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10.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，则其中是相似形的为（
A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
D
）A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
答案
10. D
解析
【分析】
要判断两个图形是否为相似形，需依据相似多边形的判定条件：对应角相等，对应边成比例，两个条件需同时满足。解题时先利用勾股定理分别计算甲、乙、丙、丁四个阴影图形的各条边长，再逐一比对选项中两个图形的对应边是否成比例、对应角是否相等，即可得出结论。
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各图形的边长：
1. 图形甲：4条短边长度均为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，2条长边长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，各边的比为$\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{5}$；
2. 图形乙：4条短边长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，2条长边长度均为$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，与甲的对应边比值不相等，不相似；
3. 图形丙：4条短边长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，2条长边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，与甲的对应边比值不相等，不相似；
4. 图形丁：4条短边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，2条长边长度均为$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，各边的比为$2\sqrt{2}:2\sqrt{2}:2\sqrt{2}:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}:2\sqrt{5}$。
对比甲和丁的边长，所有对应边的比值均为$\frac{1}{2}$，且两个图形的对应角完全相等，满足相似多边形的判定条件，因此甲和丁是相似形。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似多边形判定 2. 勾股定理
【点评】
本题重点考查相似图形的判定，解题核心是准确计算各多边形的边长，通过验证对应边成比例、对应角相等来判断相似，避免仅凭直观感受判断形状相似导致出错。
【难度系数】
0.7
要判断两个图形是否为相似形，需依据相似多边形的判定条件：对应角相等，对应边成比例，两个条件需同时满足。解题时先利用勾股定理分别计算甲、乙、丙、丁四个阴影图形的各条边长，再逐一比对选项中两个图形的对应边是否成比例、对应角是否相等，即可得出结论。
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各图形的边长：
1. 图形甲：4条短边长度均为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，2条长边长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，各边的比为$\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{5}$；
2. 图形乙：4条短边长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，2条长边长度均为$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，与甲的对应边比值不相等，不相似；
3. 图形丙：4条短边长度均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，2条长边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，与甲的对应边比值不相等，不相似；
4. 图形丁：4条短边长度均为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，2条长边长度均为$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，各边的比为$2\sqrt{2}:2\sqrt{2}:2\sqrt{2}:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}:2\sqrt{5}$。
对比甲和丁的边长，所有对应边的比值均为$\frac{1}{2}$，且两个图形的对应角完全相等，满足相似多边形的判定条件，因此甲和丁是相似形。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似多边形判定 2. 勾股定理
【点评】
本题重点考查相似图形的判定，解题核心是准确计算各多边形的边长，通过验证对应边成比例、对应角相等来判断相似，避免仅凭直观感受判断形状相似导致出错。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似.五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为
$\sqrt{10}:10$
,∠C'D'E'的度数为$135°$
.答案
11. $\sqrt{10}:10\ \ 135°$
解析
【分析】
解题时需结合相似图形的性质思考：①相似比是两个相似图形对应边的比值，要注意题干中两个五边形的顺序，对应边长度可通过勾股定理结合网格计算；②相似图形的对应角相等，因此求∠C'D'E'的度数可先求其对应角∠CDE的度数，结合网格特征即可判断∠CDE的大小。
【解析】
1. 计算相似比：
取对应边AB和A'B'，小正方形边长为1：
AB的两个端点横向相差3个单位，纵向相差1个单位，由勾股定理得：$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
A'B'为水平线段，长度为10。
因此五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为$AB:A'B'=\sqrt{10}:10$。
2. 计算∠C'D'E'的度数：
观察网格中五边形ABCDE的∠CDE，可得该角为平角减去45°，即$∠ CDE=180°-45°=135°$。
由相似图形对应角相等，得$∠ C'D'E'=∠ CDE=135°$。
【答案】
$\sqrt{10}:10$；$135°$
【知识点】
相似图形的性质、勾股定理
【点评】
本题是相似图形的基础应用题，结合网格背景考查相似性质的应用，解题核心是准确找到对应边与对应角，结合勾股定理和网格特征计算边长、判断角度。
【难度系数】
0.7
解题时需结合相似图形的性质思考：①相似比是两个相似图形对应边的比值，要注意题干中两个五边形的顺序，对应边长度可通过勾股定理结合网格计算；②相似图形的对应角相等，因此求∠C'D'E'的度数可先求其对应角∠CDE的度数，结合网格特征即可判断∠CDE的大小。
【解析】
1. 计算相似比：
取对应边AB和A'B'，小正方形边长为1：
AB的两个端点横向相差3个单位，纵向相差1个单位，由勾股定理得：$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
A'B'为水平线段，长度为10。
因此五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的相似比为$AB:A'B'=\sqrt{10}:10$。
2. 计算∠C'D'E'的度数：
观察网格中五边形ABCDE的∠CDE，可得该角为平角减去45°，即$∠ CDE=180°-45°=135°$。
由相似图形对应角相等，得$∠ C'D'E'=∠ CDE=135°$。
【答案】
$\sqrt{10}:10$；$135°$
【知识点】
相似图形的性质、勾股定理
【点评】
本题是相似图形的基础应用题，结合网格背景考查相似性质的应用，解题核心是准确找到对应边与对应角，结合勾股定理和网格特征计算边长、判断角度。
【难度系数】
0.7
12. 如图,矩形纸片 $ABCD$ 的长 $BC = 4\sqrt{2}$,宽 $AB = x$,沿 $EF$ 将矩形纸片 $ABCD$ 剪成大小相同的两个小矩形.若矩形 $ECDF$ 与原矩形 $ABCD$ 相似,则 $x$ 的值为 ______.
答案
12. 4
解析
【分析】
解决本题首先要结合矩形性质和剪切特点确定两个相似矩形的各边长度，再利用相似多边形对应边成比例的性质列方程求解。第一步：根据“沿EF剪成两个大小相同的小矩形”可推出EC为BC的一半；第二步：明确两个相似矩形的对应边，按照相似矩形邻边比值相等的规律建立方程，最终求解得到x的值。
【解析】
∵ 沿EF将矩形ABCD剪成两个大小相同的小矩形，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，且$CD=AB=x$。
∵ 矩形$ECDF ∽$矩形$ABCD$，相似多边形对应边成比例，
∴ $\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{EC}$，
将已知边长代入得：$\frac{4\sqrt{2}}{x}=\frac{x}{2\sqrt{2}}$，
交叉相乘计算得：$x^2=4\sqrt{2}×2\sqrt{2}=16$，
∵ x为矩形边长，取正值，
∴ $x=4$。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质，相似多边形的性质
【点评】
本题属于相似图形的基础应用题，解题核心是准确找到相似矩形的对应边，避免对应边匹配错误导致列式出错，掌握相似多边形的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要结合矩形性质和剪切特点确定两个相似矩形的各边长度，再利用相似多边形对应边成比例的性质列方程求解。第一步：根据“沿EF剪成两个大小相同的小矩形”可推出EC为BC的一半；第二步：明确两个相似矩形的对应边，按照相似矩形邻边比值相等的规律建立方程，最终求解得到x的值。
【解析】
∵ 沿EF将矩形ABCD剪成两个大小相同的小矩形，
∴ $EC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，且$CD=AB=x$。
∵ 矩形$ECDF ∽$矩形$ABCD$，相似多边形对应边成比例，
∴ $\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{EC}$，
将已知边长代入得：$\frac{4\sqrt{2}}{x}=\frac{x}{2\sqrt{2}}$，
交叉相乘计算得：$x^2=4\sqrt{2}×2\sqrt{2}=16$，
∵ x为矩形边长，取正值，
∴ $x=4$。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质，相似多边形的性质
【点评】
本题属于相似图形的基础应用题，解题核心是准确找到相似矩形的对应边，避免对应边匹配错误导致列式出错，掌握相似多边形的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
13.(新考法)如图①,将一张A4纸2次折叠,发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合.如图②,将一张A4纸对折,使其较长的边一分为二,沿折痕剪开,可得两张A5纸.
(1)A4纸较长边与较短边的比为
(2)A4纸与A5纸是否为相似图形?请说明理由.
(1)A4纸较长边与较短边的比为
$\sqrt{2}:1$
;(2)A4纸与A5纸是否为相似图形?请说明理由.
答案
13. (1)$\sqrt{2}:1$ (2)解:A4纸与A5纸是相似图形.理由:
∵A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$,
∴设A4纸较短边的长为a,则较长边的长为$\sqrt{2}a$.由题意得A5纸较长边的长为a,较短边的长为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
∴A4纸与A5纸较长边的比为$\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$,A4纸与A5纸较短边的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}$.
∴A4纸与A5纸的对应边成比例.又
∵A4纸与A5纸的四个角均为直角,
∴A4纸与A5纸为相似图形.
∵A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$,
∴设A4纸较短边的长为a,则较长边的长为$\sqrt{2}a$.由题意得A5纸较长边的长为a,较短边的长为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
∴A4纸与A5纸较长边的比为$\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$,A4纸与A5纸较短边的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}$.
∴A4纸与A5纸的对应边成比例.又
∵A4纸与A5纸的四个角均为直角,
∴A4纸与A5纸为相似图形.
解析
【分析】
(1) 求解第一问需利用折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。设A4纸较短边长为b，较长边长为a，由第一次折叠的特征可知，折叠后形成等腰直角三角形，其直角边长等于较短边b，斜边长等于较长边a，结合勾股定理即可求出长边与短边的比值。
(2) 求解第二问需依据相似图形的判定规则：若两个多边形对应角相等、对应边成比例，则两个多边形相似。先根据A4纸的长宽比表示出A5纸的长和宽，再分别验证对应角是否相等、对应边是否成比例即可得出结论。
【解析】
(1) 设A4纸的较短边长为$b$，较长边长为$a$。
根据折叠的性质，折叠后较短边与长边的一部分重合，形成的直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为$b$。
由勾股定理得，该等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2}b$，而斜边长等于A4纸的较长边$a$，即$a=\sqrt{2}b$，因此较长边与较短边的比为$a:b=\sqrt{2}:1$。
(2) 判定A4纸与A5纸是否为相似图形过程如下：
$\because$ A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$，
$\therefore$ 设A4纸较短边的长为$a$，则较长边的长为$\sqrt{2}a$。由题意得A5纸较长边的长为$a$，较短边的长为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
$\therefore$ A4纸与A5纸较长边的比为$\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，A4纸与A5纸较短边的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}$，对应边成比例。
又$\because$ A4纸与A5纸均为矩形，四个角均为直角，对应角相等，
$\therefore$ A4纸与A5纸为相似图形。
【答案】
(1) $\sqrt{2}:1$
(2) A4纸与A5纸是相似图形，理由见上述解析。
【知识点】
折叠的性质，相似图形的判定，矩形的性质
【点评】
本题以生活中常见的A4、A5纸为载体，结合折叠操作考查几何基础知识点，题目情境新颖贴近生活，解题的核心是理清折叠前后的边长关系，熟练运用相似图形的判定规则，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问需利用折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。设A4纸较短边长为b，较长边长为a，由第一次折叠的特征可知，折叠后形成等腰直角三角形，其直角边长等于较短边b，斜边长等于较长边a，结合勾股定理即可求出长边与短边的比值。
(2) 求解第二问需依据相似图形的判定规则：若两个多边形对应角相等、对应边成比例，则两个多边形相似。先根据A4纸的长宽比表示出A5纸的长和宽，再分别验证对应角是否相等、对应边是否成比例即可得出结论。
【解析】
(1) 设A4纸的较短边长为$b$，较长边长为$a$。
根据折叠的性质，折叠后较短边与长边的一部分重合，形成的直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为$b$。
由勾股定理得，该等腰直角三角形的斜边长为$\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2}b$，而斜边长等于A4纸的较长边$a$，即$a=\sqrt{2}b$，因此较长边与较短边的比为$a:b=\sqrt{2}:1$。
(2) 判定A4纸与A5纸是否为相似图形过程如下：
$\because$ A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$，
$\therefore$ 设A4纸较短边的长为$a$，则较长边的长为$\sqrt{2}a$。由题意得A5纸较长边的长为$a$，较短边的长为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
$\therefore$ A4纸与A5纸较长边的比为$\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，A4纸与A5纸较短边的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}$，对应边成比例。
又$\because$ A4纸与A5纸均为矩形，四个角均为直角，对应角相等，
$\therefore$ A4纸与A5纸为相似图形。
【答案】
(1) $\sqrt{2}:1$
(2) A4纸与A5纸是相似图形，理由见上述解析。
【知识点】
折叠的性质，相似图形的判定，矩形的性质
【点评】
本题以生活中常见的A4、A5纸为载体，结合折叠操作考查几何基础知识点，题目情境新颖贴近生活，解题的核心是理清折叠前后的边长关系，熟练运用相似图形的判定规则，侧重考查基础应用能力。
【难度系数】
0.7
14.(核心素养·推理能力)如图,矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20.
(1)如图①,若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域,图中所形成的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似吗?请说明理由;
(2)如图②,当x为多少时,图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似?
(1)如图①,若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域,图中所形成的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似吗?请说明理由;
(2)如图②,当x为多少时,图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似?
答案
14. (1)解:不相似,理由:
∵AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'=18,而$\frac{28}{30}≠\frac{18}{20}$,
∴$\frac{A'B'}{AB}≠\frac{B'C'}{BC}$,
∴矩形ABCD与A'B'C'D'不相似. (2)
∵矩形ABCD与A'B'C'D'相似,
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$, 则 $\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$, 解得 $x=1.5$. 或 $\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$,则$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$,解得 $x=9$.
∴当x为1.5或9时,图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似.
∵AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'=18,而$\frac{28}{30}≠\frac{18}{20}$,
∴$\frac{A'B'}{AB}≠\frac{B'C'}{BC}$,
∴矩形ABCD与A'B'C'D'不相似. (2)
∵矩形ABCD与A'B'C'D'相似,
∴ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$, 则 $\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$, 解得 $x=1.5$. 或 $\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$,则$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$,解得 $x=9$.
∴当x为1.5或9时,图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似.
解析
【分析】
(1)判断两个矩形是否相似时，矩形的四个角均为直角，已满足相似多边形对应角相等的条件，因此只需验证对应边是否成比例即可。先计算内矩形的长和宽，再分别计算长、宽的比值，判断比值是否相等即可得出结论。
(2)两个矩形相似时，对应边的对应关系存在两种情况：①内矩形的长对应外矩形的长，内矩形的宽对应外矩形的宽；②内矩形的长对应外矩形的宽，内矩形的宽对应外矩形的长。分两种情况根据对应边成比例列方程求解，再验证解的合理性即可。
【解析】
(1) 不相似，理由如下：
已知矩形ABCD中，AB=30，BC=20。
由图①可得内矩形A'B'C'D'的长$A'B'=30-2×1=28$，宽$B'C'=20-2×1=18$。
∵ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$，$\frac{14}{15}≠\frac{9}{10}$，
∴ 两个矩形对应边不成比例，故矩形ABCD与A'B'C'D'不相似。
(2) 若矩形ABCD与A'B'C'D'相似，分两种情况讨论：
① 当$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$时，代入边长得：
$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2×1}{20}$
化简得$\frac{30-2x}{30}=\frac{18}{20}$，交叉相乘解得$x=1.5$，符合题意。
② 当$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$时，代入边长得：
$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2×1}{30}$
化简得$\frac{30-2x}{20}=\frac{18}{30}$，交叉相乘解得$x=9$，符合题意。
【答案】
(1) 不相似；
(2) $x$为1.5或9。
【知识点】
相似图形的判定，矩形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似矩形的判定，解题的核心是明确相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例，当对应边的对应关系不唯一时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1)判断两个矩形是否相似时，矩形的四个角均为直角，已满足相似多边形对应角相等的条件，因此只需验证对应边是否成比例即可。先计算内矩形的长和宽，再分别计算长、宽的比值，判断比值是否相等即可得出结论。
(2)两个矩形相似时，对应边的对应关系存在两种情况：①内矩形的长对应外矩形的长，内矩形的宽对应外矩形的宽；②内矩形的长对应外矩形的宽，内矩形的宽对应外矩形的长。分两种情况根据对应边成比例列方程求解，再验证解的合理性即可。
【解析】
(1) 不相似，理由如下：
已知矩形ABCD中，AB=30，BC=20。
由图①可得内矩形A'B'C'D'的长$A'B'=30-2×1=28$，宽$B'C'=20-2×1=18$。
∵ $\frac{A'B'}{AB}=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$，$\frac{14}{15}≠\frac{9}{10}$，
∴ 两个矩形对应边不成比例，故矩形ABCD与A'B'C'D'不相似。
(2) 若矩形ABCD与A'B'C'D'相似，分两种情况讨论：
① 当$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$时，代入边长得：
$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2×1}{20}$
化简得$\frac{30-2x}{30}=\frac{18}{20}$，交叉相乘解得$x=1.5$，符合题意。
② 当$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$时，代入边长得：
$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2×1}{30}$
化简得$\frac{30-2x}{20}=\frac{18}{30}$，交叉相乘解得$x=9$，符合题意。
【答案】
(1) 不相似；
(2) $x$为1.5或9。
【知识点】
相似图形的判定，矩形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似矩形的判定，解题的核心是明确相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例，当对应边的对应关系不唯一时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
