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8. 娄底模拟 新考向 地域文化 车田江特大桥(如图①所示)位于娄底市新化县车田江风景区,桥体外侧呈“拱架”的构造,地方文化特色十分浓郁,与车田江自然美景融合,更是相得益彰.容融为了知道大桥AB的长度和桥墩AC的高度,进行了如下测量(如图②):
【测量过程1】容融用一架无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A,B的俯角为$60°$和$30°$,已知点E到大桥AB的距离为170米.
【测量过程2】若大桥的形状是轴对称图形,容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为$28°$,在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为$22°$.(结果精确到0.1米,$\sqrt{3}\approx1.73,\tan28°\approx0.53,\tan22°\approx0.40$)
(1)求大桥AB的长度;
(2)求大桥桥墩AC的高度.
【测量过程1】容融用一架无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A,B的俯角为$60°$和$30°$,已知点E到大桥AB的距离为170米.
【测量过程2】若大桥的形状是轴对称图形,容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为$28°$,在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为$22°$.(结果精确到0.1米,$\sqrt{3}\approx1.73,\tan28°\approx0.53,\tan22°\approx0.40$)
(1)求大桥AB的长度;
(2)求大桥桥墩AC的高度.
答案
8.【解】(1)如图,过点 E 作 $EF⊥ AB$ 于点 F,
由题意得 EF=170 米,∠EAF=60°,∠EBF=30°.
在 Rt△AEF 中,$\tan 60°=\frac{EF}{AF}$,
∴$AF=\frac{EF}{\tan 60°}=\frac{170}{\sqrt{3}}=\frac{170\sqrt{3}}{3}$(米).
在 Rt△BEF 中,$\tan 30°=\frac{EF}{BF}$,
∴$BF=\frac{EF}{\tan 30°}=\frac{170}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=170\sqrt{3}$(米).
∴$AB=\frac{170\sqrt{3}}{3}+170\sqrt{3}=\frac{4× 170\sqrt{3}}{3}\approx 392.1$(米).
答:大桥 AB 的长度约为 392.1 米.
(2)如图,过点 D 作 $DH⊥ CI$ 于点 H,交 AB 于点 G,易知 $DG⊥ AB$,
由题意得 $CH=AG=\frac{1}{2}AB=\frac{340\sqrt{3}}{3}\approx 196.07$(米),
AC=GH,∠DAG=22°,∠DCH=28°.
在 Rt△ADG 中,$\tan 22°=\frac{DG}{AG}$,
∴$DG=AG· \tan 22°\approx 196.07× 0.40\approx 78.43$(米).
在 Rt△DCH 中,$\tan 28°=\frac{DH}{CH}$,
∴$DH=CH· \tan 28°\approx 196.07× 0.53\approx 103.92$(米),
∴$AC=GH=DH-DG\approx 103.92-78.43\approx 25.5$(米).
答:大桥桥墩 AC 的高度约为 25.5 米.
9. ★★ 初高衔接 关于三角函数有如下的公式：
①$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$；
②$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$；
③$\tan(α+β)=\dfrac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα·\tanβ}(1-\tanα·\tanβ≠0)$。
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如$\tan105°=\tan(45°+60°)=\dfrac{\tan45°+\tan60°}{1-\tan45°·\tan60°}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{1-1×\sqrt{3}}=\dfrac{(1+\sqrt{3})×(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})×(1+\sqrt{3})}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-(2+\sqrt{3})$。
根据上面的知识，解决下面的问题：
(1)求$\sin105°,\tan75°$的值；
(2)如图，直升机在一建筑物CD斜上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角$α$为$60°$，底端点C的俯角$β$为$75°$，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。
①$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$；
②$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$；
③$\tan(α+β)=\dfrac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα·\tanβ}(1-\tanα·\tanβ≠0)$。
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如$\tan105°=\tan(45°+60°)=\dfrac{\tan45°+\tan60°}{1-\tan45°·\tan60°}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{1-1×\sqrt{3}}=\dfrac{(1+\sqrt{3})×(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})×(1+\sqrt{3})}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-(2+\sqrt{3})$。
根据上面的知识，解决下面的问题：
(1)求$\sin105°,\tan75°$的值；
(2)如图，直升机在一建筑物CD斜上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角$α$为$60°$，底端点C的俯角$β$为$75°$，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。
答案
9.【解】(1)sin 105°=sin（45°+60°）=sin 45°cos 60°+
cos 45°sin 60°=$\frac{\sqrt{2}}{2}× \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}× \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
tan 75°=tan (45°+30°)=$\frac{\tan 45°+\tan 30°}{1-\tan 45°·\tan 30°}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1× \frac{\sqrt{3}}{3}}=$
$\sqrt{3}+2$.
(2)过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,则∠AED=∠BED=90°.
∵∠EBC=90°=∠BED=∠BCD,
∴四边形 BCDE 是矩形.
∴BC=ED=42 米.
由题易知∠ADE=α=60°,∠ACB=β=75°.
∵在 Rt△ABC 中,$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$,
∴$AB=BC· \tan∠ ACB=42· \tan 75°=42(\sqrt{3}+2)$(米).
∵在 Rt△AED 中,$\tan∠ ADE=\frac{AE}{ED}$,
∴$AE=ED· \tan∠ ADE=42· \tan 60°=42\sqrt{3}$(米).
∴CD=BE=AB−AE=84 米.
∴建筑物 CD 的高为 84 米.
cos 45°sin 60°=$\frac{\sqrt{2}}{2}× \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}× \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
tan 75°=tan (45°+30°)=$\frac{\tan 45°+\tan 30°}{1-\tan 45°·\tan 30°}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1× \frac{\sqrt{3}}{3}}=$
$\sqrt{3}+2$.
(2)过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,则∠AED=∠BED=90°.
∵∠EBC=90°=∠BED=∠BCD,
∴四边形 BCDE 是矩形.
∴BC=ED=42 米.
由题易知∠ADE=α=60°,∠ACB=β=75°.
∵在 Rt△ABC 中,$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$,
∴$AB=BC· \tan∠ ACB=42· \tan 75°=42(\sqrt{3}+2)$(米).
∵在 Rt△AED 中,$\tan∠ ADE=\frac{AE}{ED}$,
∴$AE=ED· \tan∠ ADE=42· \tan 60°=42\sqrt{3}$(米).
∴CD=BE=AB−AE=84 米.
∴建筑物 CD 的高为 84 米.
