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1. (2025·济南期末)下列方程中，一定是关于$x$的一元二次方程的是 (
A.$ax^2+bx+c=0$
B.$x^2+y+3=0$
C.$x+\frac{1}{x}=2$
D.$(x-1)(x+2)=0$
D
)A.$ax^2+bx+c=0$
B.$x^2+y+3=0$
C.$x+\frac{1}{x}=2$
D.$(x-1)(x+2)=0$
答案
1. D 解析:A.方程$ax^2+bx+c=0$中,若a=0,则二次项消失,不一定是二次方程,排除;B.方程$x^2+y+3=0$含有两个未知数x和y,属于二元方程,排除;C.方程$x+\frac{1}{x}=2$含有分式$\frac{1}{x}$,不是整式方程,排除;D.方程$(x-1)(x+2)=0$展开后为$x^2+x-2=0$,满足整式、仅含x且最高次数为2,符合定义.故选 D.
2. (2026·青岛月考)根据下列表格的对应值，判断方程$ax^2+bx+c=0.06$（$a≠0,a,b,c$为常数）的一个解$x$的范围是（
A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
D
）A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
答案
2. D 解析:根据题意,当x=3.25时,$ax^2+bx+c=0.03$,当x=3.26时,$ax^2+bx+c=0.09$,
∴当3.25＜x＜3.26时,$ax^2+bx+c$的取值范围为0.03＜y＜0.09,即方程$ax^2+bx+c=0.06$的一个解x的范围是3.25＜x＜3.26,故选 D.
∴当3.25＜x＜3.26时,$ax^2+bx+c$的取值范围为0.03＜y＜0.09,即方程$ax^2+bx+c=0.06$的一个解x的范围是3.25＜x＜3.26,故选 D.
3. (2025·西安期末)若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 + x - a^2 + 1 = 0$有一个根为0，则a的值等于（
A.-1或0
B.0
C.-1
D.1或-1
C
）A.-1或0
B.0
C.-1
D.1或-1
答案
3. C 解析:把x=0代入,得$-a^2+1=0$,解得$a=±1$.又
∵$a-1≠0$,即$a≠1$,
∴$a=-1$.故选 C.
∵$a-1≠0$,即$a≠1$,
∴$a=-1$.故选 C.
4. (2024·广安中考)若关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是 (
A.$m＜0$且$m≠-1$
B.$m≥0$
C.$m≤0$且$m≠-1$
D.$m＜0$
A
)A.$m＜0$且$m≠-1$
B.$m≥0$
C.$m≤0$且$m≠-1$
D.$m＜0$
答案
4. A 解析:
∵关于x的一元二次方程$(m+1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根,
∴$Δ=(-2)^2-4(m+1)＞0$,解得m＜0.
∵$m+1≠0$,
∴$m≠-1$,
∴m的取值范围是m＜0且m≠-1.故选 A.
∵关于x的一元二次方程$(m+1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根,
∴$Δ=(-2)^2-4(m+1)＞0$,解得m＜0.
∵$m+1≠0$,
∴$m≠-1$,
∴m的取值范围是m＜0且m≠-1.故选 A.
5. (2025·济南一模)关于x的方程$x^2+(k^2-2)x+k+1=0$的两根互为相反数，则k的值为(
A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.0
B
)A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.0
答案
5. B 解析:设原方程的两根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=2-k^2$.由题意,得$2-k^2=0$,
∴$k_1=\sqrt{2},k_2=-\sqrt{2}$.又
∵原方程$Δ=(k^2-2)^2-4(k+1)$,
∴当$k=\sqrt{2}$时,$Δ=-4(\sqrt{2}+1)＜0$,原方程无实根;当$k=-\sqrt{2}$时,$Δ=-4(-\sqrt{2}+1)=4(\sqrt{2}-1)＞0$,原方程有实根,
∴$k=-\sqrt{2}$.故选 B.
∴$k_1=\sqrt{2},k_2=-\sqrt{2}$.又
∵原方程$Δ=(k^2-2)^2-4(k+1)$,
∴当$k=\sqrt{2}$时,$Δ=-4(\sqrt{2}+1)＜0$,原方程无实根;当$k=-\sqrt{2}$时,$Δ=-4(-\sqrt{2}+1)=4(\sqrt{2}-1)＞0$,原方程有实根,
∴$k=-\sqrt{2}$.故选 B.
6. (2026·云南期末)《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了.如图，设正方形的边长是$x$步，则列出的方程是 (
A.$π(x+3)^2 - x^2 =72$
B.$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=36$
C.$π(x+3)^2 -x^2=36$
D.$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$
D
)A.$π(x+3)^2 - x^2 =72$
B.$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=36$
C.$π(x+3)^2 -x^2=36$
D.$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$
答案
6. D 解析:设正方形的边长是x步,则圆的直径是(x+6)步,
∴圆的半径为$(\frac{x}{2}+3)$步,
∴圆的面积为$π(\frac{x}{2}+3)^2$平方步,正方形水池的面积为$x^2$平方步.
∵可耕地的面积恰好72平方步,可列方程:$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$.故选 D.
∴圆的半径为$(\frac{x}{2}+3)$步,
∴圆的面积为$π(\frac{x}{2}+3)^2$平方步,正方形水池的面积为$x^2$平方步.
∵可耕地的面积恰好72平方步,可列方程:$π(\frac{x}{2}+3)^2 -x^2=72$.故选 D.
7. (陕西中考)在$□ ABCD$中，$AB=10$，$BC=14$，$E$，$F$分别为边$BC$，$AD$上的点，若四边形$AECF$为正方形，则$AE$的长为（
A.7
B.4或10
C.5或9
D.6或8
D
）A.7
B.4或10
C.5或9
D.6或8
答案
7. D 解析:如图,设AE的长为x,根据正方形的性质可得BE=14-x,在Rt△ABE中,根据勾股定理可得$x^2+(14-x)^2=10^2$,解得$x_1=6,x_2=8$.故AE的长为6或8.故选 D.
8. 下列结论:①当$m=3$时,若$x^2+mxy-2x=0$,则$x+3y=2$;②无论$x$取任何实数,等式$x^2+mxy-3x=0$都恒成立,则$(x+my)^2=9$;③若$x^2+xy-2x=7$,$y^2+xy-2y=8$,则$x+y=5$;④满足$(x^2+xy-4x)+(y^2-xy-2y)＜0$的整数解$(x,y)$共有12个.正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
A
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8. A 解析:①当m=3时,即$x^2+mxy-2x=x^2+3xy-2x=x(x+3y-2)=0$,则x=0或x+3y-2=0,即x=0或x+3y=2,故①错误;②$x^2+mxy-3x=0$,即$x(x+my-3)=0$,则x=0或x+my-3=0.
∵x取任何实数都成立,
∴x+my=3,
∴$(x+my)^2=9$,故②正确;③两式相加可得$(x^2+xy-2x)+(y^2+xy-2y)=8+7$,则$x^2+2xy+y^2-2x-2y=15$,
∴$(x+y)^2-2(x+y)=15$,令t=x+y,可得$t^2-2t-15=0$,解得t=-3或t=5,即x+y=5或x+y=-3,故③错误;④$(x^2+xy-4x)+(y^2-xy-2y)＜0$,即$x^2-4x+y^2-2y＜0$,
∴$(x-2)^2+(y-1)^2＜5$,整数解有(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(4,1),共13个,故④错误.
∴正确的个数是1.故选 A.
∵x取任何实数都成立,
∴x+my=3,
∴$(x+my)^2=9$,故②正确;③两式相加可得$(x^2+xy-2x)+(y^2+xy-2y)=8+7$,则$x^2+2xy+y^2-2x-2y=15$,
∴$(x+y)^2-2(x+y)=15$,令t=x+y,可得$t^2-2t-15=0$,解得t=-3或t=5,即x+y=5或x+y=-3,故③错误;④$(x^2+xy-4x)+(y^2-xy-2y)＜0$,即$x^2-4x+y^2-2y＜0$,
∴$(x-2)^2+(y-1)^2＜5$,整数解有(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(4,1),共13个,故④错误.
∴正确的个数是1.故选 A.
9. (2026·青岛期末)某商品经过两次涨价，由每件72元涨至100元，求这两次涨价的平均增长率. 设平均增长率为x，则可以列方程为
$72(1+x)^2=100$
.答案
9. $72(1+x)^2=100$ 解析 根据题意得$72(1+x)^2=100$. 归纳总结 商品经过两次涨价后的价格=该商品的原价×(1+这两次涨价的平均增长率)$^2$.
10. (2024·凉山州中考)已知$y^2 - x = 0$，$x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，则x的值为
3
.答案
10. 3 解析:
∵$y^2-x=0$,
∴$y^2=x$,将$y^2=x$代入$x^2-3y^2+x-3=0$,得$x^2-3x+x-3=0$,即$x^2-2x-3=0$,
∴$(x-3)(x+1)=0$,
∴x=3或x=-1.
∵$y^2=x≥0$,
∴x=-1舍去,
∴x=3.故答案为3.
∵$y^2-x=0$,
∴$y^2=x$,将$y^2=x$代入$x^2-3y^2+x-3=0$,得$x^2-3x+x-3=0$,即$x^2-2x-3=0$,
∴$(x-3)(x+1)=0$,
∴x=3或x=-1.
∵$y^2=x≥0$,
∴x=-1舍去,
∴x=3.故答案为3.
11. (2026·成都月考)若关于x的一元二次方程$x^2 - x + 2m = 0$有两个实数根，且方程的两根满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = m^2 - 8$，则m的值为
-2
。答案
11. -2 解析:由根与系数的关系,得$x_1+x_2=1$,$x_1x_2=2m$,则$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2m-1+1=2m$,所以$2m=m^2-8$,即$m^2-2m-8=0$,解得m=4或m=-2.又因为方程有两个实数根,所以判别式$Δ=(-1)^2-4×1×2m=1-8m≥0$,即$m≤\frac{1}{8}$.当m=4时,$4≤\frac{1}{8}$不成立,舍去;当m=-2时,$-2≤\frac{1}{8}$成立.故m=-2.故答案为-2.
12. 新题型·新定义（2025·青岛模拟）对于三个实数$a,b,c$,用$M\{a,b,c\}$表示这三个数的平均数,用$\min\{a,b,c\}$表示这三个数中最小的数.例如:$M\{1,2,9\}=4,\min\{1,2,-3\}=-3,\min\{3,1,1\}=1$,请结合上述材料,解决问题:若$M\{5x,x^2,-3\}=\min\{x^2,-3\}$,则$x=$
-2或-3
.答案
12. -2或-3 解析:
∵$x^2≥0$,
∴$x^2＞-3$,
∴$\min\{x^2,-3\}=-3$.
∵$M\{5x,x^2,-3\}=\min\{x^2,-3\}$,
∴$\frac{5x+x^2-3}{3}=-3$,
∴x=-2或x=-3.故答案为-2或-3.
∵$x^2≥0$,
∴$x^2＞-3$,
∴$\min\{x^2,-3\}=-3$.
∵$M\{5x,x^2,-3\}=\min\{x^2,-3\}$,
∴$\frac{5x+x^2-3}{3}=-3$,
∴x=-2或x=-3.故答案为-2或-3.
