1.[济南历下区模拟] 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上.
(1)如图①，点D在BC边上，$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，AD与BE相交于点P，过点A作$AF// BC$，交BE的延长线于点F，则$\frac{AP}{PD}$的值为.
(2)如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，求$\frac{AP}{PD}$的值.

(1) $\frac{3}{2}$
(2) 如图,过点A作$AF// DB$,交BP的延长线于点F，
设 $DC=k$,由$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$得 $BC=2k$,
$\therefore DB=DC+BC=3k$.
$\because BE$是AC边上的中线,$\therefore AE=CE$.
$\because AF// DB,\therefore ∠ F=∠ 1$.
在$△ AEF$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ F=∠ 1,\\∠ 2=∠ 3,\\AE=CE,\end{cases}$ $\therefore △ AEF≌△ CEB,\therefore AF=BC=2k$.
$\because AF// BC,\therefore △ APF∽△ DPB,\therefore \frac{PA}{PD}=\frac{AF}{BD}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$.
点思路 过点A作$AF// DB$交BP的延长线于点F,构造相似三角形,得到相关线段的比来求解.

2. 石家庄新华区期末 新视角·动点探究题 如图，在$□ ABCD$中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，AC⊥AB，△ACD沿AC方向以1 cm/s的速度平移得到△PNM，同时点Q从点C出发，沿CB方向以1 cm/s的速度运动.当△PNM停止平移时，点Q也停止运动，设运动时间为t s(0＜t＜4).
(1)当t为何值时，PQ⊥AC？
(2)当$S_{△ PQC}:S_{四边形ABQP}=1:35$时，求t的值.

(1) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ BAC=90°,AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4\ \mathrm{cm}$.
$\because PQ⊥ AC,AC⊥ AB,\therefore PQ// AB,\therefore \frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$.
由题意得 $AP=t\ \mathrm{cm},CQ=t\ \mathrm{cm},\therefore \frac{4-t}{4}=\frac{t}{5}$,解得 $t=\frac{20}{9}$，
$\therefore$ 当 $t$ 为 $\frac{20}{9}$ 时,$PQ⊥ AC$.
(2) 如图,过点 $P$ 作 $PF⊥ BC$ 于点 $F$，
$\therefore ∠ CFP=∠ CAB=90°$.
又 $\because ∠ PCF=∠ BCA$，
$\therefore △ CPF∽△ CBA$，
$\therefore \frac{CP}{BC}=\frac{PF}{AB}$,即 $\frac{4-t}{5}=\frac{PF}{3}$，
$\therefore PF=\frac{3}{5}(4-t)$.
$\because S_{△ PQC}:S_{四边形ABQP}=1:35,\therefore S_{△ PQC}=\frac{1}{36}S_{△ ABC},\therefore \frac{1}{2}× t× \frac{3}{5}(4-t)=\frac{1}{36}× \frac{1}{2}× 3× 4$,整理,得 $9t^2-36t+5=0$,解得 $t=\frac{6-\sqrt{31}}{3}$ 或 $t=\frac{6+\sqrt{31}}{3}$.
$\therefore$ 当 $S_{△ PQC}:S_{四边形ABQP}=1:35$ 时,$t$ 的值为 $\frac{6-\sqrt{31}}{3}$或$\frac{6+\sqrt{31}}{3}$.