登录
5. 手影游戏利用的物理原理:光沿直线传播.在一次手影游戏中,小明距离墙壁1米,爸爸拿着的光源与小明的距离为4米,在小明不动的情况下,要使小狗手影的高度增加一倍,则光源与小明的距离应减少
$\frac{10}{3}$
米.答案
5.$\frac{10}{3}$
解析
【分析】
本题是中心投影类应用题，核心利用光沿直线传播形成的相似三角形对应边成比例求解。首先明确初始的距离关系：初始光源到小明距离4m，小明到墙距离1m，因此光源到墙总距离为5m。第一步先设手高为h、初始影高为H，通过相似三角形比例式得到h与H的关系；第二步设调整后光源到小明的距离为x，结合影高变为原来2倍的条件，再次列相似三角形比例式，求解x后用初始距离减去x即可得到需要减少的距离。
【解析】
解：设小明手的高度为$h$，初始手影高度为$H$。
初始状态下，光源到小明的距离为$4\mathrm{m}$，小明到墙的距离为$1\mathrm{m}$，因此光源到墙的总距离为$4+1=5\mathrm{m}$。
由中心投影的相似三角形性质，对应边成比例可得：
$\frac{h}{H}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$
解得$H=\frac{5h}{4}$。
若手影高度增加一倍，则新的影高$H'=2H=2×\frac{5h}{4}=\frac{5h}{2}$。
设调整后光源与小明的距离为$x\mathrm{m}$，此时光源到墙的距离为$(x+1)\mathrm{m}$，再次由相似三角形性质得：
$\frac{h}{H'}=\frac{x}{x+1}$
将$H'=\frac{5h}{2}$代入上式，化简得：
$\frac{2}{5}=\frac{x}{x+1}$
交叉相乘求解：$2(x+1)=5x$，即$2x+2=5x$，解得$x=\frac{2}{3}$。
因此光源与小明的距离应减少$4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
中心投影；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中常见的手影游戏考查物理原理对应的数学规律，解题关键是准确找到相似三角形对应的边的比例关系，注意区分光源到物体、光源到墙面的距离，不要混淆对应量。
【难度系数】
0.6
本题是中心投影类应用题，核心利用光沿直线传播形成的相似三角形对应边成比例求解。首先明确初始的距离关系：初始光源到小明距离4m，小明到墙距离1m，因此光源到墙总距离为5m。第一步先设手高为h、初始影高为H，通过相似三角形比例式得到h与H的关系；第二步设调整后光源到小明的距离为x，结合影高变为原来2倍的条件，再次列相似三角形比例式，求解x后用初始距离减去x即可得到需要减少的距离。
【解析】
解：设小明手的高度为$h$，初始手影高度为$H$。
初始状态下，光源到小明的距离为$4\mathrm{m}$，小明到墙的距离为$1\mathrm{m}$，因此光源到墙的总距离为$4+1=5\mathrm{m}$。
由中心投影的相似三角形性质，对应边成比例可得：
$\frac{h}{H}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$
解得$H=\frac{5h}{4}$。
若手影高度增加一倍，则新的影高$H'=2H=2×\frac{5h}{4}=\frac{5h}{2}$。
设调整后光源与小明的距离为$x\mathrm{m}$，此时光源到墙的距离为$(x+1)\mathrm{m}$，再次由相似三角形性质得：
$\frac{h}{H'}=\frac{x}{x+1}$
将$H'=\frac{5h}{2}$代入上式，化简得：
$\frac{2}{5}=\frac{x}{x+1}$
交叉相乘求解：$2(x+1)=5x$，即$2x+2=5x$，解得$x=\frac{2}{3}$。
因此光源与小明的距离应减少$4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
中心投影；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中常见的手影游戏考查物理原理对应的数学规律，解题关键是准确找到相似三角形对应的边的比例关系，注意区分光源到物体、光源到墙面的距离，不要混淆对应量。
【难度系数】
0.6
6.如图，小明家的客厅有一张高0.8米(即$BF=0.8$米)的圆桌，圆桌的直径$BC$为1米，点$A$处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为$D$、$E$，以$DE$所在直线为$x$轴，过点$A$且垂直于$x$轴的直线为$y$轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，$BC// DE$，$BF⊥ x$轴，$OA=2$米，点$D$的坐标为$(2,0)$，则点$E$的坐标是
$(\frac{11}{3},0)$
。答案
6.$(\frac{11}{3},0)$
解析
【分析】
解题思路：首先根据中心投影的性质，光源、物体上的点、对应影子上的点三点共线，可知A、B、D三点共线，A、C、E三点共线。第一步先利用A、D两点坐标求出直线AD的解析式，结合B点纵坐标为0.8求出B点横坐标；第二步根据BC平行于x轴且长度为1，求出C点坐标；第三步求出直线AC的解析式，令y=0即可求得E点的横坐标，得到E点坐标。也可利用相似三角形的性质，通过对应边成比例求解DE长度，进而得到E点坐标。
【解析】
解：由题意得A点坐标为$(0,2)$，已知$D(2,0)$。
1. 求直线AD的解析式：
设直线AD的解析式为$y=kx+b$，将$A(0,2)$、$D(2,0)$代入得：
$\begin{cases}b=2 \\2k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\b=2 \end{cases}$
即直线AD解析式为$y=-x+2$。
2. 求B点坐标：
因为$BF=0.8$，$BF⊥ x$轴，所以B点纵坐标为$0.8$，将$y=0.8$代入$y=-x+2$得：
$0.8=-x+2$，解得$x=1.2$，即$B(1.2,0.8)$。
3. 求C点坐标：
因为$BC=1$，$BC// DE$（x轴），所以C点纵坐标为$0.8$，横坐标为$1.2+1=2.2$，即$C(2.2,0.8)$。
4. 求直线AC的解析式及E点坐标：
设直线AC的解析式为$y=mx+n$，将$A(0,2)$、$C(2.2,0.8)$代入得：
$\begin{cases}n=2 \\2.2m+n=0.8 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\frac{6}{11} \\n=2 \end{cases}$
即直线AC解析式为$y=-\frac{6}{11}x+2$。
令$y=0$，得$0=-\frac{6}{11}x+2$，解得$x=\frac{11}{3}$，所以E点坐标为$(\frac{11}{3},0)$。
【答案】
$(\frac{11}{3},0)$
【知识点】
中心投影，一次函数的应用，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查中心投影的性质与平面直角坐标系的综合运用，解题核心是抓住“光源、物体顶点、对应影子顶点三点共线”的特点，也可通过平行线构造相似三角形求解，侧重考查学生对知识的迁移应用和计算能力。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先根据中心投影的性质，光源、物体上的点、对应影子上的点三点共线，可知A、B、D三点共线，A、C、E三点共线。第一步先利用A、D两点坐标求出直线AD的解析式，结合B点纵坐标为0.8求出B点横坐标；第二步根据BC平行于x轴且长度为1，求出C点坐标；第三步求出直线AC的解析式，令y=0即可求得E点的横坐标，得到E点坐标。也可利用相似三角形的性质，通过对应边成比例求解DE长度，进而得到E点坐标。
【解析】
解：由题意得A点坐标为$(0,2)$，已知$D(2,0)$。
1. 求直线AD的解析式：
设直线AD的解析式为$y=kx+b$，将$A(0,2)$、$D(2,0)$代入得：
$\begin{cases}b=2 \\2k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\b=2 \end{cases}$
即直线AD解析式为$y=-x+2$。
2. 求B点坐标：
因为$BF=0.8$，$BF⊥ x$轴，所以B点纵坐标为$0.8$，将$y=0.8$代入$y=-x+2$得：
$0.8=-x+2$，解得$x=1.2$，即$B(1.2,0.8)$。
3. 求C点坐标：
因为$BC=1$，$BC// DE$（x轴），所以C点纵坐标为$0.8$，横坐标为$1.2+1=2.2$，即$C(2.2,0.8)$。
4. 求直线AC的解析式及E点坐标：
设直线AC的解析式为$y=mx+n$，将$A(0,2)$、$C(2.2,0.8)$代入得：
$\begin{cases}n=2 \\2.2m+n=0.8 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\frac{6}{11} \\n=2 \end{cases}$
即直线AC解析式为$y=-\frac{6}{11}x+2$。
令$y=0$，得$0=-\frac{6}{11}x+2$，解得$x=\frac{11}{3}$，所以E点坐标为$(\frac{11}{3},0)$。
【答案】
$(\frac{11}{3},0)$
【知识点】
中心投影，一次函数的应用，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查中心投影的性质与平面直角坐标系的综合运用，解题核心是抓住“光源、物体顶点、对应影子顶点三点共线”的特点，也可通过平行线构造相似三角形求解，侧重考查学生对知识的迁移应用和计算能力。
【难度系数】
0.6
7 如图，AB是公园的一个圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子，CD表示一个圆形的凳子.
(1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ；(要求保留作图痕迹，光线用虚线表示)
(2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2 m，测得影子的最大跨度MN为2 m，求路灯O与地面的距离.
(1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ；(要求保留作图痕迹，光线用虚线表示)
(2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2 m，测得影子的最大跨度MN为2 m，求路灯O与地面的距离.
答案
7.解:(1)如图,分别延长 MA、NB,它们的交点为 O点,再连接 OC、OD 并延长交地面于 P、Q,则 PQ为 CD 的影子,所以点 O 和 PQ 即为所求.
(2)如图,作 $OF ⊥ MN$ 交 AB 于点 E,
由题知 $AB=1.2\ \mathrm{m},EF=1.2\ \mathrm{m},MN=2\ \mathrm{m}.$
$\because AB// MN,\therefore △ OAB ∽ △ OMN,$
$\therefore AB:MN=OE:OF,\mathrm{即 }1.2:2=(OF-1.2):OF,\mathrm{解得 }OF=3\ \mathrm{m}.$
答:路灯 O 与地面的距离为 3 m.
解析
【分析】
(1) 中心投影的光源是所有投影光线的公共交点，因此延长桌面两端与其影子两端的连线MA、NB，交点就是路灯O的位置；再连接O与凳子两端C、D并延长，与地面所在直线的交点就是凳子影子的端点P、Q，PQ即为CD的影子。
(2) 求路灯到地面的距离可通过构造相似三角形求解：过O作OF垂直MN交AB于E，由AB平行于MN可证△OAB与△OMN相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列方程，即可解得路灯到地面的距离。
【解析】
(1) 作图步骤：①分别延长MA、NB，两条延长线的交点即为路灯O；②连接OC、OD并延长，交MN所在直线于点P、Q，PQ即为CD的影子，光线保留虚线作图痕迹即可。
(2) 过点O作$OF ⊥ MN$，垂足为F，OF交AB于点E。
由题意得：$AB=1.2\ \mathrm{m}$，桌面与地面的距离$EF=1.2\ \mathrm{m}$，影子最大跨度$MN=2\ \mathrm{m}$，OF就是路灯O到地面的距离。
$\because AB// MN$，$\therefore ∠ OAB=∠ OMN$，$∠ OBA=∠ ONM$，$\therefore △ OAB ∽ △ OMN$。
根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，可得$\frac{AB}{MN}=\frac{OE}{OF}$。
其中$OE=OF-EF=OF-1.2$，代入数值得：$\frac{1.2}{2}=\frac{OF-1.2}{OF}$。
解方程：$1.2OF=2(OF-1.2)$，整理得$0.8OF=2.4$，解得$OF=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 如图,分别延长 MA、NB,它们的交点为 O点,再连接 OC、OD 并延长交地面于 P、Q,则 PQ为 CD 的影子,所以点 O 和 PQ 即为所求。
(2) 路灯O与地面的距离为3 m。
【知识点】
中心投影作图；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，同时考查了中心投影的作图方法和相似三角形的实际应用，既锻炼了动手作图能力，也强化了利用几何知识解决实际问题的思维，是投影与相似结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 中心投影的光源是所有投影光线的公共交点，因此延长桌面两端与其影子两端的连线MA、NB，交点就是路灯O的位置；再连接O与凳子两端C、D并延长，与地面所在直线的交点就是凳子影子的端点P、Q，PQ即为CD的影子。
(2) 求路灯到地面的距离可通过构造相似三角形求解：过O作OF垂直MN交AB于E，由AB平行于MN可证△OAB与△OMN相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列方程，即可解得路灯到地面的距离。
【解析】
(1) 作图步骤：①分别延长MA、NB，两条延长线的交点即为路灯O；②连接OC、OD并延长，交MN所在直线于点P、Q，PQ即为CD的影子，光线保留虚线作图痕迹即可。
(2) 过点O作$OF ⊥ MN$，垂足为F，OF交AB于点E。
由题意得：$AB=1.2\ \mathrm{m}$，桌面与地面的距离$EF=1.2\ \mathrm{m}$，影子最大跨度$MN=2\ \mathrm{m}$，OF就是路灯O到地面的距离。
$\because AB// MN$，$\therefore ∠ OAB=∠ OMN$，$∠ OBA=∠ ONM$，$\therefore △ OAB ∽ △ OMN$。
根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，可得$\frac{AB}{MN}=\frac{OE}{OF}$。
其中$OE=OF-EF=OF-1.2$，代入数值得：$\frac{1.2}{2}=\frac{OF-1.2}{OF}$。
解方程：$1.2OF=2(OF-1.2)$，整理得$0.8OF=2.4$，解得$OF=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 如图,分别延长 MA、NB,它们的交点为 O点,再连接 OC、OD 并延长交地面于 P、Q,则 PQ为 CD 的影子,所以点 O 和 PQ 即为所求。
(2) 路灯O与地面的距离为3 m。
【知识点】
中心投影作图；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，同时考查了中心投影的作图方法和相似三角形的实际应用，既锻炼了动手作图能力，也强化了利用几何知识解决实际问题的思维，是投影与相似结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8如图，现有一物体CD在路灯AB的灯泡(图上点A处)的照射下，影子顶端正好落在墙脚的点Q处.已知路灯AB与物体CD的距离为7.5 m，物体CD的高为3 m，其影子长为5 m.假如另有一高6 m的物体EF在路灯AB与物体CD之间，EF距路灯AB的距离为2.9 m，问物体EF的影子是否会落在墙PQ上？
答案
8.解:物体 EF 的影子会落在墙 PQ 上.
理由:连接 AE 并延长,交地面于点 $F'$(如图所示),则线段 $FF'$ 为物体 EF 的影子.
$\because CD// AB,\therefore △ CDQ ∽ △ ABQ,$
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DQ}{BQ},\mathrm{即 }\frac{3}{AB}=\frac{5}{7.5+5}. \mathrm{ 解得 }AB=7.5\ \mathrm{m}.$
$\because AB// EF,\therefore △ EFF' ∽ △ ABF',$
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{FF'}{BF'},\mathrm{即 }\frac{6}{7.5}=\frac{FF'}{2.9+FF'},$
解得 $FF'=11.6\ \mathrm{m}.$
$\because FQ=BD+DQ-BF=7.5+5-2.9=9.6(\mathrm{m}),$
$\therefore FF'＞FQ,\therefore$ 物体 EF 的影子会落在墙 PQ 上.
解析
【分析】
这是中心投影的实际应用问题，解题可按以下思路推进：1. 首先利用已知的物体CD及其影子的条件，借助相似三角形求出路灯AB的高度，这是后续计算的基础；2. 假设物体EF的影子全部落在地面上，连接AE延长交地面于F'，此时FF'为EF的影长，再次利用相似三角形求出FF'的长度；3. 计算点F到墙脚Q的距离FQ，将FF'与FQ比较：若FF'＞FQ，说明影子顶端超过墙脚位置，影子会落在墙PQ上；若FF'≤FQ，说明影子全部落在地面上。
【解析】
连接AE并延长，交地面于点$F'$，假设EF的影子全部落在地面，则$FF'$为EF的影长。
1. 求路灯AB的高度：
由于AB、CD均垂直于地面BQ，故$CD// AB$，可证$△ CDQ ∽ △ ABQ$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CD}{AB}=\frac{DQ}{BQ}$。
已知$CD=3\mathrm{m}$，$DQ=5\mathrm{m}$，$BD=7.5\mathrm{m}$，因此$BQ=BD+DQ=7.5+5=12.5\mathrm{m}$，代入得：
$\frac{3}{AB}=\frac{5}{12.5}$，解得$AB=7.5\mathrm{m}$。
2. 求EF的影长FF'：
由于$EF// AB$，可证$△ EFF' ∽ △ ABF'$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{EF}{AB}=\frac{FF'}{BF'}$。
已知$EF=6\mathrm{m}$，$BF=2.9\mathrm{m}$，$BF'=BF+FF'=2.9+FF'$，代入得：
$\frac{6}{7.5}=\frac{FF'}{2.9+FF'}$，交叉相乘计算得$FF'=11.6\mathrm{m}$。
3. 对比判断影子位置：
计算$FQ=BD+DQ-BF=7.5+5-2.9=9.6\mathrm{m}$，可见$FF'=11.6\mathrm{m}＞9.6\mathrm{m}$，说明影子顶端无法落在地面F'处，会被墙PQ挡住。
【答案】
物体 EF 的影子会落在墙 PQ 上.
理由:连接 AE 并延长,交地面于点 $F'$(如图所示),则线段 $FF'$ 为物体 EF 的影子.
$\because CD// AB,\therefore △ CDQ ∽ △ ABQ,$
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DQ}{BQ},\mathrm{即 }\frac{3}{AB}=\frac{5}{7.5+5}. \mathrm{ 解得 }AB=7.5\ \mathrm{m}.$
$\because AB// EF,\therefore △ EFF' ∽ △ ABF',$
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{FF'}{BF'},\mathrm{即 }\frac{6}{7.5}=\frac{FF'}{2.9+FF'},$
解得 $FF'=11.6\ \mathrm{m}.$
$\because FQ=BD+DQ-BF=7.5+5-2.9=9.6(\mathrm{m}),$
$\therefore FF'＞FQ,\therefore$ 物体 EF 的影子会落在墙 PQ 上.
【知识点】
中心投影、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是中心投影的实际应用类题目，核心是利用中心投影下竖直物体与地面、点光源连线构成的相似三角形求解未知量，解题时需先通过已知条件求出点光源高度，再通过假设影子全在地面计算影长，与到墙面的距离对比即可得出结论，注重考查将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
这是中心投影的实际应用问题，解题可按以下思路推进：1. 首先利用已知的物体CD及其影子的条件，借助相似三角形求出路灯AB的高度，这是后续计算的基础；2. 假设物体EF的影子全部落在地面上，连接AE延长交地面于F'，此时FF'为EF的影长，再次利用相似三角形求出FF'的长度；3. 计算点F到墙脚Q的距离FQ，将FF'与FQ比较：若FF'＞FQ，说明影子顶端超过墙脚位置，影子会落在墙PQ上；若FF'≤FQ，说明影子全部落在地面上。
【解析】
连接AE并延长，交地面于点$F'$，假设EF的影子全部落在地面，则$FF'$为EF的影长。
1. 求路灯AB的高度：
由于AB、CD均垂直于地面BQ，故$CD// AB$，可证$△ CDQ ∽ △ ABQ$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CD}{AB}=\frac{DQ}{BQ}$。
已知$CD=3\mathrm{m}$，$DQ=5\mathrm{m}$，$BD=7.5\mathrm{m}$，因此$BQ=BD+DQ=7.5+5=12.5\mathrm{m}$，代入得：
$\frac{3}{AB}=\frac{5}{12.5}$，解得$AB=7.5\mathrm{m}$。
2. 求EF的影长FF'：
由于$EF// AB$，可证$△ EFF' ∽ △ ABF'$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{EF}{AB}=\frac{FF'}{BF'}$。
已知$EF=6\mathrm{m}$，$BF=2.9\mathrm{m}$，$BF'=BF+FF'=2.9+FF'$，代入得：
$\frac{6}{7.5}=\frac{FF'}{2.9+FF'}$，交叉相乘计算得$FF'=11.6\mathrm{m}$。
3. 对比判断影子位置：
计算$FQ=BD+DQ-BF=7.5+5-2.9=9.6\mathrm{m}$，可见$FF'=11.6\mathrm{m}＞9.6\mathrm{m}$，说明影子顶端无法落在地面F'处，会被墙PQ挡住。
【答案】
物体 EF 的影子会落在墙 PQ 上.
理由:连接 AE 并延长,交地面于点 $F'$(如图所示),则线段 $FF'$ 为物体 EF 的影子.
$\because CD// AB,\therefore △ CDQ ∽ △ ABQ,$
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{DQ}{BQ},\mathrm{即 }\frac{3}{AB}=\frac{5}{7.5+5}. \mathrm{ 解得 }AB=7.5\ \mathrm{m}.$
$\because AB// EF,\therefore △ EFF' ∽ △ ABF',$
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{FF'}{BF'},\mathrm{即 }\frac{6}{7.5}=\frac{FF'}{2.9+FF'},$
解得 $FF'=11.6\ \mathrm{m}.$
$\because FQ=BD+DQ-BF=7.5+5-2.9=9.6(\mathrm{m}),$
$\therefore FF'＞FQ,\therefore$ 物体 EF 的影子会落在墙 PQ 上.
【知识点】
中心投影、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是中心投影的实际应用类题目，核心是利用中心投影下竖直物体与地面、点光源连线构成的相似三角形求解未知量，解题时需先通过已知条件求出点光源高度，再通过假设影子全在地面计算影长，与到墙面的距离对比即可得出结论，注重考查将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
