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13. (泸州中考改编)若一个菱形的两条对角线长分别是关于$x$的一元二次方程$x^2 -10x + m =0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为
$\sqrt{14}$
.答案
13. $\sqrt{14}$ 解析:设方程$x^2-10x+m=0$的两根分别为a,b,
∴a+b=10.
∵a,b分别是一个菱形的两条对角线长,已知菱形的面积为11,
∴$\frac{1}{2}ab=11$,即ab=22.
∵菱形对角线垂直且互相平分,
∴该菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\frac{1}{2}×\sqrt{10^2-2×22}=\sqrt{14}$.
∴a+b=10.
∵a,b分别是一个菱形的两条对角线长,已知菱形的面积为11,
∴$\frac{1}{2}ab=11$,即ab=22.
∵菱形对角线垂直且互相平分,
∴该菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\frac{1}{2}×\sqrt{10^2-2×22}=\sqrt{14}$.
14. 定义:在平面直角坐标系$xOy$中,函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于$n(n≠0)$的点,叫作该函数图象的“$n$阶积点”.例如:点$(3,-\dfrac{1}{4})$为一次函数$y=-\dfrac{3}{4}x+2$图象的“$\dfrac{3}{4}$阶积点”.若$y$关于$x$的一次函数$y=nx+3n-5$图象的“$n$阶积点”恰好有$3$个,则$n$的值为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
答案
14. 1或5 解析:根据题意可得,关于x的方程$|x|·|nx+3n-5|=n$有三个实数根.当x,nx+3n-5同号时,$x(nx+3n-5)=n$,整理得$nx^2+(3n-5)x-n=0$,
∴$Δ=(3n-5)^2-4×n×(-n)=(3n-5)^2+4n^2$.
∵n≠0,
∴$(3n-5)^2≥0$,$n^2＞0$,
∴Δ＞0,
∴此时原方程有两个不相等的实数根.当x,nx+3n-5异号时,$x(nx+3n-5)=-n$,整理得$nx^2+(3n-5)x+n=0$.
∵该方程有两个相等的实数根,
∴$Δ=(3n-5)^2-4n^2=0$,
∴$(3n-5+2n)(3n-5-2n)=0$,解得$n_1=1$,$n_2=5$,
∴n的值为1或5.
∴$Δ=(3n-5)^2-4×n×(-n)=(3n-5)^2+4n^2$.
∵n≠0,
∴$(3n-5)^2≥0$,$n^2＞0$,
∴Δ＞0,
∴此时原方程有两个不相等的实数根.当x,nx+3n-5异号时,$x(nx+3n-5)=-n$,整理得$nx^2+(3n-5)x+n=0$.
∵该方程有两个相等的实数根,
∴$Δ=(3n-5)^2-4n^2=0$,
∴$(3n-5+2n)(3n-5-2n)=0$,解得$n_1=1$,$n_2=5$,
∴n的值为1或5.
三、解答题(共52分)
15. (6分)选用适当的方法解下列方程：
(1) $x^2 -2x -7=0$；
(2) $4x^2 -x -1=3x -2$；
(3) $3x(x-1)=2-2x$。
15. (6分)选用适当的方法解下列方程：
(1) $x^2 -2x -7=0$；
(2) $4x^2 -x -1=3x -2$；
(3) $3x(x-1)=2-2x$。
答案
15. (1)$x_1=1+2\sqrt{2}$,$x_2=1-2\sqrt{2}$. (2)$x_1=x_2=\frac{1}{2}$. (3)$x_1=1$,$x_2=-\frac{2}{3}$.
16. (8分)(北京中考)关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$.
(1)当$b=a+2$时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写一组满足条件的$a,b$的值,求此时方程的根.
(1)当$b=a+2$时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写一组满足条件的$a,b$的值,求此时方程的根.
答案
16. (1)根据题意,得a≠0,又
∵$Δ=b^2-4a=(a+2)^2-4a=a^2+4a+4-4a=a^2+4$,而$a^2＞0$,
∴Δ＞0,
∴方程有两个不相等的实数根. (2)
∵方程有两个相等的实数根,
∴$Δ=b^2-4a=0$.若b=2,a=1,则方程为$x^2+2x+1=0$,解得$x_1=x_2=-1$.(答案不唯一)
∵$Δ=b^2-4a=(a+2)^2-4a=a^2+4a+4-4a=a^2+4$,而$a^2＞0$,
∴Δ＞0,
∴方程有两个不相等的实数根. (2)
∵方程有两个相等的实数根,
∴$Δ=b^2-4a=0$.若b=2,a=1,则方程为$x^2+2x+1=0$,解得$x_1=x_2=-1$.(答案不唯一)
17. (8分)(2024·遂宁中考)已知关于x的一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2=9$,求m的值.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2=9$,求m的值.
答案
17. (1)$Δ=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)=m^2+8$,
∵无论m取何值,$m^2+8＞0$恒成立,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根. (2)
∵$x_1,x_2$是方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根,
∴$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=m-1$,
∴$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=(m+2)^2-3(m-1)=9$,解得$m_1=1$,$m_2=-2$.故m的值为1或-2.
∵无论m取何值,$m^2+8＞0$恒成立,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根. (2)
∵$x_1,x_2$是方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根,
∴$x_1+x_2=m+2$,$x_1x_2=m-1$,
∴$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=(m+2)^2-3(m-1)=9$,解得$m_1=1$,$m_2=-2$.故m的值为1或-2.
18.（8分）（重庆中考）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出。已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元。
（1）A，B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期。今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间。预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加$a\%$；B产品产量将在去年的基础上减少$a\%$，但B产品的销售单价将提高$3a\%$。则今年A，B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$。求$a$的值。
（1）A，B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期。今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间。预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加$a\%$；B产品产量将在去年的基础上减少$a\%$，但B产品的销售单价将提高$3a\%$。则今年A，B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$。求$a$的值。
答案
18. (1)设B产品的销售单价为x元,则A产品的销售单价为(x+100)元,根据题意,得x+100+x=500,解得x=200,
∴x+100=200+100=300(元).故A产品的销售单价为300元,B产品的销售单价为200元. (2)设去年每个车间生产产品的数量为t件,根据题意,得$300(1+a\%)t+200(1+3a\%)(1-a\%)t=500t(1+\frac{29}{25}a\%)$.设a%=m,则原方程可化简为$5m^2-m=0$,解得$m_1=\frac{1}{5}$,$m_2=0$(不合题意,舍去),
∴a=20.
∴x+100=200+100=300(元).故A产品的销售单价为300元,B产品的销售单价为200元. (2)设去年每个车间生产产品的数量为t件,根据题意,得$300(1+a\%)t+200(1+3a\%)(1-a\%)t=500t(1+\frac{29}{25}a\%)$.设a%=m,则原方程可化简为$5m^2-m=0$,解得$m_1=\frac{1}{5}$,$m_2=0$(不合题意,舍去),
∴a=20.
