22 (8分)综合与实践
台灯作为一种照明工具,适合于书桌、床头等需要局部照明的地方,它能够集中光线,使得周围环境适合于阅读、学习或工作,对于保护眼睛健康也具有重要意义.如图(1)是一盏可折叠台灯.图(2)是其平面示意图,底座MN位于水平位置,支架AB,BC为固定支撑杆,支架OC可绕点C旋转,从而调节灯光照射方向.已知灯体顶角∠DOE=52°,∠DOE的平分线OP始终与OC垂直.
(1)求∠COD的度数;
(2)如图(2),当支架OC旋转至水平位置时,OD恰好与BC平行,求支架BC与水平方向夹角∠θ的度数.

22. (1)
∵OP平分∠DOE,
∴∠DOP=1/2∠DOE=26°.
∵OP⊥OC,
∴∠COP=90°,
∴∠COD=∠DOP+∠COP=116°.
(2)由题意知,OD//BC,
∴∠C+∠COD=180°,
∴∠C=180°-116°=64°.又易知OC//BF,
∴∠θ=∠C=64°.

23 (10分)如图(1),直线MN与直线AB,CD分别交于点E,F,∠1与∠2互补.
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图(2),∠BEF,∠EFD的平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF//GH;
(3)如图(3),在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使得∠PKG=2∠HPK,作PQ平分∠EPK,求∠HPQ的度数.

23. (1)AB//CD.理由如下:
∵∠1与∠2互补,
∴∠1+∠2=180°.
又∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,
∴∠AEF+∠CFE=180°,
∴AB//CD.
(2)由(1)知,AB//CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∠BEF与∠EFD的平分线交于点P,
∴∠FEP+∠EFP=1/2(∠BEF+∠EFD)=90°,
∴∠EPF=90°,即EG⊥PF.
∵GH⊥EG,
∴∠EGH=90°,
∴∠EPF=∠EGH,
∴PF//GH.
(3)
∵GH⊥EG,
∴∠KPG=90°-∠PKG=90°-2∠HPK,
∴∠EPK=180°-∠KPG=90°+2∠HPK.
∵PQ平分∠EPK,
∴∠QPK=1/2∠EPK=45°+∠HPK,
∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK=45°.

24 (10分)如图(1),已知$AB // CD$,$∠ B = 30°$,$∠ D = 120°$.
(1)若$∠ BEF = 60°$,则$∠ EFD =$;
(2)探索$∠ BEF$与$∠ EFD$之间满足的数量关系,并说明理由;
(3)如图(2),已知$EP$平分$∠ BEF$,$FG$平分$∠ EFD$,反向延长$FG$交$EP$于点$P$,求$∠ P$的度数.

24. (1)90°
(2)∠EFD=∠BEF+30°.
理由如下:如图(1),分别过点E,F作EM//AB,FN//AB.
∴EM//AB//FN.
∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN.
∵AB//CD,AB//FN,
∴CD//FN.
∴∠D+∠DFN=180°.
∵∠D=120°,
∴∠DFN=60°.
∴∠BEF=∠MEF+30°,∠EFD=∠EFN+60°.
∴∠EFD=∠MEF+60°=(∠MEF+30°)+30°=∠BEF+30°.
(3)如图(2),过点F作FH//EP.由(2)知,∠EFD=∠BEF+30°.设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°.
∵EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,
∴∠PEF=1/2∠BEF=x°,∠EFG=1/2∠EFD=(x+15)°.
∵FH//EP,
∴∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG.
∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°,
∴∠P=15°.