1.下列函数中，y是x的二次函数的是().

A.$y=3x$
B.$y=x^2 - 3$
C.$y=2x + 1$
D.$y=\frac{1}{x}$

1.B

【分析】
要判断哪个函数是二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，核心特征是：函数为整式，自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们可以结合一次函数、反比例函数的定义，逐个对选项进行判断即可。
【解析】
我们结合各类函数的定义逐一分析选项：
A. $y=3x$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数的定义；
B. $y=x^2 - 3$，符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=1≠0$，$b=0$，$c=-3$，自变量$x$的最高次数为2，是整式函数，属于二次函数，符合要求；
C. $y=2x+1$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数的定义；
D. $y=\frac{1}{x}$，分母含有自变量$x$，是反比例函数，不是整式函数，不符合二次函数的定义。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的概念；一次函数的概念；反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查不同类型函数的区分，解题关键是牢记二次函数的三个核心特征，只要准确掌握各类函数的定义，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9

2.函数$y=x^{m+1}$是y关于x的二次函数，则m的值为（）.

A.－1
B.0
C.1
D.2

2.C

【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数的定义特征：二次函数中自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0。本题给出的函数为$y=x^{m+1}$，其二次项系数是1，满足不为0的要求，因此只需让x的指数等于2，列方程求解m的值即可。
【解析】
根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2，可得：
$m + 1 = 2$
解得：$m = 2 - 1 = 1$
因此m的值为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数概念的基础考察题，解题核心是抓住二次函数自变量最高次数为2的特点，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3.在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆，剩下圆环的面积为y cm²，则y关于x的函数解析式为().

A.$y=π x^2 -4$
B.$y=π(2-x)^2$
C.$y=-x^2 +4$
D.$y=-π x^2 +16π$

3.D

【分析】
要得到y关于x的函数解析式，首先明确圆环面积的计算逻辑：圆环面积=外圆面积减去挖去的内圆面积。首先利用圆的面积公式分别计算外圆和挖去的小圆的面积，再将两者作差，整理后对应选项即可得出答案。
【解析】
根据圆的面积公式$S=π r^2$：
1. 外圆半径为4cm，因此外圆面积为$S_{外}=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$；
2. 挖去的小圆半径为x cm，因此小圆面积为$S_{内}=π x^2\ \mathrm{cm}^2$；
3. 圆环面积等于外圆面积减去小圆面积，因此$y=S_{外}-S_{内}=16π - π x^2$，整理得$y=-π x^2 +16π$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆的面积计算；列函数解析式；二次函数的概念
【点评】
本题是结合几何图形面积的基础函数题，核心是掌握圆环面积的计算方法，计算时注意不要遗漏圆周率$π$即可正确求解。
【难度系数】
0.85

4.某厂今年1月份的研发资金为a元，若以后每月的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年3月份的研发资金y（单位：元）关于x的函数解析式为。

4.$y=a(1+x)^2$

【分析】
要解决这个问题，我们可以按照月份逐步推导研发资金的表达式：首先明确增长率问题的基本计算逻辑，即本月资金 = 上月资金×(1+月增长率)。先根据1月份的资金算出2月份的资金，再以2月份的资金为基础算出3月份的资金，最终整理得到y关于x的函数解析式。
【解析】
已知1月份研发资金为a元，每月增长率为x：
1. 计算2月份的研发资金：2月份是在1月份的基础上增长，因此2月份资金 = 1月份资金×(1+x) = $a(1+x)$ 元；
2. 计算3月份的研发资金：3月份是在2月份的基础上增长，因此3月份资金$y$ = 2月份资金×(1+x) = $a(1+x) · (1+x) = a(1+x)^2$。
【答案】
$y=a(1+x)^2$
【知识点】
1. 增长率问题
2. 列函数解析式
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握平均增长率的计算方法，解题时注意从1月到3月共经历了2次增长，避免错算为仅增长1次的情况。
【难度系数】
0.8

5.已知$y$关于$x$的函数$y=(m-1)x^{m^2+1}+3x+3$.当$m=$时，此函数是二次函数.当$m=$时，此函数是一次函数.

5.－1 0或1

【分析】
解决本题需结合二次函数、一次函数的定义分情况求解：①求二次函数对应的m值时，要满足最高次项次数为2，且二次项系数不为0两个条件，联立即可求出m的取值；②求一次函数对应的m值时，需分两种情况讨论：第一种是原高次项的次数为1，合并后一次项系数不为0；第二种是原高次项系数为0，函数仅剩一次项和常数项，两种情况分别计算即可，注意不要漏解。
【解析】
求函数为二次函数时m的值
根据二次函数的定义，需同时满足：
1. 最高次项的次数为2：$m^2+1=2$，解得$m^2=1$，即$m=\pm1$；
2. 二次项系数不为0：$m-1≠0$，即$m≠1$。
综上，$m=-1$。
求函数为一次函数时m的值
根据一次函数的定义，分两种情况讨论：
1. 原高次项为一次项：$m^2+1=1$，解得$m=0$，代入原式得$y=-x+3x+3=2x+3$，符合一次函数定义；
2. 原高次项系数为0，该项消失：$m-1=0$，解得$m=1$，代入原式得$y=3x+3$，符合一次函数定义。
综上，$m=0$或$m=1$。
【答案】
$-1$；$0$或$1$
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数和二次函数的概念，解题时要注意高次项系数不为0的隐含条件，求解一次函数时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

6.已知$y$关于$x$的函数$y=(a-2)x^2 -2x +1$是二次函数，则$a$的取值范围是（）.

A.$a≠2$
B.$a≤3$
C.$a＜2$
D.$a＞2$

6.A

【分析】
本题考查二次函数的定义应用，解题思路如下：首先明确二次函数的核心判定条件：函数解析式中自变量的最高次数为2，且二次项的系数不能为0。本题给出的函数解析式已经满足x的最高次数是2，因此只需保证二次项系数不为0，列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数。
本题中函数的二次项系数为$a-2$，因此需满足：
$a-2≠0$
解得$a≠2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、一元一次不等式的解法
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的限制条件，掌握该知识点即可快速得出答案，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9

7.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元.经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x(x≥50)元/件的关系如下表：
销售单价x/(元/件) … 55 60 70 75 …
一周的销售量y/件 … 400 300 250 …
设一周的销售利润为S元，则S关于x的函数解析式是。

7.$S=-10x^2+1400x-40000(x≥50)$

【分析】
首先观察表格中销售单价x和销售量y的变化规律，可判断y是x的一次函数，第一步先设一次函数解析式y=kx+b，代入表格中两组对应值求出k、b，得到y关于x的解析式；再根据“销售利润=每件利润×销售量”的等量关系，每件利润为(x-40)元，将y的表达式代入该公式，整理后即可得到S关于x的函数解析式，注意保留题目给出的自变量取值范围x≥50。
【解析】
1. 求y与x的函数解析式：
由表格数据可知y是x的一次函数，设$y=kx+b(k≠0)$，选取$x=60,y=400$和$x=70,y=300$代入得：
$\begin{cases}60k + b = 400 \\70k + b = 300 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$10k=-100$，解得$k=-10$；
将$k=-10$代入$60k + b = 400$，得$-600+b=400$，解得$b=1000$。
验证其余数据：当x=55时，$y=-10×55+1000=450$；当x=75时，$y=-10×75+1000=250$，均符合表格数据，因此$y=-10x+1000$。
2. 推导S关于x的函数解析式：
每件商品利润为$(x-40)$元，销售利润$S=$每件利润×销售量，即：
$S=(x-40)y=(x-40)(-10x+1000)$
展开整理得：
$S=-10x^2+1000x+400x-40000=-10x^2+1400x-40000$
结合题目给出的自变量范围$x≥50$，最终得到函数解析式。
【答案】
$S=-10x^2+1400x-40000(x≥50)$
【知识点】
一次函数解析式求解，销售利润计算，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的基础应用，解题核心是先通过已知数据确定销售量和销售单价的一次函数关系，再结合利润公式推导得到二次函数解析式，解题时需注意验证所得一次函数是否符合所有已知数据，同时不能遗漏自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7

8.已知$y=(k-1)x^{k^2 -3k +4}+2x -1$是y关于x的二次函数.
(1)求k的值.
(2)求当$x=0.5$时y的值.

8.(1)由题意得$k^2 -3k +4=2$,解得$k_1=1,k_2=2$,$\because k-1≠0$,$\therefore k=2$.
(2)把$k=2$代入函数解析式得$y=x^2+2x-1$,当$x=0.5$时,$y=(\dfrac{1}{2})^2+2×\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{1}{4}$.

【分析】
（1）求k的值需要依据二次函数的定义思考：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次数为2列方程求出k的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，就能得到正确的k值。（2）得到k的取值后，先写出完整的二次函数解析式，再将x=0.5代入解析式计算，即可求出对应的y值。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义可列条件：
$\begin{cases}k^2 -3k +4=2 \\ k-1≠ 0\end{cases}$
解方程$k^2 -3k +4=2$，整理得$k^2-3k+2=0$，因式分解为$(k-1)(k-2)=0$，解得$k_1=1$，$k_2=2$。
由于二次项系数不能为0，即$k-1≠0$，也就是$k≠1$，因此舍去$k=1$，得$k=2$。
(2) 将$k=2$代入原函数解析式，得：
$y=(2-1)x^2+2x-1=x^2+2x-1$
把$x=0.5$代入上述解析式：
$y=(\frac{1}{2})^2+2×\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}+1-1=\frac{1}{4}$
【答案】
(1) $k=2$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
二次函数的定义，一元二次方程的解法，求函数值
【点评】
本题属于二次函数概念的基础考查题，解题的关键是熟记二次函数的判定条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，导致多算错误解$k=1$，掌握二次函数的基本定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7