6. 如图,在边长为4的等边三角形ABC中,E是AB边上一点,且$BE=3$,D为BC边上一动点,作$∠EDF$交AC边于点F.若$∠EDF=60°$,则AF的最小值为.

8/3
解析:
∵ △ABC为等边三角形,
∴ BC=AC=4,∠B=∠C=60°.设BD=x,则CD=4-x,
∵ ∠EDC=∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED,∠EDF=60°,
∴ ∠BED=∠CDF.又
∵ ∠B=∠C,
∴ △CDF∽△BED,
∴ CF/BD = CD/BE,即CF/x = (4-x)/3,
∴ CF= -1/3 x² +4/3 x = -1/3(x-2)² +4/3,
∴ 当x=2时,CF有最大值4/3,
∴ AF的最小值为4 -4/3 =8/3.故答案为8/3.

7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=6$,$BC=2$,过点$A$作$AM // BC$,点$P$是$AB$上一点,作$∠ CPD = ∠ B$,$PD$交$AM$于点$D$.
(1)如图①,在$BA$的延长线上取点$G$,使得$DG=DA$,则$\frac{AD}{AG}$的值为________;
(2)在(1)的条件下,求证:$△ DGP ∽ △ PBC$;
(3)如图②,当点$P$是$AB$的中点时,$AD$的长为________.

(1)3
解析:
∵ AM//BC,
∴ ∠GAD=∠B.
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠ACB.
∵ AD=DG,
∴ ∠GAD=∠G,
∴ ∠G=∠ACB,
∴ △ADG∽△BAC,
∴ AD/AB = AG/BC.
∵ AB=6,BC=2,
∴ AD/6 = AG/2,
∴ AD/AG =6/2=3.
(2)
∵ ∠APC=∠GPD+∠DPC=∠B+∠BCP,∠CPD=∠B,
∴ ∠GPD=∠BCP.
∵ AD=DG,
∴ ∠GAD=∠G.
∵ AM//BC,
∴ ∠GAD=∠B,
∴ ∠G=∠B,
∴ △DGP∽△PBC.
(3)9
解析:如图,在BA的延长线上取点G,使得DA=DG.
由(1)知 AD/AG = AB/BC =3.
∵ 点P是AB的中点,
∴ AP=BP=3.
设AD=x,则DG=x,AG=1/3 x,
∴ PG=3 + 1/3 x.由(2)得△DGP∽△PBC,
∴ DG/BP = PG/BC,
∴ x/3 = (3 + 1/3 x)/2,解得x=9,
∴ AD=9.

8. 如图,把△ABC绕点A旋转到△ADE,当点D刚好落在BC上时,连接CE,设AC,DE相交于点F,则图中相似三角形(不含全等)的对数有 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

C
解析:图中相似三角形有△AFE∽△DFC,△AFD∽△EFC,△ABD∽△AEC,共3对.故选C.

9. (2024·东营中考)在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, AC=1, BC=3.$
(1)问题发现
如图①,将$△ CAB$绕点$C$按逆时针方向旋转$90°$得到$△ CDE$,连接$AD,BE$,线段$AD$与$BE$的数量关系是,AD与BE的位置关系是.
(2)类比探究
将$△ CAB$绕点$C$按逆时针方向旋转任意角度得到$△ CDE$,连接$AD,BE$,线段$AD$与$BE$的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致?若$AD$交$CE$于点$N$,请结合图②说明理由.
(3)迁移应用
如图③,将$△ CAB$绕点$C$旋转一定角度得到$△ CDE$,当点$D$落到$AB$边上时,连接$BE$,线段$BE$的长为.

(1)BE=3AD AD⊥BE
解析:延长DA交BE于点H,如图①所示.
∵ 将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE,
∴ CD=AC=1,CE=BC=3,∠ACD=∠ACB=90°,
∴ 根据勾股定理得 AD=√(1²+1²)=√2,BE=√(3²+3²)=3√2,
∴ BE=3AD.
∵ CD=AC,CE=BC,∠ACD=∠ACB=90°,
∴ ∠ADC=∠DAC=1/2 ×90°=45°,∠CBE=∠CEB=1/2 ×90°=45°,
∴ ∠BHD=180°-∠ADC-∠CBE=180°-45°-45°=90°,
∴ AD⊥BE.

(2)线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论一致,理由如下:
延长DA交BE于点H,如图②所示.
∵ 将△CAB绕点C旋转得到△CDE,
∴ CD=AC=1,CE=BC=3,∠ACD=∠BCE,∠DCE=∠ACB=90°,
∴ AC/BC = CD/CE =1/3,
∴ △ACD∽△BCE,
∴ AD/BE = AC/BC =1/3,∠ADC=∠BEC,
∴ BE=3AD.又
∵ ∠ENH=∠CND,∠HEN+∠ENH+∠EHN=180°,∠CND+∠CDN+∠DCN=180°,
∴ ∠EHN=∠DCN=90°,
∴ AD⊥BE.

(3)3√10/5
解析:过点C作CN⊥AB于点N,如图③所示.
根据旋转可知AC=CD,
∴ AN=ND=1/2 AD.
∵ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=3,
∴ 根据勾股定理得 AB=√(1²+3²)=√10.
∵ ∠ANC=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴ △ACN∽△ABC,
∴ AN/AC = AC/AB,即 AN/1 = 1/√10,解得AN=√10/10,
∴ AD=2AN=√10/5.
根据(2)可知BE=3AD= 3√10/5.

归纳总结 当旋转角为90°(对应角为直角),利用对应边相等+直角,构造等腰直角三角形,用勾股定理直接求长度,底角45°助证垂直;当旋转角为任意值时(对应角相等),依据对应边成比例+对应角相等,满足相似条件,用比例关系求线段倍数,对应角助证垂直.