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10. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=6$，$AD=9$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，交$DC$的延长线于点$F$，$BG⊥ AE$，垂足为$G$，$BG=4\sqrt{2}$，则$△ CEF$的周长为（
A.8
B.9.5
C.10
D.11.5
（第10题）
A
）A.8
B.9.5
C.10
D.11.5
（第10题）答案
10.A 【点拨】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB// DC$,$CD=AB=6$,$BC=AD=9$,$\therefore ∠ BAF=∠ F$.
$\because ∠ BAD$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$,$\therefore ∠ BAF=∠ DAF$.
$\therefore ∠ DAF=∠ F.\therefore FD=AD=9.\therefore CF=3$. 同理可得$BE=AB=6$,$\therefore CE=3$. $\because$ 在 $△ ABG$ 中,$BG⊥ AE$,$AB=6$,$BG=4\sqrt{2}$,$\therefore AG=2$. 易知 $AE=2AG=4$.
$\therefore △ ABE$ 的周长等于 16. 易证得 $△ CEF∽△ BEA$,且相似比为 $1:2$,$\therefore △ CEF$ 的周长为 8. 故选 A.
$\because ∠ BAD$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$,$\therefore ∠ BAF=∠ DAF$.
$\therefore ∠ DAF=∠ F.\therefore FD=AD=9.\therefore CF=3$. 同理可得$BE=AB=6$,$\therefore CE=3$. $\because$ 在 $△ ABG$ 中,$BG⊥ AE$,$AB=6$,$BG=4\sqrt{2}$,$\therefore AG=2$. 易知 $AE=2AG=4$.
$\therefore △ ABE$ 的周长等于 16. 易证得 $△ CEF∽△ BEA$,且相似比为 $1:2$,$\therefore △ CEF$ 的周长为 8. 故选 A.
11. 新考法折叠法 如图,已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的点P处,折痕与边BC交于点O.若△OCP与△PDA的周长比为1:2,则边AB的长为
10
.答案
11.10 【点拨】$\because △ OCP$ 与 $△ PDA$ 的周长比为 $1:2$,且易证$△ OCP∽△ PDA$,$\therefore \dfrac{CP}{AD}=\dfrac{OC}{PD}=\dfrac{1}{2}.\because AD=8$,
$\therefore CP=\dfrac{1}{2}AD=4$. 易知 $BC=AD=8$, 设 $OC=x$, 则$OB=8-x$. 由折叠的性质得 $OP=OB=8-x$. 在$\mathrm{Rt}△ OCP$ 中,$OC^2+CP^2=OP^2$. 即 $x^2+4^2=(8-x)^2$,解得 $x=3$, 即 $OC=3$. $\therefore DP=2OC=6$. $\therefore$ 易得 $AB=CD=DP+CP=6+4=10$.
$\therefore CP=\dfrac{1}{2}AD=4$. 易知 $BC=AD=8$, 设 $OC=x$, 则$OB=8-x$. 由折叠的性质得 $OP=OB=8-x$. 在$\mathrm{Rt}△ OCP$ 中,$OC^2+CP^2=OP^2$. 即 $x^2+4^2=(8-x)^2$,解得 $x=3$, 即 $OC=3$. $\therefore DP=2OC=6$. $\therefore$ 易得 $AB=CD=DP+CP=6+4=10$.
12. 新考法方程思想 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$AB$上,点$E,F$在边$AC$上,且$DE// BC$,$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AE}$.
(1)求证:$DF// BE$;
(2)把$△ FDE$与$△ EBC$的周长分别记作$C_{△ FDE}$,$C_{△ EBC}$,如果$CF=AE$,求$\frac{C_{△ FDE}}{C_{△ EBC}}$的值.
(1)求证:$DF// BE$;
(2)把$△ FDE$与$△ EBC$的周长分别记作$C_{△ FDE}$,$C_{△ EBC}$,如果$CF=AE$,求$\frac{C_{△ FDE}}{C_{△ EBC}}$的值.
答案
12.(1)【证明】$\because DE// BC,\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$.
$\because \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AE},\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AF}{AE}$.
又$\because ∠ DAF=∠ EAB,\therefore △ ADF∽△ ABE$,
$\therefore ∠ ADF=∠ ABE,\therefore DF// BE$.
(2)【解】$\because DF// BE,\therefore ∠ FDE=∠ DEB$.
$\because DE// BC,\therefore ∠ DEB=∠ EBC,∠ FED=∠ C$,
$\therefore ∠ FDE=∠ EBC,\therefore △ FDE∽△ EBC$,
$\therefore \dfrac{C_{△ FDE}}{C_{△ EBC}}=\dfrac{FE}{EC}$. 设 $FE=a,EC=b$. $\because CF=AE,\therefore AF=CE=b$,$\therefore AC=AF+EF+EC=2b+a$,$AE=FE+AF=a+b$. $\because \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AE}$,$\therefore \dfrac{a+b}{a+2b}=\dfrac{b}{b+a}$, 整理得 $a^2+ab-b^2=0$,$\therefore (\dfrac{a}{b})^2+\dfrac{a}{b}-1=0$, 解得 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$(负值已舍去),$\therefore \dfrac{C_{△ FDE}}{C_{△ EBC}}=\dfrac{FE}{EC}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
$\because \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AE},\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AF}{AE}$.
又$\because ∠ DAF=∠ EAB,\therefore △ ADF∽△ ABE$,
$\therefore ∠ ADF=∠ ABE,\therefore DF// BE$.
(2)【解】$\because DF// BE,\therefore ∠ FDE=∠ DEB$.
$\because DE// BC,\therefore ∠ DEB=∠ EBC,∠ FED=∠ C$,
$\therefore ∠ FDE=∠ EBC,\therefore △ FDE∽△ EBC$,
$\therefore \dfrac{C_{△ FDE}}{C_{△ EBC}}=\dfrac{FE}{EC}$. 设 $FE=a,EC=b$. $\because CF=AE,\therefore AF=CE=b$,$\therefore AC=AF+EF+EC=2b+a$,$AE=FE+AF=a+b$. $\because \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AE}$,$\therefore \dfrac{a+b}{a+2b}=\dfrac{b}{b+a}$, 整理得 $a^2+ab-b^2=0$,$\therefore (\dfrac{a}{b})^2+\dfrac{a}{b}-1=0$, 解得 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$(负值已舍去),$\therefore \dfrac{C_{△ FDE}}{C_{△ EBC}}=\dfrac{FE}{EC}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
13. ★★★ 新考法类比法 问题1:如图①,在△ABC中,AB=4,D是AB上一点(D不与A,B重合),DE//BC,交AC于点E,连结CD.设△ABC的面积为S,△DEC的面积为$S'$.
(1)当$AD=3$时,$\frac{S'}{S}=$
(2)设$AD=m$,请你用含字母$m$的代数式表示$\frac{S'}{S}$.
问题2:如图②,在四边形ABCD中,$AB=4$,$AD// BC$,$AD=\frac{1}{2}BC$,E是AB上一点(不与A,B重合),$EF// BC$,交CD于点F,连结CE.设$AE=n$,四边形ABCD的面积为S,$△ EFC$的面积为$S'$.请你利用问题1的解法或结论,用含字母$n$的代数式表示$\frac{S'}{S}$.
(1)当$AD=3$时,$\frac{S'}{S}=$
$\dfrac{3}{16}$
;(2)设$AD=m$,请你用含字母$m$的代数式表示$\frac{S'}{S}$.
问题2:如图②,在四边形ABCD中,$AB=4$,$AD// BC$,$AD=\frac{1}{2}BC$,E是AB上一点(不与A,B重合),$EF// BC$,交CD于点F,连结CE.设$AE=n$,四边形ABCD的面积为S,$△ EFC$的面积为$S'$.请你利用问题1的解法或结论,用含字母$n$的代数式表示$\frac{S'}{S}$.
答案
13.【解】问题1:(1)$\dfrac{3}{16}$
(2)$\because AB=4$,$AD=m$,$\therefore BD=4-m$.
$\because DE// BC$,$\therefore \dfrac{CE}{EA}=\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{4-m}{m}$.
$\therefore \dfrac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{4-m}{m}$.
$\because DE// BC$,$\therefore △ ADE∽△ ABC$.
$\therefore \dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\dfrac{m}{4})^2=\dfrac{m^2}{16}$.
$\therefore \dfrac{S_{△ DEC}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}·\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\dfrac{4-m}{m}·\dfrac{m^2}{16}=\dfrac{-m^2+4m}{16}$,
即$\dfrac{S'}{S}=\dfrac{-m^2+4m}{16}$.
问题2:如图,延长$BA,CD$交于点$O$.
$\because AD// BC$,$\therefore △ OAD∽△ OBC$.
$\therefore \dfrac{OA}{OB}=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{1}{2}.\therefore OA=AB=4.\therefore OB=8$.
$\because AE=n$,$\therefore OE=4+n$,$BE=4-n$.
$\because EF// BC$,$\therefore$ 由问题1的解法可知:
$\dfrac{S_{△ CEF}}{S_{△ OBC}}=\dfrac{S_{△ CEF}}{S_{△ OEF}}·\dfrac{S_{△ OEF}}{S_{△ OBC}}=\dfrac{4-n}{4+n}·(\dfrac{4+n}{8})^2=\dfrac{16-n^2}{64}$.
$\because \dfrac{S_{△ OAD}}{S_{△ OBC}}=(\dfrac{OA}{OB})^2=\dfrac{1}{4}$,$\therefore \dfrac{S_{四边形ABCD}}{S_{△ OBC}}=\dfrac{3}{4}$.
$\therefore \dfrac{S_{△ CEF}}{S_{四边形ABCD}}=\dfrac{S_{△ CEF}}{\dfrac{3}{4}S_{△ OBC}}=\dfrac{4}{3}×\dfrac{16-n^2}{64}=\dfrac{16-n^2}{48}$,
即$\dfrac{S'}{S}=\dfrac{16-n^2}{48}$.
