6. 《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理:在一个三角形中,三角形一个内角的角平分线分对边所成的两条线段,与这个角的两邻边对应成比例.例如,在$△ ABC$中(图①),$AD$为$∠ BAC$的平分线,则有$AB:AC=BD:DC$.
证明:如图②,过点$D$分别作$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为$E,F$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore$ . ()
$\therefore S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\dfrac{1}{2}AB× DE):(\dfrac{1}{2}AC× DF)$
$=$ : .
$\because S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=BD:DC$,
$\therefore$ .
(1) 请补充完整这个定理的证明过程.
(2) 请利用(1)中的思想方法解决问题:如图③,在$△ ABC$中,$AD$是角平分线,$DE ⊥ AB$,垂足为$E$,$S_{△ ABC}=15$,$AB=4$,$DE=3$,求$AC$的长.

解：
(1) 补充完整证明过程：
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore \boldsymbol{DE=DF}$。(角平分线上的点到角两边的距离相等)
$\therefore S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\dfrac{1}{2}AB× DE):(\dfrac{1}{2}AC× DF)$
$= \boldsymbol{AB}: \boldsymbol{AC}$。
$\because S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=BD:DC$，
$\therefore \boldsymbol{AB:AC=BD:DC}$。
(2) 过点$D$作$DF⊥ AC$，垂足为$F$。
$\because AD$是$∠ BAC$的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DF=DE=3$。
$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}× AB× DE=\dfrac{1}{2}×4×3=6$，
$\because S_{△ ABC}=15$，
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ABC}-S_{△ ABD}=15-6=9$。
又$\because S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}× AC× DF$，
$\therefore \dfrac{1}{2}× AC× 3=9$，
解得$AC=6$。
答：$AC$的长为$6$。