1.(贵州省中考)如图,已知$△ ABC ∽ △ DEF$, $AB:DE=2:1$,若$DF=2$,则$AC$的长为 ()


A.1
B.2
C.4
D.8

1.C

【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应边成比例，先明确本题中相似三角形的对应边，AB对应DE、AC对应DF，两组对应边的比值等于相似比；再将已知的相似比、DF的长度代入比例式，计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵$△ ABC ∽ △ DEF$
∴相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$
已知$AB:DE=2:1$，$DF=2$，代入比例式得：
$\frac{2}{1}=\frac{AC}{2}$
解得$AC=2×2=4$
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的性质；2.比例线段计算
【点评】
本题是基础题，重点考察相似三角形对应边成比例性质的直接应用，解题的关键是准确对应相似三角形的边，避免比例关系写反，整体计算量小，掌握基础性质即可得分。
【难度系数】
0.9

2. 如图所示，$△ ADE ∽ △ ACB$，$∠ AED = ∠ B$，那么下列比例式成立的是（）

A.$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$
B.$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$
C.$\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$
D.$\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BC}$

2.A

【分析】
解决本题的核心是明确相似三角形的对应关系，再利用相似三角形对应边成比例的性质判断选项。首先，相似三角形的书写顺序已经明确了对应顶点：△ADE∽△ACB说明顶点A对应A、D对应C、E对应B，对应角所对的边就是对应边，最后根据对应边成比例列出比例式和选项对比即可。
【解析】
已知△ADE∽△ACB，根据相似三角形的书写规则，对应顶点为：A与A对应，D与C对应，E与B对应。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得对应边的比例关系：
$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$
逐一核对选项：
A选项与推导的比例式一致，正确；
B选项对应边匹配错误，排除；
C选项比例关系不符合对应边规则，排除；
D选项中EC不是对应边，比例不成立，排除。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形对应边成比例；相似三角形的对应关系
【点评】
本题是相似三角形的基础题型，解题的关键是根据相似三角形的书写顺序找准对应边，避免因对应关系混淆导致错误，熟练掌握对应关系的判断是解决相似三角形相关问题的基础。
【难度系数】
0.8

3. 已知△ABC∽△A'B'C'，已知AB=1，BC=√3，A'B'=√2，则△ABC与△A'B'C'的相似比为，B'C'的长为。

3.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\sqrt{6}$

【分析】
首先明确相似三角形的相似比为两个相似三角形对应边的比值，且相似三角形对应边成比例。解题时先根据相似三角形的顶点对应关系，找到对应边AB与A'B'，计算二者的比值得到相似比；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边BC的长度，即可求出B'C'的长。
【解析】
∵ △ABC∽△A'B'C'，
∴ 两个三角形的相似比为对应边的比值，即相似比$k=\frac{AB}{A'B'}$。
将$AB=1$，$A'B'=\sqrt{2}$代入得：
$k=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
又
∵ 相似三角形对应边成比例，
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
将$BC=\sqrt{3}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\sqrt{2}}{2}$代入得：
$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{B'C'}$，
解得$B'C'=\frac{\sqrt{3}×2}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；$\sqrt{6}$
【知识点】
1. 相似三角形的相似比
2. 相似三角形对应边成比例
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形的基本性质，解题核心是根据相似三角形的顶点对应顺序准确找到对应边，注意相似比的前后顺序不要混淆，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图，已知$△ ABC ∽ △ DAC$.
(1)若$∠ B=36°$，$∠ D=117°$，求$∠ BAD$的度数；
(2)若$AD=4\mathrm{cm}$，$2BC=3AC$，求$AB$的长.

4. (1)解:$\because △ ABC∽ DAC,\therefore ∠ DAC=∠ B=36^{\circ },∠ BAC=∠ D=117^{\circ }.$$\therefore ∠ BAD=∠ DAC+∠ BAC=36^{\circ }+117^{\circ }=153^{\circ }.$
(2)$\because △ ABC∽ △ DAC,2BC=3AC,\therefore \dfrac{AB}{DA}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{3}{2}.\therefore AB=\dfrac{3}{2}DA=\dfrac{3}{2}× 4=6$(cm).

【分析】
（1）解决第一问的核心是利用相似三角形对应角相等的性质，首先根据△ABC∽△DAC确定对应角：∠BAC对应∠D，∠DAC对应∠B，再观察∠BAD由∠BAC和∠DAC拼接而成，将两个对应角的度数相加即可求出结果。
（2）解决第二问的核心是利用相似三角形对应边成比例的性质，首先由已知条件2BC=3AC推导出BC与AC的比值，再根据相似三角形的边的比例关系得到AB与AD的比值等于BC与AC的比值，代入AD的长度即可计算出AB的长。
【解析】
(1) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ DAC$，相似三角形对应角相等，
∴ $∠ DAC=∠ B=36°$，$∠ BAC=∠ D=117°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC+∠ DAC=117°+36°=153°$。
(2) 解：
∵ $△ ABC ∽ △ DAC$，相似三角形对应边成比例，
∴ $\dfrac{AB}{DA}=\dfrac{BC}{AC}$，
又
∵ $2BC=3AC$，
∴ $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{3}{2}$，
∴ $\dfrac{AB}{DA}=\dfrac{3}{2}$，
代入$AD=4\mathrm{cm}$，得$AB=\dfrac{3}{2}× DA=\dfrac{3}{2}×4=6$（cm）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{153°}$；(2) $\boldsymbol{6\mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形对应角相等，相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确识别两个相似三角形的对应角和对应边，结合已知条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，在$△ ABC$中，D，E分别是AB，AC上的点，$DE// BC$。若$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{1}$，则$\frac{DE}{BC}$的值为

（）

A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

5.D

【分析】
解题时首先观察到DE平行于BC，可先判定△ADE与△ABC相似，再结合已知的AD与BD的比值，求出AD与AB的比值，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，即可得到DE与BC的比值。具体思考步骤：第一步，由平行线的性质得到两个三角形的对应角相等，证明三角形相似；第二步，根据AD:BD=2:1，将线段比例转化为AD与整条边AB的比例；第三步，利用相似三角形对应边的比等于相似比，求出DE:BC的值。
【解析】
解：
∵$DE// BC$
∴$∠ADE=∠B$，$∠AED=∠C$（两直线平行，同位角相等）
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
∵$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{1}$，可设$AD=2k$，$BD=k$（$k≠0$）
∴$AB=AD+BD=2k+k=3k$
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$
由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心考查通过平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的性质求解线段比值，解题的关键是准确将AD与BD的比转化为AD与AB的比。
【难度系数】
0.8

6.如图，AB//CD，AD，BC相交于点E.若AE＝2，DE＝4，AB＝2.5，则CD的长为.

6.5

7.(河南省中考)如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,E为OC的中点,EF//AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为（）

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2

7.B

【分析】
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC与AC的数量关系，再结合E是OC中点，推导出CE与AC的比值；接着根据EF平行AB，可判定△CEF与△CAB相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知AB的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴AO = OC，即$OC=\frac{1}{2}AC$
∵E为OC的中点
∴$CE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{4}AC$，即$\frac{CE}{AC}=\frac{1}{4}$
∵EF//AB
∴∠CEF=∠CAB，∠CFE=∠CBA
∴△CEF∽△CAB（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}$
将AB=4代入得：$\frac{EF}{4}=\frac{1}{4}$
解得EF=1
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，将平行四边形性质与相似三角形结合考查，解题的核心是准确找到线段的比例关系，判定相似三角形，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在$□ ABCD$中,$EF // AB,DE:EA=2:3,EF=4$,求$CD$的长.

8. 解:$\because DE:EA=2:3,\therefore DE:DA=2:5.\because EF// AB,\therefore △ DEF∽ △ DAB.$$\therefore DE:DA=EF:AB.\because EF=4,\therefore 2:5=4:AB.\therefore AB=10.$ 又$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore CD=AB=10.$

【分析】
要求CD的长，结合平行四边形对边相等的性质，只需先求出AB的长度即可。已知EF//AB，可推出△DEF与△DAB相似，再把已知的DE:EA的比例转化为DE与DA的比例，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入EF的长度就能算出AB，最终得到CD的长度。
【解析】
解：$\because DE:EA=2:3,\therefore DE:DA=2:(2+3)=2:5$
$\because EF// AB$，$\therefore ∠ DEF=∠ A$，$∠ DFE=∠ DBA$，$\therefore △ DEF∽ △ DAB$
$\therefore DE:DA=EF:AB$
将$EF=4$代入比例式得：$2:5=4:AB$，解得$AB=10$
又$\because$四边形ABCD是平行四边形，$\therefore CD=AB=10$
【答案】
$10$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是先通过平行线判定三角形相似，借助线段比例求出AB的长度，再结合平行四边形的性质得到CD的长，侧重考查对基础几何性质和相似判定的应用能力。
【难度系数】
0.8