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1. 若二次函数$y=mx^2(m≠0)$的图像经过点$(2,-5)$，则它也经过 （
A.$(-2,-5)$
B.$(-2,5)$
C.$(2,5)$
D.$(-5,2)$
A
）A.$(-2,-5)$
B.$(-2,5)$
C.$(2,5)$
D.$(-5,2)$
答案
1.A
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路1：先利用待定系数法，将已知点代入二次函数解析式求出m的值，得到完整的函数表达式，再将各选项的点代入解析式验证是否成立即可。思路2：回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，其对称轴为y轴，因此图象上关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数，已知点$(2,-5)$在图象上，直接找它关于y轴的对称点即可快速得到答案。
【解析】
方法一：待定系数法验证
将点$(2,-5)$代入$y=mx^2$，得：
$-5 = m × 2^2$
解得$m=-\frac{5}{4}$，因此二次函数解析式为$y=-\frac{5}{4}x^2$
逐一验证选项：
A. 当$x=-2$时，$y=-\frac{5}{4} × (-2)^2 = -\frac{5}{4} × 4 = -5$，符合解析式，该点在函数图象上；
B. 当$x=-2$时，$y=-5≠5$，不符合，排除；
C. 当$x=2$时，$y=-5≠5$，不符合，排除；
D. 当$x=-5$时，$y=-\frac{5}{4} × (-5)^2 = -\frac{125}{4}≠2$，不符合，排除。
方法二：利用对称性求解
二次函数$y=mx^2$的图象对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，即若点$(a,b)$在图象上，则点$(-a,b)$也一定在图象上。
已知点$(2,-5)$在图象上，则它关于y轴的对称点$(-2,-5)$也在图象上，直接选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，既可以通过待定系数法求解析式后逐一验证求解，也可以利用函数的对称性快速得出答案，熟练掌握二次函数的基本性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85
解题有两种常用思路：思路1：先利用待定系数法，将已知点代入二次函数解析式求出m的值，得到完整的函数表达式，再将各选项的点代入解析式验证是否成立即可。思路2：回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，其对称轴为y轴，因此图象上关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数，已知点$(2,-5)$在图象上，直接找它关于y轴的对称点即可快速得到答案。
【解析】
方法一：待定系数法验证
将点$(2,-5)$代入$y=mx^2$，得：
$-5 = m × 2^2$
解得$m=-\frac{5}{4}$，因此二次函数解析式为$y=-\frac{5}{4}x^2$
逐一验证选项：
A. 当$x=-2$时，$y=-\frac{5}{4} × (-2)^2 = -\frac{5}{4} × 4 = -5$，符合解析式，该点在函数图象上；
B. 当$x=-2$时，$y=-5≠5$，不符合，排除；
C. 当$x=2$时，$y=-5≠5$，不符合，排除；
D. 当$x=-5$时，$y=-\frac{5}{4} × (-5)^2 = -\frac{125}{4}≠2$，不符合，排除。
方法二：利用对称性求解
二次函数$y=mx^2$的图象对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，即若点$(a,b)$在图象上，则点$(-a,b)$也一定在图象上。
已知点$(2,-5)$在图象上，则它关于y轴的对称点$(-2,-5)$也在图象上，直接选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题，既可以通过待定系数法求解析式后逐一验证求解，也可以利用函数的对称性快速得出答案，熟练掌握二次函数的基本性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85
2. 下列说法错误的是 （
A.二次函数$y=3x^2$中，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
B.二次函数$y=-6x^2$中，当$x=0$时，$y$有最大值0
C.二次函数$y=ax^2$中，$a$越大图像开口越小，$a$越小图像开口越大
D.不论$a$是正数还是负数，抛物线$y=ax^2(a≠0)$的顶点一定是坐标原点
C
）A.二次函数$y=3x^2$中，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
B.二次函数$y=-6x^2$中，当$x=0$时，$y$有最大值0
C.二次函数$y=ax^2$中，$a$越大图像开口越小，$a$越小图像开口越大
D.不论$a$是正数还是负数，抛物线$y=ax^2(a≠0)$的顶点一定是坐标原点
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题思路是逐一验证每个选项对应的知识点：首先回忆$y=ax^2$的开口方向、增减性、最值、顶点坐标的规律，以及开口大小和$a$的关系，重点注意开口大小由$\vert a\vert$决定，而非$a$本身的大小，避免概念混淆。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：二次函数$y=3x^2$中$a=3＞0$，图像开口向上，对称轴为$y$轴，因此当$x＞0$（对称轴右侧）时，$y$随$x$的增大而增大，该说法正确，不符合题意。
选项B：二次函数$y=-6x^2$中$a=-6＜0$，图像开口向下，顶点为坐标原点，因此当$x=0$时，$y$有最大值$0$，该说法正确，不符合题意。
选项C：二次函数$y=ax^2$的开口大小由$\vert a\vert$决定：$\vert a\vert$越大，图像开口越小；$\vert a\vert$越小，图像开口越大。若$a$为负数，比如$a=-10$比$a=2$小，但$\vert-10\vert＞\vert2\vert$，$a=-10$对应的开口更小，因此“$a$越大图像开口越小，$a$越小图像开口越大”的说法错误，符合题意。
选项D：抛物线$y=ax^2(a≠0)$的顶点坐标恒为$(0,0)$，即坐标原点，与$a$的正负无关，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口大小判断；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对二次函数$y=ax^2$各项性质的掌握，易错点是容易混淆开口大小的影响因素，误将$a$本身的大小当作判断依据，学习时要注意区分$a$的符号和绝对值对函数的不同作用。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题思路是逐一验证每个选项对应的知识点：首先回忆$y=ax^2$的开口方向、增减性、最值、顶点坐标的规律，以及开口大小和$a$的关系，重点注意开口大小由$\vert a\vert$决定，而非$a$本身的大小，避免概念混淆。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：二次函数$y=3x^2$中$a=3＞0$，图像开口向上，对称轴为$y$轴，因此当$x＞0$（对称轴右侧）时，$y$随$x$的增大而增大，该说法正确，不符合题意。
选项B：二次函数$y=-6x^2$中$a=-6＜0$，图像开口向下，顶点为坐标原点，因此当$x=0$时，$y$有最大值$0$，该说法正确，不符合题意。
选项C：二次函数$y=ax^2$的开口大小由$\vert a\vert$决定：$\vert a\vert$越大，图像开口越小；$\vert a\vert$越小，图像开口越大。若$a$为负数，比如$a=-10$比$a=2$小，但$\vert-10\vert＞\vert2\vert$，$a=-10$对应的开口更小，因此“$a$越大图像开口越小，$a$越小图像开口越大”的说法错误，符合题意。
选项D：抛物线$y=ax^2(a≠0)$的顶点坐标恒为$(0,0)$，即坐标原点，与$a$的正负无关，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口大小判断；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对二次函数$y=ax^2$各项性质的掌握，易错点是容易混淆开口大小的影响因素，误将$a$本身的大小当作判断依据，学习时要注意区分$a$的符号和绝对值对函数的不同作用。
【难度系数】
0.8
3.若抛物线$y=(a-2)x^2(a≠2)$的开口向上，则a的取值范围是
$a＞2$
。答案
3.$a＞2$
解析
【分析】
解这道题首先需要回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质：抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定，系数为正开口向上，系数为负开口向下。本题中抛物线的二次项系数是$(a-2)$，已知开口向上，只需令二次项系数大于0，列不等式求解即可，同时要结合题目给出的$a≠2$的条件验证结果。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，开口方向判定规则如下：
1. 当二次项系数$a＞0$时，抛物线开口向上；
2. 当二次项系数$a＜0$时，抛物线开口向下。
本题中抛物线解析式为$y=(a-2)x^2$，对应的二次项系数为$(a-2)$，结合开口向上的条件可列不等式：
$a-2＞0$
解得$a＞2$，该结果满足题目给出的$a≠2$的限制条件，因此最终取值范围为$a＞2$。
【答案】
$a＞2$
【知识点】
1. 二次函数开口性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察二次项系数对抛物线开口方向的影响，牢记相关性质即可快速解题，易错点是部分学生可能会搞反系数符号和开口方向的对应关系。
【难度系数】
0.9
解这道题首先需要回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质：抛物线的开口方向由二次项系数的符号决定，系数为正开口向上，系数为负开口向下。本题中抛物线的二次项系数是$(a-2)$，已知开口向上，只需令二次项系数大于0，列不等式求解即可，同时要结合题目给出的$a≠2$的条件验证结果。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，开口方向判定规则如下：
1. 当二次项系数$a＞0$时，抛物线开口向上；
2. 当二次项系数$a＜0$时，抛物线开口向下。
本题中抛物线解析式为$y=(a-2)x^2$，对应的二次项系数为$(a-2)$，结合开口向上的条件可列不等式：
$a-2＞0$
解得$a＞2$，该结果满足题目给出的$a≠2$的限制条件，因此最终取值范围为$a＞2$。
【答案】
$a＞2$
【知识点】
1. 二次函数开口性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察二次项系数对抛物线开口方向的影响，牢记相关性质即可快速解题，易错点是部分学生可能会搞反系数符号和开口方向的对应关系。
【难度系数】
0.9
4.已知抛物线 $ y = ax^2 $ 经过点 $ A(-2,-8) $.
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)写出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置；
(3)判断点 $ B(-1,-4) $ 是否在此抛物线上.
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)写出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置；
(3)判断点 $ B(-1,-4) $ 是否在此抛物线上.
答案
4.解:(1)把 $ A(-2,-8) $ 代入函数表达式 $ y=ax^2 $,得 $ -8=a(-2)^2 $,$ \therefore a=-2 $.
故此抛物线的函数表达式为 $ y=-2x^2 $.
(2)顶点坐标为$ (0,0) $,对称轴为$ y $轴(或直线$ x=0 $).
$ \because a＜0 $,$ \therefore $这个二次函数图像的开口向下,顶点是图像上的最高点,图像在$ x $轴下方(除顶点外).
(3)把$ x=-1 $代入函数表达式 $ y=-2x^2 $,得 $ y=-2×(-1)^2=-2≠-4 $,
故点$ B(-1,-4) $不在此抛物线上.
故此抛物线的函数表达式为 $ y=-2x^2 $.
(2)顶点坐标为$ (0,0) $,对称轴为$ y $轴(或直线$ x=0 $).
$ \because a＜0 $,$ \therefore $这个二次函数图像的开口向下,顶点是图像上的最高点,图像在$ x $轴下方(除顶点外).
(3)把$ x=-1 $代入函数表达式 $ y=-2x^2 $,得 $ y=-2×(-1)^2=-2≠-4 $,
故点$ B(-1,-4) $不在此抛物线上.
解析
【分析】
(1) 求抛物线的函数表达式时，已知解析式形式为$y=ax^2$，仅含1个未知系数$a$，因此用待定系数法，将点$A$的坐标代入解析式，解关于$a$的一元一次方程即可求出$a$，进而得到函数表达式。
(2) 形如$y=ax^2$的二次函数，顶点坐标、对称轴为固定结论，开口方向由$a$的符号决定，结合开口方向和顶点位置即可判断图像的整体位置。
(3) 判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入函数表达式，若计算得到的$y$值与点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。
【解析】
(1) 把点$A(-2,-8)$代入函数表达式$y=ax^2$，得：
$-8=a×(-2)^2$
计算得$-8=4a$，解得$a=-2$
故此抛物线的函数表达式为$y=-2x^2$。
(2) 该二次函数的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（或直线$x=0$）。
$\because a=-2＜0$，$\therefore$这个二次函数图像的开口向下，顶点是图像上的最高点，除顶点外，图像整体位于$x$轴下方。
(3) 把$x=-1$代入函数表达式$y=-2x^2$，得：
$y=-2×(-1)^2=-2≠-4$
故点$B(-1,-4)$不在此抛物线上。
【答案】
(1) $y=-2x^2$；
(2) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（或直线$x=0$），开口向下，除顶点外图像在$x$轴下方；
(3) 点$B(-1,-4)$不在此抛物线上。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数$y=ax^2$的性质，点与函数图像的判定
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察二次函数$y=ax^2$的基本性质以及待定系数法的应用，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.85
(1) 求抛物线的函数表达式时，已知解析式形式为$y=ax^2$，仅含1个未知系数$a$，因此用待定系数法，将点$A$的坐标代入解析式，解关于$a$的一元一次方程即可求出$a$，进而得到函数表达式。
(2) 形如$y=ax^2$的二次函数，顶点坐标、对称轴为固定结论，开口方向由$a$的符号决定，结合开口方向和顶点位置即可判断图像的整体位置。
(3) 判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入函数表达式，若计算得到的$y$值与点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。
【解析】
(1) 把点$A(-2,-8)$代入函数表达式$y=ax^2$，得：
$-8=a×(-2)^2$
计算得$-8=4a$，解得$a=-2$
故此抛物线的函数表达式为$y=-2x^2$。
(2) 该二次函数的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（或直线$x=0$）。
$\because a=-2＜0$，$\therefore$这个二次函数图像的开口向下，顶点是图像上的最高点，除顶点外，图像整体位于$x$轴下方。
(3) 把$x=-1$代入函数表达式$y=-2x^2$，得：
$y=-2×(-1)^2=-2≠-4$
故点$B(-1,-4)$不在此抛物线上。
【答案】
(1) $y=-2x^2$；
(2) 顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（或直线$x=0$），开口向下，除顶点外图像在$x$轴下方；
(3) 点$B(-1,-4)$不在此抛物线上。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数$y=ax^2$的性质，点与函数图像的判定
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察二次函数$y=ax^2$的基本性质以及待定系数法的应用，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.85
5已知$a≠0$，在同一平面直角坐标系中，函数$y=ax$与$y=ax^2$的图像有可能是（
C
）答案
5.C
解析
【分析】
解题时先根据参数a的正负分类讨论，结合一次函数、二次函数的图象性质判断两者是否匹配，再通过联立方程求两个函数的交点，验证交点位置是否符合选项即可。首先分两类情况：①a＞0时，二次函数$y=ax^2$开口向上，一次函数$y=ax$过一、三象限，两函数交点为原点和$(1,a)$；②a＜0时，二次函数$y=ax^2$开口向下，一次函数$y=ax$过二、四象限，两函数交点为原点和$(1,a)$，再逐一排除不符合的选项。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点；一次函数$y=ax$的图象过原点、第一、三象限。
联立两个函数解析式$\begin{cases}y=ax\\y=ax^2\end{cases}$，整理得$ax(x-1)=0$，解得交点为$(0,0)$和$(1,a)$，即两函数仅在$x=0$和$x=1$处相交。
选项A：一次函数符合$a＞0$，二次函数开口向上符合$a＞0$，但两函数在$x=-1$处相交，不符合交点规律，排除A；
选项B：一次函数过二、四象限，说明$a＜0$，与二次函数开口向上（$a＞0$）矛盾，排除B。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点；一次函数$y=ax$的图象过原点、第二、四象限，两函数交点仍为$(0,0)$和$(1,a)$。
选项D：一次函数过一、三象限，说明$a＞0$，与二次函数开口向下（$a＜0$）矛盾，排除D；
选项C：二次函数开口向下符合$a＜0$，一次函数过二、四象限符合$a＜0$，且两函数在$x=1$处相交，符合交点规律，C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质，二次函数$y=ax^2$的图象性质，函数交点求解
【点评】
本题考查同系数下一次函数和二次函数图象的匹配问题，解题关键是抓住参数a对两个函数图象的共同影响，结合交点位置验证即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解题时先根据参数a的正负分类讨论，结合一次函数、二次函数的图象性质判断两者是否匹配，再通过联立方程求两个函数的交点，验证交点位置是否符合选项即可。首先分两类情况：①a＞0时，二次函数$y=ax^2$开口向上，一次函数$y=ax$过一、三象限，两函数交点为原点和$(1,a)$；②a＜0时，二次函数$y=ax^2$开口向下，一次函数$y=ax$过二、四象限，两函数交点为原点和$(1,a)$，再逐一排除不符合的选项。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点；一次函数$y=ax$的图象过原点、第一、三象限。
联立两个函数解析式$\begin{cases}y=ax\\y=ax^2\end{cases}$，整理得$ax(x-1)=0$，解得交点为$(0,0)$和$(1,a)$，即两函数仅在$x=0$和$x=1$处相交。
选项A：一次函数符合$a＞0$，二次函数开口向上符合$a＞0$，但两函数在$x=-1$处相交，不符合交点规律，排除A；
选项B：一次函数过二、四象限，说明$a＜0$，与二次函数开口向上（$a＞0$）矛盾，排除B。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点；一次函数$y=ax$的图象过原点、第二、四象限，两函数交点仍为$(0,0)$和$(1,a)$。
选项D：一次函数过一、三象限，说明$a＞0$，与二次函数开口向下（$a＜0$）矛盾，排除D；
选项C：二次函数开口向下符合$a＜0$，一次函数过二、四象限符合$a＜0$，且两函数在$x=1$处相交，符合交点规律，C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质，二次函数$y=ax^2$的图象性质，函数交点求解
【点评】
本题考查同系数下一次函数和二次函数图象的匹配问题，解题关键是抓住参数a对两个函数图象的共同影响，结合交点位置验证即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
6.已知$-1＜a＜0$，点$(a-2,y_1)$、$(a,y_2)$、$(a+2,y_3)$都在函数$y=3x^2$的图像上，则$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
B
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
6.B
解析
【分析】
首先回忆二次函数y=3x²的图像性质：该函数开口向上，对称轴为y轴（x=0），开口向上时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。因此解题的核心是先根据已知a的取值范围，确定三个点横坐标的取值，再比较三个横坐标到对称轴x=0的距离（即横坐标的绝对值），即可判断y值的大小关系。
【解析】
∵二次函数解析式为y=3x²，3＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=0，抛物线上的点横坐标的绝对值越大，对应的y值越大。
已知-1＜a＜0，分别计算三个点横坐标的范围：
1. 对横坐标a-2：-1-2＜a-2＜0-2，即-3＜a-2＜-2，故2＜|a-2|＜3；
2. 对横坐标a：-1＜a＜0，故0＜|a|＜1；
3. 对横坐标a+2：-1+2＜a+2＜0+2，即1＜a+2＜2，故1＜|a+2|＜2；
综上可得|a|＜|a+2|＜|a-2|，因此对应的函数值满足y₂＜y₃＜y₁。
【答案】
B
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、绝对值的性质、不等式的基本性质
【点评】
本题考查二次函数图像上点的坐标特征，解题时无需代入计算函数值，利用开口向上的抛物线“点离对称轴越远，函数值越大”的性质即可快速判断，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数y=3x²的图像性质：该函数开口向上，对称轴为y轴（x=0），开口向上时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大。因此解题的核心是先根据已知a的取值范围，确定三个点横坐标的取值，再比较三个横坐标到对称轴x=0的距离（即横坐标的绝对值），即可判断y值的大小关系。
【解析】
∵二次函数解析式为y=3x²，3＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=0，抛物线上的点横坐标的绝对值越大，对应的y值越大。
已知-1＜a＜0，分别计算三个点横坐标的范围：
1. 对横坐标a-2：-1-2＜a-2＜0-2，即-3＜a-2＜-2，故2＜|a-2|＜3；
2. 对横坐标a：-1＜a＜0，故0＜|a|＜1；
3. 对横坐标a+2：-1+2＜a+2＜0+2，即1＜a+2＜2，故1＜|a+2|＜2；
综上可得|a|＜|a+2|＜|a-2|，因此对应的函数值满足y₂＜y₃＜y₁。
【答案】
B
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、绝对值的性质、不等式的基本性质
【点评】
本题考查二次函数图像上点的坐标特征，解题时无需代入计算函数值，利用开口向上的抛物线“点离对称轴越远，函数值越大”的性质即可快速判断，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
7.已知关于$x$的函数$y=mx^{m^2 - m}$，当$m=$
$-1$
时，它的图像是开口向下的抛物线。在此情况下，当$x$$＞0$
时，$y$随$x$的增大而减小。答案
7.$-1 \quad ＞0$
解析
【分析】
要使函数图像是开口向下的抛物线，首先该函数必须是二次函数，其次二次项系数小于0。第一步先根据二次函数的定义：自变量最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求出m的可能值；第二步结合开口向下的条件，筛选出符合要求的m值；最后根据二次函数y=ax²的增减性，确定y随x增大而减小的x的取值范围。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 函数$y=mx^{m^2 - m}$的图像是抛物线
∴ 该函数是二次函数，满足：$\begin{cases}m^2 - m = 2 \\ m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 2$，移项得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$
又
∵ 抛物线开口向下，
∴ 二次项系数$m ＜ 0$
综上，$m=-1$。
2. 求y随x增大而减小的x范围：
当$m=-1$时，函数为$y=-x^2$，该函数开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）
根据二次函数性质：开口向下的抛物线，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
$-1$；$＞0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图像与性质
【点评】
本题重点考查二次函数的定义和基本性质，解题时需注意二次函数需同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个条件，再结合开口方向筛选参数，最后根据单调性确定增减区间，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
要使函数图像是开口向下的抛物线，首先该函数必须是二次函数，其次二次项系数小于0。第一步先根据二次函数的定义：自变量最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求出m的可能值；第二步结合开口向下的条件，筛选出符合要求的m值；最后根据二次函数y=ax²的增减性，确定y随x增大而减小的x的取值范围。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 函数$y=mx^{m^2 - m}$的图像是抛物线
∴ 该函数是二次函数，满足：$\begin{cases}m^2 - m = 2 \\ m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 2$，移项得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$
又
∵ 抛物线开口向下，
∴ 二次项系数$m ＜ 0$
综上，$m=-1$。
2. 求y随x增大而减小的x范围：
当$m=-1$时，函数为$y=-x^2$，该函数开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）
根据二次函数性质：开口向下的抛物线，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
$-1$；$＞0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2$的图像与性质
【点评】
本题重点考查二次函数的定义和基本性质，解题时需注意二次函数需同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个条件，再结合开口方向筛选参数，最后根据单调性确定增减区间，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
