-3$,$mn=1$.
设 $x=\sqrt{\frac{m^3}{n}}+\sqrt{\frac{n^3}{m}}$,则 $x^2=\frac{m^4+n^4}{mn}+2\sqrt{m^2n^2}=m^4+n^4+2=[(m+n)^2-2mn]^2=(9-2)^2=49$,
$\therefore x=7$,即$\sqrt{\frac{m^3}{n}}+\sqrt{\frac{n^3}{m}}=7$.
(2)$\because m,n$ 是方程 $x^2+3x+1=0$ 的两根,$\therefore m+n=-3$,$mn=1$.
设 $x=\sqrt{\frac{m^3}{n}}+\sqrt{\frac{n^3}{m}}$,则 $x^2=\frac{m^4+n^4}{mn}+2\sqrt{m^2n^2}=m^4+n^4+2=[(m+n)^2-2mn]^2=(9-2)^2=49$,
$\therefore x=7$,即$\sqrt{\frac{m^3}{n}}+\sqrt{\frac{n^3}{m}}=7$.
11. 情境题 消防安全 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害.“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段.阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个长方形电动车车棚(如图)，一边利用小区的后墙(可利用墙长为45 m)，其他的边用总长70 m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1 m长的出口(出口处不用栅栏)，不锈钢栅栏状如“山”字形.
(1)若车棚占地面积为384 m²，试求出电动车车棚的长(BC)和宽(AB).
(2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450 m²的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
(1)若车棚占地面积为384 m²，试求出电动车车棚的长(BC)和宽(AB).
(2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450 m²的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
答案
11. 【解】(1)设车棚的宽 AB 为 $x$ m,则车棚的长 BC 为$(72-3x)$ m,
由题意,得 $x(72-3x)=384$,解得 $x_1=8$,$x_2=16$.
当 $x=8$ 时,$72-3×8=48＞45$(不合题意,舍去);
当 $x=16$ 时,$72-3×16=24＜45$.
答:电动车车棚的长(BC)为 24 m,宽(AB)为 16 m.
(2)不能围成占地面积为 $450\ \mathrm{m}^2$ 的电动车车棚.理由如下:
设车棚的宽 AB 为 $y$ m,则车棚的长 BC 为$(72-3y)$m,
由题意,得 $y(72-3y)=450$,
整理,得 $y^2-24y+150=0$.
$\because \Delta=(-24)^2-4×1×150=-24＜0$,
$\therefore$ 原方程无解.$\therefore$ 不能围成占地面积为 $450\ \mathrm{m}^2$ 的电动车车棚.
由题意,得 $x(72-3x)=384$,解得 $x_1=8$,$x_2=16$.
当 $x=8$ 时,$72-3×8=48＞45$(不合题意,舍去);
当 $x=16$ 时,$72-3×16=24＜45$.
答:电动车车棚的长(BC)为 24 m,宽(AB)为 16 m.
(2)不能围成占地面积为 $450\ \mathrm{m}^2$ 的电动车车棚.理由如下:
设车棚的宽 AB 为 $y$ m,则车棚的长 BC 为$(72-3y)$m,
由题意,得 $y(72-3y)=450$,
整理,得 $y^2-24y+150=0$.
$\because \Delta=(-24)^2-4×1×150=-24＜0$,
$\therefore$ 原方程无解.$\therefore$ 不能围成占地面积为 $450\ \mathrm{m}^2$ 的电动车车棚.
