1.下列函数中，y是x的二次函数的是().

A.$y=3x$
B.$y=x^2 - 3$
C.$y=2x + 1$
D.$y=\frac{1}{x}$

1.B

【分析】
要判断一个函数是不是二次函数，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项的系数不等于0。解题时我们只需要对照这三个标准逐一分析每个选项的函数类型，就能选出正确答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一判断：
A选项：$y=3x$中x的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：$y=x^2-3$，符合二次函数的形式，其中$a=1≠0$，最高次数为2，表达式是整式，符合二次函数定义；
C选项：$y=2x+1$中x的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
D选项：$y=\frac{1}{x}$的表达式是分式，属于反比例函数，x的次数为-1，不符合二次函数定义，排除。
综上，正确选项是B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的概念
2.一次函数的概念
3.反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查不同类型初等函数的定义区分，解题的关键是牢记二次函数的三个判定特征，熟练掌握各类常见函数的表达式形式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2.函数$y=x^{m+1}$是y关于x的二次函数，则m的值为（）.

A.－1
B.0
C.1
D.2

2.C

【分析】
要解决这道题，首先明确考点是二次函数的定义，我们可以按照以下思路思考：第一步，回忆二次函数的核心要求：一是自变量x的最高次数为2，二是最高次项的系数不能为0；第二步，观察题目给出的函数$y=x^{m+1}$，它的最高次项系数是1，天然满足不为0的条件，因此只需要让x的次数等于2即可列方程求解m的值。
【解析】
根据二次函数的定义，y关于x的二次函数需满足自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0。
已知函数$y=x^{m+1}$的二次项系数为$1≠0$，因此只需满足x的次数为2，可列方程：
$m+1=2$
解得：$m=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念、一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记二次函数的两个判定条件，就能快速列式求解，是二次函数章节的入门级题型。
【难度系数】
0.9

3.在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆，剩下圆环的面积为y cm²，则y关于x的函数解析式为().

A.$y=π x^2 -4$
B.$y=π(2-x)^2$
C.$y=-x^2 +4$
D.$y=-π x^2 +16π$

3.D

【分析】
要解决这道题，首先明确圆环面积的计算逻辑：圆环面积等于外圆面积减去挖去的内圆面积。首先回忆圆的面积公式为$S=π r^2$，先分别计算出外圆和内圆的面积，再根据二者的差得到y与x的函数关系，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据圆的面积公式$S=π r^2$：
外圆半径为4cm，因此外圆面积为$S_{\mathrm{外}}=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$；
挖去的内圆半径为x cm，因此内圆面积为$S_{\mathrm{内}}=π x^2\ \mathrm{cm}^2$；
圆环面积等于外圆面积减内圆面积，即$y=S_{\mathrm{外}}-S_{\mathrm{内}}$，代入得：
$y=16π-π x^2=-π x^2+16π$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆环面积计算
2. 列函数关系式
3. 二次函数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查几何面积公式与函数解析式的结合应用，只要掌握圆的面积计算方法，理清圆环面积的推导逻辑，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

4.某厂今年1月份的研发资金为a元，若以后每月的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年3月份的研发资金y（单位：元）关于x的函数解析式为。

4.$y=a(1+x)^2$

【分析】
本题是增长率类的函数解析式求解问题，解题可按逐月推导的思路展开：首先回忆增长率的基本计算公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)；先根据1月份的研发资金求出2月份的资金，再以2月份的资金为基期，求出3月份的资金，整理后即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：已知1月份研发资金为a元，每月的研发资金增长率均为x。
1. 求2月份研发资金：2月份相对1月份增长x，因此2月份研发资金为 $ a(1+x) $ 元；
2. 求3月份研发资金：3月份相对2月份增长x，因此3月份研发资金 $ y = a(1+x) · (1+x) $；
整理后可得 $ y = a(1+x)^2 $。
【答案】
$ y=a(1+x)^2 $
【知识点】
增长率问题；列函数解析式；二次函数的概念
【点评】
本题属于基础应用题，核心是掌握连续增长率的计算逻辑，注意连续多月增长时要逐次乘以(1+增长率)，避免错误写成单利形式$ a(1+2x) $。
【难度系数】
0.8

5.已知$y$关于$x$的函数$y=(m-1)x^{m^2+1}+3x+3$.当$m=$时，此函数是二次函数.当$m=$时，此函数是一次函数.

5.－1 0或1

【分析】
本题需根据二次函数、一次函数的定义列条件求解。①求二次函数对应的m值：需满足x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解即可。②求一次函数对应的m值：需分两类讨论，第一类是二次项系数为0，此时函数直接变为一次函数；第二类是最高次项的次数为1，合并后x的系数不为0，两类情况分别求解后汇总结果即可。
【解析】
一、求函数为二次函数时m的值
根据二次函数的定义，需同时满足：
1. 自变量x的最高次数为2：$m^2+1=2$
2. 二次项系数不为0：$m-1≠0$
解$m^2+1=2$，得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$。
结合$m-1≠0$（即$m≠1$），得$m=-1$。
二、求函数为一次函数时m的值
分两种情况讨论：
1. 当$(m-1)x^{m^2+1}$项的系数为0时，即$m-1=0$，解得$m=1$。此时函数化简为$y=3x+3$，是一次函数，符合要求。
2. 当$(m-1)x^{m^2+1}$项的次数为1时，即$m^2+1=1$，解得$m=0$。此时函数化简为$y=-x+3x+3=2x+3$，是一次函数，符合要求。
综上，函数为一次函数时$m=0$或$1$。
【答案】
－1；0或1
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义；分类讨论
【点评】
本题属于函数定义的基础应用类题目，易错点是求解一次函数时容易遗漏$m=1$的情况，即忽略二次项系数为0时函数退化为一次函数的情况，解题时要全面考虑所有符合定义的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

6.已知$y$关于$x$的函数$y=(a-2)x^2 -2x +1$是二次函数，则$a$的取值范围是（）.

A.$a≠2$
B.$a≤3$
C.$a＜2$
D.$a＞2$

6.A

【分析】
要确定a的取值范围，首先回忆二次函数的定义：二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数），核心限制条件是二次项系数不能为0。本题中函数的二次项系数为$a-2$，因此只需令二次项系数不等于0，解对应的不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。
在函数$y=(a-2)x^2 -2x +1$中，二次项系数为$a-2$，因此有：
$a-2 ≠ 0$
解得：$a ≠ 2$
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是牢记二次函数中二次项系数不为0的限制条件，只要掌握二次函数的基本定义就能快速得分，属于送分类题目。
【难度系数】
0.9

7.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元.经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x(x≥50)元/件的关系如下表：
销售单价x/(元/件) … 55 60 70 75 …
一周的销售量y/件 … 400 300 250 …
设一周的销售利润为S元，则S关于x的函数解析式是。

7.$S=-10x^2+1400x-40000(x≥50)$

【分析】
首先观察表格数据，销售单价x每增加5元，销售量y就减少50件，可知y与x满足一次函数关系，因此第一步先设一次函数解析式求解y关于x的表达式；再根据“销售利润=单件利润×销售量”的等量关系，单件利润为(x-40)元，将y的表达式代入即可推导得到S关于x的函数解析式，注意保留题目给出的x≥50的取值范围。
【解析】
步骤1：求y与x的函数解析式
设y与x的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠ 0$），选取表格中两组数据$\{\begin{array}{l}x=60,y=400\\x=70,y=300\end{array} $代入得：
$\begin{cases}60k + b = 400 \\70k + b = 300 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$10k=-100$，解得$k=-10$
将$k=-10$代入$60k + b = 400$，得：$-600 + b = 400$，解得$b=1000$
验证：将$x=55$代入$y=-10x+1000$得$y=450$，将$x=75$代入得$y=250$，均符合表格数据，因此$y=-10x+1000$（$x≥50$）。
步骤2：推导S关于x的函数解析式
单件商品利润为$(x-40)$元，一周销售量为y件，因此销售利润：
$S=(x-40)y$
将$y=-10x+1000$代入得：
$\begin{aligned}S&=(x-40)(-10x+1000)\\&=-10x^2 +1000x +400x -40000\\&=-10x^2 +1400x -40000\end{aligned}$
结合x的取值范围，最终解析式为$S=-10x^2+1400x-40000(x≥50)$。
【答案】
$S=-10x^2+1400x-40000(x≥50)$
【知识点】
一次函数解析式求解；销售利润计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是函数在销售问题中的典型应用，需要先通过表格数据判断函数类型求解销售量的表达式，再结合利润公式得到目标二次函数，解题时要注意自变量的取值范围不要遗漏。
【难度系数】
0.7

8.已知$y=(k-1)x^{k^2 -3k +4}+2x -1$是y关于x的二次函数.
(1)求k的值.
(2)求当$x=0.5$时y的值.

8.(1)由题意得$k^2 -3k +4=2$,解得$k_1=1,k_2=2$,$\because k-1≠0$,$\therefore k=2$.
(2)把$k=2$代入函数解析式得$y=x^2+2x-1$,当$x=0.5$时,$y=(\dfrac{1}{2})^2+2×\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{1}{4}$.

【分析】
（1）要确定k的值，需结合二次函数的定义思考：二次函数需满足两个核心条件，一是含x的最高次项的次数为2，二是二次项的系数不等于0。据此先列关于k的方程求出k的可能取值，再根据二次项系数不为0的限制排除不符合的解即可。（2）求x=0.5时的y值，只需先将求得的k值代入原解析式得到具体的二次函数，再把x=0.5代入解析式计算即可。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，函数最高次项次数为2，且二次项系数不为0，可得：
$\begin{cases}k^2 -3k +4=2 \\ k-1 ≠ 0 \end{cases}$
解方程$k^2 -3k +4=2$，移项得$k^2 -3k +2=0$，因式分解得$(k-1)(k-2)=0$，解得$k_1=1$，$k_2=2$。
又因为$k-1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$，因此$k=2$。
(2) 将$k=2$代入原函数解析式，得：
$y=(2-1)x^2 +2x -1 = x^2 +2x -1$
把$x=0.5$代入上述解析式：
$y=(0.5)^2 + 2 × 0.5 -1 = 0.25 +1 -1 = \dfrac{1}{4}$
【答案】
(1) $k=2$；(2) $y=\dfrac{1}{4}$
【知识点】
1. 二次函数的概念 2. 一元二次方程的解法 3. 函数值的计算
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的定义，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制，导致误将k=1计入结果，计算函数值时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8