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1.（东营中考）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E，F分别为PA，PD上的点，且PA=3PE，PD=3PF，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别记为S，S₁，S₂.若S = 2，则S₁ + S₂ =
18
.答案
18
解析:
∵ PA=3PE,PD=3PF,
∴ PE/PA = PF/PD = 1/3,
∴ EF//AD,
∴ △PEF∽△PAD,
∴ S△PEF/S△PAD = (1/3)² = 1/9.
∵ S△PEF = 2,
∴ S△PAD = 18.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ S△PAD = 1/2 S平行四边形ABCD =9,
∴ S₁+S₂ = S△PAD = 18.
解析:
∵ PA=3PE,PD=3PF,
∴ PE/PA = PF/PD = 1/3,
∴ EF//AD,
∴ △PEF∽△PAD,
∴ S△PEF/S△PAD = (1/3)² = 1/9.
∵ S△PEF = 2,
∴ S△PAD = 18.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ S△PAD = 1/2 S平行四边形ABCD =9,
∴ S₁+S₂ = S△PAD = 18.
2. (2026·长春月考)如图,正方形EGHF的一边在△ABC的边BC上,其余两个顶点分别在边AB,AC上.若△AEF,△BGE,△CHF的面积分别为4,6,3,给出下面四个结论:①△ABC的面积为24;②AE:EB=2:3;③EG=BG;④正方形EGHF的面积为12.上述结论中,正确结论的序号有
②③④
.答案
②③④
解析:如图,过点A作AD⊥BC,交EF于K,设EF=EG=HF=x.
∵ 四边形EGHF是正方形,
∴ EF//BC,
∴ △AEF∽△ABC,
∴ AK/AD = EF/BC.
∵ △AEF,△BGE,△CHF的面积分别为4,6,3,
∴ S△AEF=1/2 EF·AK=4,S△BGE=1/2 BG·EG=6,S△CHF=1/2 CH·HF=3,
∴ AK=8/x,BG=12/x,CH=6/x,
∴ AD=AK+KD=8/x +x,BC=BG+GH+CH=12/x +x +6/x =18/x +x,
∴ (8/x)/(8/x +x) = x/(18/x +x),整理得8/(8+x²) = x²/(18+x²),
∴ x²=12,
∴ 正方形EGHF的面积为12,故④正确.
∴ S△ABC = S△AEF + S△BGE + S△CHF + S正方形EGHF =4+6+3+12=25,故①错误.
∵ S△AEF/S△ABC = (AE/AB)²=4/25,
∴ AE/AB=2/5,即 AE/(AE+EB)=2/5,
∴ AE/EB=2/3,即 AE:EB=2:3,故②正确.由x²=12,得x=2√3,
∴ BG=12/x=12/(2√3)=2√3,
∴ EG=BG,故③正确.故答案为②③④.
3. (鄂州中考)如图,在$□ ABCD$中,点E,F分别在边AD,BC上,且$∠ ABE=∠ CDF$.
(1)探究四边形BEDF的形状,并说明理由;
(2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD交AC于点O.若$\frac{AG}{OG}=\frac{2}{3},AE=4$,求BC的长.
(1)探究四边形BEDF的形状,并说明理由;
(2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD交AC于点O.若$\frac{AG}{OG}=\frac{2}{3},AE=4$,求BC的长.
答案
(1)四边形BEDF为平行四边形.理由:
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ ∠ABC=∠ADC.
∵ ∠ABE=∠CDF,
∴ ∠EBF=∠EDF.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AD//BC,
∴ ∠EDF=∠DFC=∠EBF,
∴ BE//DF.又
∵ AD//BC,
∴ 四边形BEDF为平行四边形.
(2)设AG=2a,
∵ AG/OG=2/3,
∴ OG=3a,
∴ AO=5a.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AO=CO=5a,
∴ AC=10a,
∴ CG=8a.
∵ AD//BC,
∴ △AGE∽△CGB,
∴ AE/BC = AG/GC = 1/4.
∵ AE=4,
∴ BC=16.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ ∠ABC=∠ADC.
∵ ∠ABE=∠CDF,
∴ ∠EBF=∠EDF.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AD//BC,
∴ ∠EDF=∠DFC=∠EBF,
∴ BE//DF.又
∵ AD//BC,
∴ 四边形BEDF为平行四边形.
(2)设AG=2a,
∵ AG/OG=2/3,
∴ OG=3a,
∴ AO=5a.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AO=CO=5a,
∴ AC=10a,
∴ CG=8a.
∵ AD//BC,
∴ △AGE∽△CGB,
∴ AE/BC = AG/GC = 1/4.
∵ AE=4,
∴ BC=16.
4.(安顺中考)如图,点$P_1,P_2,P_3,P_4$均在坐标轴上,且$P_1P_2⊥ P_2P_3,P_2P_3⊥ P_3P_4$,若点$P_1,P_2$的坐标分别为$(0,-1),(-2,0)$,则点$P_4$的坐标为
(8,0)
.答案
(8,0)
解析:
∵ 点P₁,P₂的坐标分别为(0,-1),(-2,0),
∴ OP₁=1,OP₂=2.由题意易得Rt△P₁OP₂∽Rt△P₂OP₃,
∴ OP₁/OP₂ = OP₂/OP₃,即1/2 = 2/OP₃,解得 OP₃=4.由题意易得
Rt△P₂OP₃∽Rt△P₃OP₄,
∴ OP₂/OP₃ = OP₃/OP₄,即2/4 =4/OP₄,解得OP₄=8,则点P₄的坐标为(8,0).
解析:
∵ 点P₁,P₂的坐标分别为(0,-1),(-2,0),
∴ OP₁=1,OP₂=2.由题意易得Rt△P₁OP₂∽Rt△P₂OP₃,
∴ OP₁/OP₂ = OP₂/OP₃,即1/2 = 2/OP₃,解得 OP₃=4.由题意易得
Rt△P₂OP₃∽Rt△P₃OP₄,
∴ OP₂/OP₃ = OP₃/OP₄,即2/4 =4/OP₄,解得OP₄=8,则点P₄的坐标为(8,0).
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,CD⊥ AB$.
(1)图①中共有
(2)已知$AB=10,AC=8$,请你求出$CD$的长.
(3)在(2)的情况下,如果以$AB$所在直线为$x$轴,$CD$所在直线为$y$轴,点$D$为坐标原点$O$,建立平面直角坐标系(如图②),若点$P$从点$C$出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段$CB$运动,点$Q$从点$B$出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段$BA$运动,其中一点先到达线段的端点时,两点同时停止运动.设运动时间为$t$秒,是否存在点$P$,使以点$B,P,Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)图①中共有
3
对相似三角形,分别为△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD
(不需证明).(2)已知$AB=10,AC=8$,请你求出$CD$的长.
(3)在(2)的情况下,如果以$AB$所在直线为$x$轴,$CD$所在直线为$y$轴,点$D$为坐标原点$O$,建立平面直角坐标系(如图②),若点$P$从点$C$出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段$CB$运动,点$Q$从点$B$出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段$BA$运动,其中一点先到达线段的端点时,两点同时停止运动.设运动时间为$t$秒,是否存在点$P$,使以点$B,P,Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)3 △ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD
解析:根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形.
∵ CD⊥AB,
∴ ∠ADC=∠ACB=90°.又
∵ ∠A=∠A,
∴ △ADC∽△ACB.同理可证△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.
(2)在△ABC中,
∵ ∠ACB=90°,AB=10,AC=8,
∴ BC=√(AB²-AC²)=6.由△ABC的面积得1/2 AC·BC =1/2 AB·CD,即CD=AC·BC/AB = (8×6)/10 =4.8.
(3)存在点P,使以点B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.在△BOC中,
∵ ∠COB=90°,BC=6,OC=4.8,
∴ OB=√(BC²-OC²)=3.6.分两种情况:①当∠BQP=90°时,如图①,此时△PQB∽△ACB,
∴ BP/AB = BQ/BC,
∴ (6-t)/10 = t/6,解得t=2.25,即BQ=CP=2.25,
∴ BP=BC-CP=6-2.25=3.75,OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35.在Rt△BPQ中,由勾股定理,得PQ=√(BP²-BQ²)=3,
∴ 点P的坐标为(1.35,3).②当∠BPQ=90°时,如图②,此时△QPB∽△ACB,
∴ BP/BC = BQ/AB,
∴ (6-t)/6 = t/10,解得t=3.75,即BQ=CP=3.75,BP=BC-CP=6-3.75=2.25.过点P作PE⊥x轴于点E.
∵ △QPB∽△ACB,
∴ PE/CO = BQ/AB,即PE/4.8 = 3.75/10,
∴ PE=1.8.在Rt△BPE中,BE=√(BP²-PE²)=1.35,
∴ OE=OB-BE=3.6-1.35=2.25,
∴ 点P的坐标为(2.25,1.8).综上,点P的坐标为(1.35,3)或(2.25,1.8).
