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10. 计算：$(-370)×(-\dfrac{1}{4})+0.25×24.5+5\dfrac{1}{2}×(-25\%).$
答案
10. 97.25
解析
【分析】
观察算式可发现，三个乘法项中都包含与0.25相等的因数（$-\frac{1}{4}$、0.25、-25%都可转化为0.25相关形式），因此可以先统一所有数的表现形式，再逆用乘法分配律提取公因数0.25简化计算，避免逐个计算的繁琐和失误。解题时先处理符号、统一数的形式，再提取公因数计算括号内的结果，最后相乘得到最终答案。
【解析】
先对算式进行符号化简和形式统一，再逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}&(-370)×(-\dfrac{1}{4})+0.25×24.5+5\dfrac{1}{2}×(-25\%)\\=&370×0.25 + 0.25×24.5 + 5.5×(-0.25)\\=&0.25×370 + 0.25×24.5 - 0.25×5.5\\=&0.25×(370 + 24.5 - 5.5)\\=&0.25×(370 + 19)\\=&0.25×389\\=&97.25\end{aligned}$
【答案】
97.25
【知识点】
有理数乘法，乘法分配律，分数小数百分数互化
【点评】
本题是有理数混合运算的典型题型，解题核心是观察到算式中的公共因数，通过统一数的形式后运用运算律简化计算，比按运算顺序逐个计算效率更高，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
观察算式可发现，三个乘法项中都包含与0.25相等的因数（$-\frac{1}{4}$、0.25、-25%都可转化为0.25相关形式），因此可以先统一所有数的表现形式，再逆用乘法分配律提取公因数0.25简化计算，避免逐个计算的繁琐和失误。解题时先处理符号、统一数的形式，再提取公因数计算括号内的结果，最后相乘得到最终答案。
【解析】
先对算式进行符号化简和形式统一，再逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}&(-370)×(-\dfrac{1}{4})+0.25×24.5+5\dfrac{1}{2}×(-25\%)\\=&370×0.25 + 0.25×24.5 + 5.5×(-0.25)\\=&0.25×370 + 0.25×24.5 - 0.25×5.5\\=&0.25×(370 + 24.5 - 5.5)\\=&0.25×(370 + 19)\\=&0.25×389\\=&97.25\end{aligned}$
【答案】
97.25
【知识点】
有理数乘法，乘法分配律，分数小数百分数互化
【点评】
本题是有理数混合运算的典型题型，解题核心是观察到算式中的公共因数，通过统一数的形式后运用运算律简化计算，比按运算顺序逐个计算效率更高，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 小亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖，下表是上周送出的20筐菜的质量记录，每筐以25 kg为标准质量，求上周送出20筐新鲜蔬菜的总质量.
答案
11. 501.3 kg
解析
【分析】
要求20筐蔬菜的总质量，可分两步计算：首先计算20筐蔬菜的标准总质量，即每筐按25kg计算的总质量；再计算所有筐和标准质量的总偏差，用每类偏差乘对应的筐数后求和；最后将标准总质量和总偏差相加，即可得到实际总质量。
【解析】
第一步：计算20筐蔬菜的标准总质量
$20×25=500\ \mathrm{kg}$
第二步：计算20筐蔬菜与标准质量的总偏差
$2×(-0.8)+5×(+0.6)+3×(-0.5)+4×(+0.4)+2×(+0.5)+4×(-0.3)$
$=-1.6+3-1.5+1.6+1-1.2$
$=1.3\ \mathrm{kg}$
第三步：计算实际总质量
实际总质量=标准总质量+总偏差，即$500+1.3=501.3\ \mathrm{kg}$
【答案】
501.3 kg
【知识点】
正负数的实际意义、有理数的乘法、有理数加减运算
【点评】
本题结合生活场景考查正负数的实际应用，解题的关键是理解偏差值正负的含义，计算过程中注意符号和运算顺序，仔细运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要求20筐蔬菜的总质量，可分两步计算：首先计算20筐蔬菜的标准总质量，即每筐按25kg计算的总质量；再计算所有筐和标准质量的总偏差，用每类偏差乘对应的筐数后求和；最后将标准总质量和总偏差相加，即可得到实际总质量。
【解析】
第一步：计算20筐蔬菜的标准总质量
$20×25=500\ \mathrm{kg}$
第二步：计算20筐蔬菜与标准质量的总偏差
$2×(-0.8)+5×(+0.6)+3×(-0.5)+4×(+0.4)+2×(+0.5)+4×(-0.3)$
$=-1.6+3-1.5+1.6+1-1.2$
$=1.3\ \mathrm{kg}$
第三步：计算实际总质量
实际总质量=标准总质量+总偏差，即$500+1.3=501.3\ \mathrm{kg}$
【答案】
501.3 kg
【知识点】
正负数的实际意义、有理数的乘法、有理数加减运算
【点评】
本题结合生活场景考查正负数的实际应用，解题的关键是理解偏差值正负的含义，计算过程中注意符号和运算顺序，仔细运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
12. 在1，-2，3，-4，-5中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b.
（1）求ab的值；
（2）若|x−a|+|y+b|=0，求(−x−y)⋅y的值.
（1）求ab的值；
（2）若|x−a|+|y+b|=0，求(−x−y)⋅y的值.
答案
12. (1) 由题意,得$a=(-4)×(-5)=20,b=3×(-5)=-15$,所以$ab=20×(-15)=-300$.
(2) 由题意,得$|x-20|+|y-15|=0$,则$x-20=0$且$y-15=0$,解得$x=20,y=15$,$\therefore(-x-y)· y=(-20-15)×15=-35×15=-525$.
(2) 由题意,得$|x-20|+|y-15|=0$,则$x-20=0$且$y-15=0$,解得$x=20,y=15$,$\therefore(-x-y)· y=(-20-15)×15=-35×15=-525$.
解析
【分析】
（1）求解第一问的核心是结合有理数乘法法则确定最大积a和最小积b：根据“同号得正，异号得负，正数大于负数”的规律，最大积一定是同号两数相乘的结果，计算所有同号两数的乘积后取最大值即为a；最小积是异号两数相乘的负结果，取绝对值最大的异号乘积即为b，再计算ab的数值即可。（2）求解第二问需利用绝对值的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y的取值，再代入代数式计算结果。
【解析】
（1）解：根据有理数乘法规则，计算所有同号两数的乘积：正数相乘得$1×3=3$，负数相乘得$(-4)×(-5)=20$，因为$20＞3$，所以最大的积$a=20$；
计算异号两数的乘积，其中绝对值最大的负乘积为$3×(-5)=-15$，所以最小的积$b=-15$；
因此$ab=20×(-15)=-300$。
（2）解：将$a=20$，$b=-15$代入$|x−a|+|y+b|=0$，可得$|x-20|+|y-15|=0$；
由绝对值的非负性可知$|x-20|≥0$，$|y-15|≥0$，若两者和为0，则$x-20=0$且$y-15=0$，解得$x=20$，$y=15$；
将$x=20$，$y=15$代入$(-x-y)·y$得：$(-20-15)×15=-35×15=-525$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-300}$；（2）$\boldsymbol{-525}$
【知识点】
有理数的乘法运算；绝对值的非负性
【点评】
本题综合考查有理数乘法的性质和绝对值非负性的应用，解题关键是结合乘法法则正确确定最大积与最小积，再利用非负性求解未知数后代入计算，是有理数运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问的核心是结合有理数乘法法则确定最大积a和最小积b：根据“同号得正，异号得负，正数大于负数”的规律，最大积一定是同号两数相乘的结果，计算所有同号两数的乘积后取最大值即为a；最小积是异号两数相乘的负结果，取绝对值最大的异号乘积即为b，再计算ab的数值即可。（2）求解第二问需利用绝对值的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y的取值，再代入代数式计算结果。
【解析】
（1）解：根据有理数乘法规则，计算所有同号两数的乘积：正数相乘得$1×3=3$，负数相乘得$(-4)×(-5)=20$，因为$20＞3$，所以最大的积$a=20$；
计算异号两数的乘积，其中绝对值最大的负乘积为$3×(-5)=-15$，所以最小的积$b=-15$；
因此$ab=20×(-15)=-300$。
（2）解：将$a=20$，$b=-15$代入$|x−a|+|y+b|=0$，可得$|x-20|+|y-15|=0$；
由绝对值的非负性可知$|x-20|≥0$，$|y-15|≥0$，若两者和为0，则$x-20=0$且$y-15=0$，解得$x=20$，$y=15$；
将$x=20$，$y=15$代入$(-x-y)·y$得：$(-20-15)×15=-35×15=-525$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-300}$；（2）$\boldsymbol{-525}$
【知识点】
有理数的乘法运算；绝对值的非负性
【点评】
本题综合考查有理数乘法的性质和绝对值非负性的应用，解题关键是结合乘法法则正确确定最大积与最小积，再利用非负性求解未知数后代入计算，是有理数运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 我们知道：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$，试根据上面规律，解答下列问题：
（1）计算：$(\frac{1}{2}-1)×(\frac{1}{3}-1)×(\frac{1}{4}-1)×…×(\frac{1}{100}-1)$；
（2）一根长2022 m的铁丝第一次用去它的$\frac{1}{2}$，第二次用去余下的$\frac{1}{3}$，第三次用去余下的$\frac{1}{4}$，第四次用去余下的$\frac{1}{5}$，以此类推，直到用去余下的$\frac{1}{2022}$，最后这根铁丝还剩多长？
（1）计算：$(\frac{1}{2}-1)×(\frac{1}{3}-1)×(\frac{1}{4}-1)×…×(\frac{1}{100}-1)$；
（2）一根长2022 m的铁丝第一次用去它的$\frac{1}{2}$，第二次用去余下的$\frac{1}{3}$，第三次用去余下的$\frac{1}{4}$，第四次用去余下的$\frac{1}{5}$，以此类推，直到用去余下的$\frac{1}{2022}$，最后这根铁丝还剩多长？
答案
13. (1) $-\dfrac{1}{100}$
(2) 1 m
(2) 1 m
解析
【分析】
（1）先计算每个小括号内的减法，得到多个负分数连乘的形式，先根据负因数的个数判断乘积的符号，再利用题目给出的分数连乘约分的规律计算绝对值即可；
（2）先根据“每次用去余下的几分之几，则剩余的是原来的1减几分之几”，列出剩余长度的算式，再利用题目给出的连乘约分规律计算即可。
【解析】
（1）先计算每个括号内的结果：
$(\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{2}$，$(\frac{1}{3}-1)=-\frac{2}{3}$，$(\frac{1}{4}-1)=-\frac{3}{4}$，……，$(\frac{1}{100}-1)=-\frac{99}{100}$
原式=$(-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{4})×…×(-\frac{99}{100})$
观察可知共有99个负因数，99是奇数，因此乘积为负，再计算绝对值部分的约分：
$= - (\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{99}{100})$
根据题目给出的规律，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×…×\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$，此处n=99，因此绝对值部分结果为$\frac{1}{100}$
即原式=$-\frac{1}{100}$
（2）根据题意，每次用去余下的$\frac{1}{k}$，则剩余的是上次余下的$1-\frac{1}{k}=\frac{k-1}{k}$，因此最后剩余的长度为：
$2022×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{2022})$
$=2022×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{2021}{2022}$
根据规律，分数连乘约分后得$\frac{1}{2022}$，因此：
$=2022×\frac{1}{2022}=1\ \mathrm{(m)}$
【答案】
（1）$-\dfrac{1}{100}$；（2）$1\ \mathrm{m}$
【知识点】
有理数乘法运算，分数连乘约分，规律探究应用
【点评】
本题侧重考查对已知规律的迁移运用能力，解题的核心是将所求算式转化为符合给定规律的连乘形式，计算时要注意有理数乘法中负因数个数对最终符号的影响，整体计算量小，掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
（1）先计算每个小括号内的减法，得到多个负分数连乘的形式，先根据负因数的个数判断乘积的符号，再利用题目给出的分数连乘约分的规律计算绝对值即可；
（2）先根据“每次用去余下的几分之几，则剩余的是原来的1减几分之几”，列出剩余长度的算式，再利用题目给出的连乘约分规律计算即可。
【解析】
（1）先计算每个括号内的结果：
$(\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{2}$，$(\frac{1}{3}-1)=-\frac{2}{3}$，$(\frac{1}{4}-1)=-\frac{3}{4}$，……，$(\frac{1}{100}-1)=-\frac{99}{100}$
原式=$(-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{4})×…×(-\frac{99}{100})$
观察可知共有99个负因数，99是奇数，因此乘积为负，再计算绝对值部分的约分：
$= - (\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{99}{100})$
根据题目给出的规律，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×…×\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$，此处n=99，因此绝对值部分结果为$\frac{1}{100}$
即原式=$-\frac{1}{100}$
（2）根据题意，每次用去余下的$\frac{1}{k}$，则剩余的是上次余下的$1-\frac{1}{k}=\frac{k-1}{k}$，因此最后剩余的长度为：
$2022×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{2022})$
$=2022×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{2021}{2022}$
根据规律，分数连乘约分后得$\frac{1}{2022}$，因此：
$=2022×\frac{1}{2022}=1\ \mathrm{(m)}$
【答案】
（1）$-\dfrac{1}{100}$；（2）$1\ \mathrm{m}$
【知识点】
有理数乘法运算，分数连乘约分，规律探究应用
【点评】
本题侧重考查对已知规律的迁移运用能力，解题的核心是将所求算式转化为符合给定规律的连乘形式，计算时要注意有理数乘法中负因数个数对最终符号的影响，整体计算量小，掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
