1. ★★★|新定义（2026·佛山月考）如图，点M，N把线段AB依次分成AM，MN，NB三段，若以AM，MN，NB为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分点”。

(1)若AB=9，AM=3，BN=4，则点M，N 线段AB的“勾股分点”（填“是”或“不是”）；
(2)若M，N是线段AB的“勾股分点”，AB=30，AM=12，且AM是组成的直角三角形的一条直角边，求MN的长。

1. (1)不是 解析:
∵ AB=9,AM=3,BN=4,
∴ MN=9-3-4=2,
∴ AM²=9,MN²=4,BN²=16,
∴ AM²+MN²≠BN²,
∴ 以AM,MN,NB为边的三角形不是一个直角三角形,
∴ 根据“勾股分点”的定义,M,N不是线段AB的“勾股分点”,故答案为不是.
(2)
∵ 点M,N是线段AB的“勾股分点”,且AM为直角边,有两种情况:①当MN为斜边时,有AM²+BN²=MN²,设BN=x,则12²+x²=(30-12-x)²,
∴ x=5;②当BN为斜边时,有BN²=AM²+MN²,设BN=y,则y²=12²+(30-12-y)²,
∴ y=13,
∴ BN的长为5或13,
∴ MN的长为30-12-5=13 或 30-12-13=5,
∴ MN的长为5或13.

2. (2026·汉中期中)如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,DE⊥BC交AB于点E,连结CE,且$BE^2 - EA^2 = AC^2$.
(1)求证:$∠ A=90°$;
(2)若$AC=10,BD=13$,求$AE$的长度.

2. (1)
∵ 点D是BC边的中点,DE⊥BC,
∴ DE垂直平分BC,
∴ CE=BE.
∵ BE²-AE²=AC²,
∴ CE²-AE²=AC²,
∴ AC²+EA²=CE²,
∴ △ACE是直角三角形,
∴ ∠A=90°.
(2)
∵ 点D是BC边的中点,BD=13,
∴ BC=2BD=26. 在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=10,BC=26,
∴ AB=√(BC²-AC²)=24.设AE=x,则CE=BE=24-x,
∵ AC²+EA²=CE²,
∴ 10²+x²=(24-x)²,解得x=119/12,即AE=119/12.

3. |数学文化 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送两步（水平距离，一步为5尺）时，秋千的踏板距离地面的高度就与人的身高相等，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图①所示），试问绳索有几尺？小明同学根据题意，画出如图②的示意图.请你解决这个问题.

3. 如图,过点B作AE的垂线交AE于点F,则BF=CD=2×5=10(尺),设AB=x尺,则AF=x+1-5=(x-4)尺,在Rt△ABF中,AB²=AF²+BF²,即x²=(x-4)²+10²,解得x=14.5,故绳索有14.5尺.