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1. 下列能断定$△ ABC$为等腰三角形的是 （）
A.$∠ A=30°,∠ B=60°$
B.$AB=AC=2,BC=4$
C.$∠ A=50°,∠ B=80°$
D.$AB=3,BC=7$,周长为13
A.$∠ A=30°,∠ B=60°$
B.$AB=AC=2,BC=4$
C.$∠ A=50°,∠ B=80°$
D.$AB=3,BC=7$,周长为13
答案
C
解析
逐一分析各选项：
1. 选项A：计算得∠C=180°-30°-60°=90°，三个内角均不相等，△ABC不是等腰三角形；
2. 选项B：AB+AC=2+2=4=BC，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形；
3. 选项C：计算得∠C=180°-50°-80°=50°，∠A=∠C，根据等角对等边可得AB=BC，△ABC是等腰三角形；
4. 选项D：计算得AC=13-3-7=3，AB+AC=3+3=6＜7，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
综上，只有选项C符合要求。
1. 选项A：计算得∠C=180°-30°-60°=90°，三个内角均不相等，△ABC不是等腰三角形；
2. 选项B：AB+AC=2+2=4=BC，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形；
3. 选项C：计算得∠C=180°-50°-80°=50°，∠A=∠C，根据等角对等边可得AB=BC，△ABC是等腰三角形；
4. 选项D：计算得AC=13-3-7=3，AB+AC=3+3=6＜7，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
综上，只有选项C符合要求。
2. 如图,已知OC平分∠AOB,CD//OB,若OD=3,则CD的长度为 （）
A.3
B.4
C.1.5
D.2
A.3
B.4
C.1.5
D.2
答案
A
解析
∵OC平分∠AOB，∴∠DOC=∠BOC。∵CD//OB，∴∠DCO=∠BOC，由此可得∠DOC=∠DCO，即△DOC是等腰三角形，CD=OD。已知OD=3，因此CD=3。
3. 如图，在$△ ABC$中，$BC=24$，$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的角平分线，且$PD// AB$，$PE// AC$，则$△ PDE$的周长为________.
答案
解：
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP = ∠PBD。
∵ PD//AB，
∴ ∠ABP = ∠BPD，
∴ ∠PBD = ∠BPD，
∴ BD = PD。
同理，∵ CP平分∠ACB，
∴ ∠ACP = ∠PCE。
∵ PE//AC，
∴ ∠ACP = ∠CPE，
∴ ∠PCE = ∠CPE，
∴ PE = CE。
∴ △PDE的周长 = PD + DE + PE = BD + DE + CE = BC。
∵ BC = 24，
∴ △PDE的周长为24。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP = ∠PBD。
∵ PD//AB，
∴ ∠ABP = ∠BPD，
∴ ∠PBD = ∠BPD，
∴ BD = PD。
同理，∵ CP平分∠ACB，
∴ ∠ACP = ∠PCE。
∵ PE//AC，
∴ ∠ACP = ∠CPE，
∴ ∠PCE = ∠CPE，
∴ PE = CE。
∴ △PDE的周长 = PD + DE + PE = BD + DE + CE = BC。
∵ BC = 24，
∴ △PDE的周长为24。
4. 如图，在$△ ABC$中，点 D 为 BC 的中点，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，垂足分别为 E，F，且$DE=DF$. 求证：$△ ABC$为等腰三角形.
答案
证明：
∵ 点D为BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
即△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BD = CD \\ DE = DF \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
∴ △ABC为等腰三角形。
∵ 点D为BC的中点，
∴ BD = CD。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，
即△BDE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BD = CD \\ DE = DF \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
∴ △ABC为等腰三角形。
