1. (2026·宁波模拟)如图,在平面直角坐标系中,线段$A'B'$与线段$AB$是位似图形,位似中心为点$O$.已知点$A'(2,3)$,$\frac{OA'}{OA}=\frac{2}{3}$.则点$A'$的对应点$A$的坐标是 ()

A.$(3,\frac{9}{2})$
B.$(6,9)$
C.$(4,9)$
D.$(\frac{9}{2},\frac{27}{4})$

1. A 解析:
∵ 点$A'(2,3)$,$\frac{OA'}{OA}=\frac{2}{3}$,且线段$A'B'$与线段$AB$是位似图形,
∴ $A(2×\frac{3}{2},3×\frac{3}{2})$,即 $A(3,\frac{9}{2})$.

【分析】
本题考查原点为位似中心的位似变换的坐标计算，解题思路如下：首先明确位似中心是坐标原点O，位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比，已知$\frac{OA'}{OA}=\frac{2}{3}$，说明点A的横、纵坐标分别是点$A'$横、纵坐标的$\frac{3}{2}$倍，代入$A'$的坐标计算即可得到A的坐标。
【解析】
∵线段$A'B'$和线段$AB$的位似中心为原点$O$，点$A$和点$A'$是位似对应点，且$\frac{OA'}{OA}=\frac{2}{3}$，
∴当位似中心为原点时，位似对应点的坐标比等于位似比，因此点$A$的横、纵坐标分别为点$A'$横、纵坐标的$\frac{3}{2}$，
已知$A'(2,3)$，则$A$的横坐标为$2×\frac{3}{2}=3$，纵坐标为$3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，
即$A$的坐标为$(3,\frac{9}{2})$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确位似比的对应关系，不要混淆两个对应点的先后顺序，熟练掌握原点为位似中心时的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B的坐标分别为$(-3,1),(-1,4)$.以点O为位似中心,在原点的另一侧按$2:1$的相似比将$△ OAB$缩小,则点A的对应点$A'$的坐标是 ()

A.$(-3,1)$
B.$(-\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2})$
C.$(3,1)$
D.$(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2})$

2. D 解析:以点$O$为位似中心,在原点的另一侧按$2:1$的相似比将$△ OAB$缩小,将$A(-3,1)$的横、纵坐标先缩小为原来的$\frac{1}{2}$为$(-3×\frac{1}{2},1×\frac{1}{2})$,即 $(-\frac{3}{2},\frac{1}{2})$,再变为相反数得$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$.故选 D.

【分析】
解决这道题首先要明确原点为位似中心时的位似变换坐标变化规律：首先看相似比，若按n:1缩小，则对应点坐标的绝对值变为原来的$\frac{1}{n}$；其次看位似图形的位置，若与原图形在原点同侧，坐标符号和原坐标一致，若在异侧，坐标符号与原坐标相反。本题中已知位似中心为原点，在原点另一侧按2:1缩小，只需要将A点的横纵坐标先乘$\frac{1}{2}$，再改变符号即可得到A'的坐标。
【解析】
已知位似中心为原点O，要在原点另一侧按2:1的相似比将$△ OAB$缩小：
第一步，先将点$A(-3,1)$的横、纵坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$，可得$(-3×\frac{1}{2},1×\frac{1}{2})$，即$(-\frac{3}{2},\frac{1}{2})$；
第二步，因为所得图形在原点的另一侧，所以将上述坐标的横、纵坐标都变为相反数，可得$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$，即点A的对应点$A'$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似变换的坐标规律，位似的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题的关键点是准确把握相似比的大小以及位似图形与原图形的位置关系，避免出现比例计算错误或符号错误。
【难度系数】
0.7

3. 在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知每个小正方形的边长都是1,△ABC与△A'B'C'的顶点都在正方形网格的格点上,且△ABC与△A'B'C'为位似图形,则位似中心的坐标为.

3. (-4,-3) 解析:如图,连接$A'A,B'B$并延长交于一点$P$,点$P$即为所求.由网格图可知,点$P$的坐标为$(-4,-3)$.故答案为$(-4,-3)$.

【分析】
要确定位似图形的位似中心，首先回忆位似图形的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都会交于同一个点，这个公共交点就是位似中心。因此解题时先找到两组对应顶点，分别连接并延长这两组对应点的连线，得到的交点就是位似中心，最后结合平面直角坐标系的网格，读出交点的横、纵坐标即可。
【解析】
根据位似图形的性质，位似中心是各组对应顶点连线的公共交点，解题步骤如下：
1. 选取△ABC和△A'B'C'的两组对应点：点A与A'、点B与B'；
2. 分别连接AA'、BB'并延长，两条延长线的交点即为位似中心P；
3. 结合网格（每个小正方形边长为1）读取坐标：点P位于x轴负方向4个单位，y轴负方向3个单位，因此坐标为$\boldsymbol{(-4,-3)}$。
【答案】
$(-4,-3)$
【知识点】
位似图形的性质，坐标读取，位似中心的确定
【点评】
本题是基础类题目，核心考查位似中心的确定方法，解题关键是熟练掌握位似图形对应点连线均过位似中心的性质，读取坐标时注意区分横纵坐标的正负即可。
【难度系数】
0.8

4. ★★ (黔西南州中考)如图,在平面直角坐标系中,△OAB与△OCD位似,位似中心是坐标原点O,若点A(4,0),点C(2,0),则△OAB与△OCD周长的比值是。

4. 2 解析:
∵ $△ OAB$ 与 $△ OCD$ 位似,位似中心是坐标原点$O$,点$A(4,0)$,点$C(2,0)$,$\therefore OA=4,OC=2$,$\therefore △ OAB$ 与 $△ OCD$ 的相似比为 $4:2=2:1$,$\therefore △ OAB$ 与 $△ OCD$ 周长的比值为 2.故答案为 2.

【分析】
解决本题首先要明确位似图形本质是特殊的相似图形，周长比等于相似比。第一步先找两个位似三角形的对应边：位似中心为原点，点A和点C是对应顶点，因此OA、OC是一组对应边；第二步根据A、C的坐标计算OA、OC的长度，得到两个三角形的相似比；第三步结合相似图形周长比等于相似比的性质，即可求出周长的比值。
【解析】
解：
∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，
∴△OAB∽△OCD，相似比等于对应边OA与OC的比值。
∵点A(4,0)，点C(2,0)，
∴OA=4，OC=2，
∴△OAB与△OCD的相似比为$OA:OC=4:2=2:1$。
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△OAB与△OCD周长的比值为2。
【答案】
2
【知识点】
位似的性质、相似图形周长比规律、坐标求线段长度
【点评】
本题考查位似与相似的基础性质，解题核心是明确位似属于特殊的相似，对应边的比、周长比都等于相似比，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. ★★★ 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(5,-1),C(5,3).

(1)点B关于原点对称的点的坐标为；
(2)请以原点O为位似中心,在y轴左侧画一个△A₁B₁C₁,使△A₁B₁C₁与△ABC位似,且相似比为2,点A,B,C的对应点分别为A₁,B₁,C₁.

5. (1)$(-5,1)$ 解析:
∵ $B(5,-1)$,$\therefore$ 点 $B$ 关于原点对称的点的坐标为$(-5,1)$.故答案为$(-5,1)$.
(2)如图所示,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求.

【分析】
(1) 解决第一问需回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，直接代入B点坐标计算即可。
(2) 解决第二问首先明确位似变换的坐标规律：以原点为位似中心的位似变换，相似比为k时，对应点的坐标为原坐标的k倍或-k倍；本题要求位似图形在y轴左侧，因此对应点坐标为原坐标乘以-2，算出各对应点坐标后描点连线即可完成作图。
【解析】
(1) 已知点B的坐标为(5,-1)，根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，可得点B关于原点对称的点的横坐标为-5，纵坐标为-(-1)=1，即坐标为(-5,1)。
(2) 因为△A₁B₁C₁与△ABC以原点O为位似中心，相似比为2，且位于y轴左侧，所以各对应点坐标为原坐标乘-2：
A(2,2)的对应点A₁坐标为(2×(-2), 2×(-2))=(-4,-4)，
B(5,-1)的对应点B₁坐标为(5×(-2), -1×(-2))=(-10,2)，
C(5,3)的对应点C₁坐标为(5×(-2), 3×(-2))=(-10,-6)，
在平面直角坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接三点，所得△A₁B₁C₁即为所求。
【答案】
(1) $(-5,1)$
(2)
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题考查点的对称坐标规律和位似变换的作图，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握位似变换时对应点的坐标变化规律，作图时注意位似图形的位置要求。
【难度系数】
0.7