4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$的中点，过点$D$作$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为$E$，$F$。求证：$DE=DF$。

证明：连接AD。
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD平分∠BAC。
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF。

5. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,点F在AC上,且BD=DF.
(1) 求证:CF=EB;
(2) 判断AE,AF与BE之间的数量关系,并说明理由.

(1) 证明：
∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF=EB。
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(2) 解：$AE=AF+BE$，理由如下：
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
又∵ $AC=AF+CF$，且由(1)得$CF=BE$，
∴ $AE=AF+BE$。