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1. (2026·沈阳期末)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”其大意是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?设这个矩形的宽为x步,根据题意可列方程为 (
A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$[x+(x+60)]=864$
A
)A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$[x+(x+60)]=864$
答案
1. A 解析
∵ 长与宽共 60 步,宽为 x 步,
∴ 长为(60-x)步.
∵ 面积为 864 平方步,
∴ x(60-x)=864.故选 A.
∵ 长与宽共 60 步,宽为 x 步,
∴ 长为(60-x)步.
∵ 面积为 864 平方步,
∴ x(60-x)=864.故选 A.
2. 平行四边形ABCD的边长如图所示，则平行四边形ABCD的周长是
22
。答案
2. 22 解析 依题意有 $x^2-12=4$,解得 $x_1=4$,$x_2=-4$(不合题意,舍去),
∴ $x+3=7$,则平行四边形 ABCD 的周长是(7+4)×2=11×2=22.
∴ $x+3=7$,则平行四边形 ABCD 的周长是(7+4)×2=11×2=22.
3. (2024·青岛中考)如图,某小区要在长为16 m,宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路宽为
2
m.答案
3. 2 解析 设小路的宽为 x m,则矩形花坛的长为(16-2x)m,宽为(12-2x)m,由题意得 $(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$,整理得 $x^2-14x+24=0$,解得 x=2 或 x=12(舍去),
∴ 小路的宽为 2 m,故答案为 2.
∴ 小路的宽为 2 m,故答案为 2.
4. (2026·济宁月考)古算趣题:“愚人持竿欲入门,怎奈门框把竹阻,横余五尺竖余三,焦急无措泪潸潸. 有位邻居智慧高,教其斜竿对两角,愚人依言行一试,不多不少正合适,试问竿长是几何,能解此题我点赞.”大意是:一人拿着一根竹竿进屋内,竹竿比门宽多5尺,比门高多3尺,如果竹竿斜着进门,恰好通过.若设竹竿的长为x尺,则可列方程为 (
A.$(x+3)^2+(x-5)^2=x^2$
B.$(x-3)^2+(x-5)^2=x^2$
C.$(x-3)^2+(x+5)^2=x^2$
D.$(x+3)^2+(x+5)^2=x^2$
B
)A.$(x+3)^2+(x-5)^2=x^2$
B.$(x-3)^2+(x-5)^2=x^2$
C.$(x-3)^2+(x+5)^2=x^2$
D.$(x+3)^2+(x+5)^2=x^2$
答案
4. B 解析 因为设竹竿长为 x 尺,由题意可知门宽为(x-5)尺,门高为(x-3)尺,所以可列方程为 $(x-3)^2+(x-5)^2=x^2$.故选 B.
5. (2026·济南期末)如图,在$△ ABC$中,若$AB=AC=2$,$∠ BAC=108°$,$E$为$BC$上一点,且$AE=EC$,则$AE$的值为 (
A.$3-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B
)A.$3-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
答案
5. B 解析 如图,作 $AD ⊥ BC$ 于点 D,设 $AE = x$,
∵ $AB = AC = 2$,$∠ BAC=108°$,
∴ $∠ B = ∠ C = \frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$.
∵ $AE=EC$,
∴ $EC=AE=x$,$∠ EAC = ∠ C = 36°$,
∴ $∠ AEB=36°+36°=72°$,
∴ $∠ BAE = 180°-36°-72°=72°$,
∴ $∠ BAE = ∠ BEA = 72°$,
∴ $BE = AB = 2$,
∴ $BC = 2+x$.
∵ $AB=AC=2$,$AD ⊥ BC$,
∴ $BD = CD = \frac{1}{2}BC = 1+\frac{x}{2}$,
∴ $DE = CD - CE = 1+\frac{x}{2}-x = 1-\frac{x}{2}$,由勾股定理得 $AD^2 = AB^2 - BD^2 = AE^2 - DE^2$,即 $2^2 - (1+\frac{x}{2})^2 = x^2 - (1-\frac{x}{2})^2$,整理得 $x^2+2x-4=0$,解得 $x = \frac{-2±\sqrt{2^2-4×1×(-4)}}{2} = -1±\sqrt{5}$,
∴ AE 的值为$\sqrt{5}-1$,故选 B.
6. 如图,已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作$EF ⊥ CD$,垂足为F.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,则AE的长为
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$
.(用含a的代数式表示)答案
6. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$ 解析 设 AE 的长为 $x(x＞0)$,则 BE 的长为 $a-x$,根据题意得 $x^2=a(a-x)$,
∴ $x^2+ax-a^2=0$.
∵ $Δ=a^2+4a^2=5a^2＞0$,
∴ $x = \frac{-a±\sqrt{5a^2}}{2} = \frac{-a±\sqrt{5}a}{2}$,解得 $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a$(负值已舍去).
∴ $x^2+ax-a^2=0$.
∵ $Δ=a^2+4a^2=5a^2＞0$,
∴ $x = \frac{-a±\sqrt{5a^2}}{2} = \frac{-a±\sqrt{5}a}{2}$,解得 $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a$(负值已舍去).
7. 如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙C的距离为0.7米.
(1)如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(2)梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗?为什么?
(1)如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(2)梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗?为什么?
答案
7. (1)由题意得,在 $Rt △ABC$ 中, $AC = \sqrt{AB^2-BC^2} = \sqrt{2.5^2-0.7^2}=2.4$(米).设点 B 将向外移动 x 米,即 $BB_1 = x$ 米,则 $B_1C = (x+0.7)$ 米, $A_1C = AC - AA_1 = 2$ 米,在 $Rt△A_1B_1C$ 中,$A_1B_1=2.5$ 米,由 $B_1C^2+A_1C^2=A_1B_1^2$ 得方程 $(x+0.7)^2+2^2=2.5^2$,解得 $x_1=0.8$,$x_2=-2.2$(舍去),
∴ 点 B 将向外移动 0.8 米.
(2)有可能相等.理由:设梯子顶端从 A 处下滑 y 米,点 B 向外也移动 y 米,则有 $(y+0.7)^2+(2.4-y)^2=2.5^2$,解得 $y=1.7$ 或 $y=0$(舍去),
∴ 当梯子顶端从 A 处下滑 1.7 米时,点 B 也向外移动 1.7 米,即梯子顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离有可能相等.
∴ 点 B 将向外移动 0.8 米.
(2)有可能相等.理由:设梯子顶端从 A 处下滑 y 米,点 B 向外也移动 y 米,则有 $(y+0.7)^2+(2.4-y)^2=2.5^2$,解得 $y=1.7$ 或 $y=0$(舍去),
∴ 当梯子顶端从 A 处下滑 1.7 米时,点 B 也向外移动 1.7 米,即梯子顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离有可能相等.
