12. 真实情境题体育赛事 2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会,于2025年8月7日至8月17日在成都举行,以大熊猫和川金丝猴为原型的吉祥物"蜀宝"和"锦仔"深受群众喜爱.某商场以每件25元的进价购进一批"蜀宝"和"锦仔"玩偶.当玩偶的售价为每件40元时,2月份可销售256件.3,4月该玩偶十分畅销,销售量持续走高.在售价不变的基础上,4月底的销售量达到400件.设3,4月这两个月的月平均增长率不变.
(1)求3,4月这两个月的月平均增长率.
(2)从5月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客.经调查发现,销售单价与月平均销售量的关系如下表:

12. 【解】(1)设 3,4 月这两个月的月平均增长率为 $x$,根据题意得 $256(1+x)^2=400$,
解得 $x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不符合题意,舍去),
$\therefore$ 3,4 月这两个月的月平均增长率为 25%.
(2)由销售单价与月平均销售量的关系可知,该玩偶的售价每降低 1 元,销售量就会增加 40 件.
设该玩偶降价 $y$ 元,则每件的销售利润为$(40-y-25)$元,月销售量为$(400+40y)$件,
根据题意得$(40-y-25)(400+40y)=6\ 240$,
整理得 $y^2-5y+6=0$,
解得 $y_1=3$,$y_2=2$(不符合题意,舍去).
答:该玩偶应降价 3 元.

13.已知$x=a$是$2x^2 + x - 2 = 0$的一个根，求代数式$2a^4 + a^3 + 2a^2 + 2a + 1$的值。

13. 【解】$\because x=a$ 是 $2x^2+x-2=0$ 的一个根,$\therefore 2a^2+a-2=0$,即 $2a^2+a=2$. $\therefore$ 原式$=a^2(2a^2+a)+2a^2+2a+1=2a^2+2a^2+2a+1=2(2a^2+a)+1=5$.

14. 新视角新定义题 定义:如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“友好方程”,如果关于$x$的一元二次方程$x^2 - x=0$与$x^2 +3x +m -1=0$为“友好方程”,求$m$的值.

14. 【解】解方程 $x^2-x=0$,得 $x_1=0$,$x_2=1$.
①若 $x=0$ 是两个方程相同的实数根,
将 $x=0$ 代入方程 $x^2+3x+m-1=0$,得 $m-1=0$,
$\therefore m=1$. 此时原方程为 $x^2+3x=0$,
解得 $x_1=0$,$x_2=-3$,符合题意,$\therefore m=1$;
②若 $x=1$ 是两个方程相同的实数根,
将 $x=1$ 代入方程 $x^2+3x+m-1=0$,得 $4+m-1=0$,
$\therefore m=-3$. 此时原方程为 $x^2+3x-4=0$,
解得 $x_1=1$,$x_2=-4$,符合题意,$\therefore m=-3$.
综上所述,$m$ 的值为 1 或 $-3$.