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1.小明有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.若设小明有1元纸币x张，2元纸币y张，5元纸币z张，则可列方程组为（
A.$\begin{cases} x+y+z=12, \\ x+2y+5z=22, \\ x=4y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y+z=12, \\ 2x+y+5z=22, \\ x=4y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y+z=12, \\ x+2y+5z=22, \\ 4x=y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y+z=12, \\ x+2y+5z=22, \\ x=4z \end{cases}$
A
）A.$\begin{cases} x+y+z=12, \\ x+2y+5z=22, \\ x=4y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y+z=12, \\ 2x+y+5z=22, \\ x=4y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y+z=12, \\ x+2y+5z=22, \\ 4x=y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y+z=12, \\ x+2y+5z=22, \\ x=4z \end{cases}$
答案
1.A
解析
【分析】
要列三元一次方程组，需从题目中提取3个对应等量关系：①三种纸币的总张数为12张；②三种纸币的总面额为22元；③1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。把每个等量关系转化为对应方程，再对照选项判断即可。
【解析】
第一步，根据总张数列方程：1元、2元、5元纸币共12张，可得$x+y+z=12$；
第二步，根据总金额列方程：1元纸币总面额为$x$元，2元纸币总面额为$2y$元，5元纸币总面额为$5z$元，总金额为22元，可得$x+2y+5z=22$；
第三步，根据倍数关系列方程：1元纸币数量是2元纸币数量的4倍，可得$x=4y$；
联立三个方程，所得方程组和选项A完全一致。
【答案】
A
【知识点】
列三元一次方程组；等量关系提取；数量关系转化
【点评】
本题是三元一次方程组应用的基础题型，解题关键是准确匹配每个条件对应的等量关系，列金额相关方程时注意不要漏乘对应纸币面额，列倍数关系方程时不要混淆两个量的对应关系。
【难度系数】
0.85
要列三元一次方程组，需从题目中提取3个对应等量关系：①三种纸币的总张数为12张；②三种纸币的总面额为22元；③1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。把每个等量关系转化为对应方程，再对照选项判断即可。
【解析】
第一步，根据总张数列方程：1元、2元、5元纸币共12张，可得$x+y+z=12$；
第二步，根据总金额列方程：1元纸币总面额为$x$元，2元纸币总面额为$2y$元，5元纸币总面额为$5z$元，总金额为22元，可得$x+2y+5z=22$；
第三步，根据倍数关系列方程：1元纸币数量是2元纸币数量的4倍，可得$x=4y$；
联立三个方程，所得方程组和选项A完全一致。
【答案】
A
【知识点】
列三元一次方程组；等量关系提取；数量关系转化
【点评】
本题是三元一次方程组应用的基础题型，解题关键是准确匹配每个条件对应的等量关系，列金额相关方程时注意不要漏乘对应纸币面额，列倍数关系方程时不要混淆两个量的对应关系。
【难度系数】
0.85
2.有铅笔、作业本、签字笔三种学习用品.若购铅笔3支，作业本7本，签字笔1支共需20.5元；若购铅笔4支，作业本8本，签字笔2支共需25元，那么购铅笔、作业本、签字笔各1件共需（
A.2.5元
B.3元
C.3.5元
D.4.5元
D
）A.2.5元
B.3元
C.3.5元
D.4.5元
答案
2.D
解析
【分析】
本题要求购买三种学习用品各1件的总费用，我们可以先设三种学习用品的单价分别为未知数，根据题干给出的两个购买方案列出方程。由于有3个未知数但只有2个等量关系，无法单独求出每个未知数的取值，因此需要观察方程的系数特点，通过两个方程作差的方式，直接凑出“各买1件”对应的代数式，用整体思想求解即可。
【解析】
设购买1支铅笔需要x元，1本作业本需要y元，1支签字笔需要z元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 7y + z = 20.5&①\\4x + 8y + 2z = 25&②\end{cases}$
用②式减去①式，对应项相减可得：
$(4x-3x)+(8y-7y)+(2z-z)=25-20.5$
化简得：$x+y+z=4.5$
即购买铅笔、作业本、签字笔各1件共需4.5元。
【答案】
D
【知识点】
1. 三元一次方程组的应用
2. 整体思想求值
【点评】
本题属于三元一次方程组的典型应用题，解题核心是不需要单独求解每个未知数的具体值，通过观察方程结构，利用作差法得到所求整体的数值，能有效考查学生的式子观察能力和灵活解题思维。
【难度系数】
0.65
本题要求购买三种学习用品各1件的总费用，我们可以先设三种学习用品的单价分别为未知数，根据题干给出的两个购买方案列出方程。由于有3个未知数但只有2个等量关系，无法单独求出每个未知数的取值，因此需要观察方程的系数特点，通过两个方程作差的方式，直接凑出“各买1件”对应的代数式，用整体思想求解即可。
【解析】
设购买1支铅笔需要x元，1本作业本需要y元，1支签字笔需要z元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 7y + z = 20.5&①\\4x + 8y + 2z = 25&②\end{cases}$
用②式减去①式，对应项相减可得：
$(4x-3x)+(8y-7y)+(2z-z)=25-20.5$
化简得：$x+y+z=4.5$
即购买铅笔、作业本、签字笔各1件共需4.5元。
【答案】
D
【知识点】
1. 三元一次方程组的应用
2. 整体思想求值
【点评】
本题属于三元一次方程组的典型应用题，解题核心是不需要单独求解每个未知数的具体值，通过观察方程结构，利用作差法得到所求整体的数值，能有效考查学生的式子观察能力和灵活解题思维。
【难度系数】
0.65
3.一个三位数,个位、百位上的数字的和等于十位上的数字,百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2,个位、十位、百位上的数字的和是14,则这个三位数是
275
.答案
3.275
解析
【分析】
要解决这道数位类问题，我们可以通过设未知数、列方程组的方式求解：首先设出三位数个位、十位、百位上的数字为三个未知数，再根据题干给出的3个等量关系列出三元一次方程组，用代入消元法逐步求解出三个数位的数字，最后组合得到三位数即可。
【解析】
设这个三位数的个位数字为$x$，十位数字为$y$，百位数字为$z$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + z = y \quad \mathrm{①} \\7z = x + y + 2 \quad \mathrm{②} \\x + y + z = 14 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
将①代入③，可得$y+y=14$，解得$y=7$。
把$y=7$分别代入①和②，得到：
$\begin{cases}x + z =7 \quad \mathrm{④} \\7z -x =9 \quad \mathrm{⑤}\end{cases}$
将④变形为$x=7-z$，代入⑤得：
$7z - (7-z) =9$
展开计算得$8z=16$，解得$z=2$。
把$z=2$代入④，得$x=7-2=5$。
因此百位数字是2，十位数字是7，个位数字是5，这个三位数为$2×100 +7×10 +5=275$。
【答案】
275
【知识点】
三元一次方程组的应用；解三元一次方程组；数位的意义
【点评】
本题是典型的方程实际应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程组，求解时可优先观察方程特征，先消去关系最明确的未知数简化计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道数位类问题，我们可以通过设未知数、列方程组的方式求解：首先设出三位数个位、十位、百位上的数字为三个未知数，再根据题干给出的3个等量关系列出三元一次方程组，用代入消元法逐步求解出三个数位的数字，最后组合得到三位数即可。
【解析】
设这个三位数的个位数字为$x$，十位数字为$y$，百位数字为$z$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + z = y \quad \mathrm{①} \\7z = x + y + 2 \quad \mathrm{②} \\x + y + z = 14 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
将①代入③，可得$y+y=14$，解得$y=7$。
把$y=7$分别代入①和②，得到：
$\begin{cases}x + z =7 \quad \mathrm{④} \\7z -x =9 \quad \mathrm{⑤}\end{cases}$
将④变形为$x=7-z$，代入⑤得：
$7z - (7-z) =9$
展开计算得$8z=16$，解得$z=2$。
把$z=2$代入④，得$x=7-2=5$。
因此百位数字是2，十位数字是7，个位数字是5，这个三位数为$2×100 +7×10 +5=275$。
【答案】
275
【知识点】
三元一次方程组的应用；解三元一次方程组；数位的意义
【点评】
本题是典型的方程实际应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程组，求解时可优先观察方程特征，先消去关系最明确的未知数简化计算。
【难度系数】
0.7
4. 张大伯养了鸡、鸭、鹅三种家禽，所养的鸡和鸭的只数比鹅的只数多19只，养鸭和鹅共20只，养鸡和鹅共23只. 张大伯养鸡、鸭、鹅各多少只？
答案
4. 解:设张大伯养鸡 x 只、鸭 y 只、鹅 z 只. 根据题意,得
$\begin{cases} x+y=z+19, \\ y+z=20, \\ x+z=23, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=15, \\ y=12, \\ z=8. \end{cases}$ 答:张大伯养鸡 15 只、鸭 12 只、鹅 8 只.
$\begin{cases} x+y=z+19, \\ y+z=20, \\ x+z=23, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=15, \\ y=12, \\ z=8. \end{cases}$ 答:张大伯养鸡 15 只、鸭 12 只、鹅 8 只.
解析
【分析】
本题有三个未知量，分别是鸡、鸭、鹅的只数，解题时可先设三个未知数对应三个未知量，再从题干中提取三个等量关系列出三元一次方程组，最后通过消元法求解方程组得到答案。首先找等量关系：①鸡和鸭的总只数=鹅的只数+19；②鸭和鹅的总只数=20；③鸡和鹅的总只数=23。求解方程组时可以用代入消元法，将后两个式子变形为用鹅的数量表示鸡和鸭的数量，代入第一个式子先求出鹅的数量，再依次求出鸡、鸭的数量即可。
【解析】
解：设张大伯养鸡x只、鸭y只、鹅z只，根据题意得：
$\begin{cases} x+y=z+19&① \\ y+z=20&② \\ x+z=23&③ \end{cases}$
由②式变形可得：$y=20-z$ ④
由③式变形可得：$x=23-z$ ⑤
将④、⑤代入①式，得：
$(23-z)+(20-z)=z+19$
整理得：$43-2z=z+19$
移项合并同类项得：$3z=24$
解得：$z=8$
把$z=8$代入④得：$y=20-8=12$
把$z=8$代入⑤得：$x=23-8=15$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=15 \\ y=12 \\ z=8 \end{cases}$
【答案】
张大伯养鸡15只、鸭12只、鹅8只。
【知识点】
1. 三元一次方程组应用
2. 代入消元法
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是典型的三元一次方程组实际应用类题目，解题关键是准确提取题干中的等量关系，设出对应未知量列出方程组，熟练掌握消元法解方程组即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题有三个未知量，分别是鸡、鸭、鹅的只数，解题时可先设三个未知数对应三个未知量，再从题干中提取三个等量关系列出三元一次方程组，最后通过消元法求解方程组得到答案。首先找等量关系：①鸡和鸭的总只数=鹅的只数+19；②鸭和鹅的总只数=20；③鸡和鹅的总只数=23。求解方程组时可以用代入消元法，将后两个式子变形为用鹅的数量表示鸡和鸭的数量，代入第一个式子先求出鹅的数量，再依次求出鸡、鸭的数量即可。
【解析】
解：设张大伯养鸡x只、鸭y只、鹅z只，根据题意得：
$\begin{cases} x+y=z+19&① \\ y+z=20&② \\ x+z=23&③ \end{cases}$
由②式变形可得：$y=20-z$ ④
由③式变形可得：$x=23-z$ ⑤
将④、⑤代入①式，得：
$(23-z)+(20-z)=z+19$
整理得：$43-2z=z+19$
移项合并同类项得：$3z=24$
解得：$z=8$
把$z=8$代入④得：$y=20-8=12$
把$z=8$代入⑤得：$x=23-8=15$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=15 \\ y=12 \\ z=8 \end{cases}$
【答案】
张大伯养鸡15只、鸭12只、鹅8只。
【知识点】
1. 三元一次方程组应用
2. 代入消元法
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是典型的三元一次方程组实际应用类题目，解题关键是准确提取题干中的等量关系，设出对应未知量列出方程组，熟练掌握消元法解方程组即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个或衣领12个，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套？
答案
5. 解:设安排 x 个人缝制衣袖,y 个人缝制衣身,z 个人缝制衣领. 根据题意,得 $\begin{cases} x+y+z=210, \\ 10x=2×15y, \\ 10x=2×12z. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=120, \\ y=40, \\ z=50. \end{cases}$ 答:应安排 120 个人缝制衣袖,40 个人缝制衣身,50 个人缝制衣领,才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
解析
【分析】
这是一道生产配套类应用题，解题思路如下：①确定未知量：我们需要分别求出缝制衣袖、衣身、衣领的工人数量，因此可设三个未知数对应三类工人人数；②寻找等量关系：第一，三类工人总人数为210名，可列第一个方程；第二，配套要求为2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成1件衬衣，说明生产的衣袖总数量是衣身总数量的2倍，也是衣领总数量的2倍，结合每人每天的产量可列出另外两个方程；③联立得到三元一次方程组，用代入消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：设安排$x$个人缝制衣袖，$y$个人缝制衣身，$z$个人缝制衣领。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+z=210, \\ 10x=2×15y, \\ 10x=2×12z. \end{cases}$
先化简后两个方程：
由$10x=30y$可得$x=3y$；
由$10x=24z$可得$z=\frac{5x}{12}$，将$x=3y$代入得$z=\frac{5y}{4}$。
将$x=3y$、$z=\frac{5y}{4}$代入$x+y+z=210$：
$3y+y+\frac{5y}{4}=210$
解得$y=40$，则$x=3×40=120$，$z=\frac{5×40}{4}=50$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=120, \\ y=40, \\ z=50. \end{cases}$
答：应安排120个人缝制衣袖，40个人缝制衣身，50个人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套。
【答案】
应安排120个人缝制衣袖，40个人缝制衣身，50个人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套。
【知识点】
三元一次方程组的应用，配套问题，代入消元法解方程组
【点评】
本题是典型的配套类方程应用题，解题核心是找准两类等量关系：一是总人数的和差关系，二是配套要求下各部件的数量比例关系，解题时要注意不要混淆各部件的倍数关系，避免列错方程。
【难度系数】
0.6
这是一道生产配套类应用题，解题思路如下：①确定未知量：我们需要分别求出缝制衣袖、衣身、衣领的工人数量，因此可设三个未知数对应三类工人人数；②寻找等量关系：第一，三类工人总人数为210名，可列第一个方程；第二，配套要求为2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成1件衬衣，说明生产的衣袖总数量是衣身总数量的2倍，也是衣领总数量的2倍，结合每人每天的产量可列出另外两个方程；③联立得到三元一次方程组，用代入消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：设安排$x$个人缝制衣袖，$y$个人缝制衣身，$z$个人缝制衣领。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+z=210, \\ 10x=2×15y, \\ 10x=2×12z. \end{cases}$
先化简后两个方程：
由$10x=30y$可得$x=3y$；
由$10x=24z$可得$z=\frac{5x}{12}$，将$x=3y$代入得$z=\frac{5y}{4}$。
将$x=3y$、$z=\frac{5y}{4}$代入$x+y+z=210$：
$3y+y+\frac{5y}{4}=210$
解得$y=40$，则$x=3×40=120$，$z=\frac{5×40}{4}=50$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=120, \\ y=40, \\ z=50. \end{cases}$
答：应安排120个人缝制衣袖，40个人缝制衣身，50个人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套。
【答案】
应安排120个人缝制衣袖，40个人缝制衣身，50个人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套。
【知识点】
三元一次方程组的应用，配套问题，代入消元法解方程组
【点评】
本题是典型的配套类方程应用题，解题核心是找准两类等量关系：一是总人数的和差关系，二是配套要求下各部件的数量比例关系，解题时要注意不要混淆各部件的倍数关系，避免列错方程。
【难度系数】
0.6
6.一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间.如果每个房间都住满，租房方案共有几种？
答案
6. 解:设租二人间 x 间,三人间 y 间,四人间 z 间.根据题意,得 $\begin{cases} x+y+z=7,① \\ 2x+3y+4z=20.② \end{cases}$ ②$-$①$×2$,得 $y+2z=6$. 因为 y,z 都是正整数,所以 z 可取 1,2,y 的对应值为 4,2. 将 y,z 的值代入①,得 $x=2,3$. 所以共有 2 种租房方案,即租二人间、三人间、四人间的间数分别为 2,4,1 或 3,2,2.
解析
【分析】
本题是实际住宿方案设计问题，解题时先提取两个核心等量关系：①三种客房总数量为7间；②20人刚好住满所有房间。首先设三种客房的数量分别为x、y、z间，列出三元一次方程组，由于只有两个方程属于不定方程组，结合“同时租用三种客房”的要求，x、y、z均为正整数，消去一个未知数后通过枚举正整数取值筛选符合条件的解，即可得到租房方案总数。
【解析】
解：设租二人间x间，三人间y间，四人间z间，根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+z=7,① \\ 2x+3y+4z=20.② \end{cases}$
用②减去①×2消去x，可得：$y+2z=6$。
因为同时租用三种客房，所以x、y、z均为正整数：
当z=1时，$y=6-2×1=4$，代入①得$x=7-4-1=2$，符合要求；
当z=2时，$y=6-2×2=2$，代入①得$x=7-2-2=3$，符合要求；
当z≥3时，$y=6-2z≤0$，不符合正整数要求，舍去。
综上共有2组有效解，对应2种租房方案。
【答案】2种
【知识点】
三元一次方程组应用，消元法解方程组，不定方程正整数解
【点评】
本题结合生活实际考察方程组的应用，解题关键是在列出不定方程组后，结合未知数的实际意义（均为正整数）筛选有效解，注意不要忽略“同时租用三种客房”的限制，避免出现某类房间数量为0的无效解。
【难度系数】
0.6
本题是实际住宿方案设计问题，解题时先提取两个核心等量关系：①三种客房总数量为7间；②20人刚好住满所有房间。首先设三种客房的数量分别为x、y、z间，列出三元一次方程组，由于只有两个方程属于不定方程组，结合“同时租用三种客房”的要求，x、y、z均为正整数，消去一个未知数后通过枚举正整数取值筛选符合条件的解，即可得到租房方案总数。
【解析】
解：设租二人间x间，三人间y间，四人间z间，根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+z=7,① \\ 2x+3y+4z=20.② \end{cases}$
用②减去①×2消去x，可得：$y+2z=6$。
因为同时租用三种客房，所以x、y、z均为正整数：
当z=1时，$y=6-2×1=4$，代入①得$x=7-4-1=2$，符合要求；
当z=2时，$y=6-2×2=2$，代入①得$x=7-2-2=3$，符合要求；
当z≥3时，$y=6-2z≤0$，不符合正整数要求，舍去。
综上共有2组有效解，对应2种租房方案。
【答案】2种
【知识点】
三元一次方程组应用，消元法解方程组，不定方程正整数解
【点评】
本题结合生活实际考察方程组的应用，解题关键是在列出不定方程组后，结合未知数的实际意义（均为正整数）筛选有效解，注意不要忽略“同时租用三种客房”的限制，避免出现某类房间数量为0的无效解。
【难度系数】
0.6
