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22. (10分)如图是某地下车库的剖面图,某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处,让无人机飞到点D处,AD与底板BR平行,测得$AD=11.6\ \mathrm{m}$,此时在点D处又测得坡道AB上的点C的俯角为$26.6°$.接着让无人机飞到点E处,$DE⊥ AD$,CE与底板BR平行,测得$DE=1.8\ \mathrm{m}$.
(1)求坡道AB的坡度;
(2)已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等,无人机从点A飞到点P处,$AP⊥ AD$,测得$AP=16.4\ \mathrm{m}$,此时在点P处测得点F的俯角为$45°$,在不考虑其他因素的前提下,有一辆高度为3 m的货车能否进入该地下车库?请说明理由.
(参考数据:$\sin 26.6°\approx0.45,\cos 26.6°\approx0.89,\tan 26.6°\approx0.50$)
(1)求坡道AB的坡度;
(2)已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等,无人机从点A飞到点P处,$AP⊥ AD$,测得$AP=16.4\ \mathrm{m}$,此时在点P处测得点F的俯角为$45°$,在不考虑其他因素的前提下,有一辆高度为3 m的货车能否进入该地下车库?请说明理由.
(参考数据:$\sin 26.6°\approx0.45,\cos 26.6°\approx0.89,\tan 26.6°\approx0.50$)
答案
22.解:(1)由题意得$∠ DCE=26.6°$,$∠ ADE=∠ E=90°$.如图,过点 $C$ 作 $CI⊥ AD$ 于点 $I$,
$\therefore ∠ CID=90°$,$\therefore$ 四边形 $CIDE$ 是矩形,
$\therefore CE=ID$,$CI=DE=1.8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$∠ E=90°$,$DE=1.8\ \mathrm{m}$,
$\therefore \tan∠ DCE=\dfrac{DE}{CE}=0.5$,解得 $CE=ID=3.6\ \mathrm{m}$.
$\therefore AI=8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AIC$ 中,$∠ AIC=90°$,
$\therefore \tan∠ CAD=\dfrac{IC}{AI}=\dfrac{1.8}{8}=\dfrac{9}{40}$,$\therefore i_{AB}=1:\dfrac{40}{9}$.
(2)连接 $DF$. 由题意得 $∠ PFA=45°$.
在 $\mathrm{Rt}△ PAF$ 中,$∠ PAF=90°$,$PA=16.4\ \mathrm{m}$,
$\tan∠ PFA=\dfrac{PA}{AF}=1$,$\therefore AF=16.4\ \mathrm{m}$.
如图,过点 $F$ 作 $FH⊥ AB$ 于点 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ AHF$ 中,$∠ AHF=90°$,
$\tan∠ FAH=\dfrac{FH}{AH}=\dfrac{9}{40}$,$FH^2+AH^2=AF^2$.
设 $FH=9x$,则 $AH=40x$,
$\therefore (9x)^2+(40x)^2=16.4^2$,解得 $x=\dfrac{2}{5}$,
$\therefore FH=3.6\ \mathrm{m}$.
$\because 3\ \mathrm{m}＜3.6\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 该货车能进入该地下车库.
解析
【分析】
(1) 求坡道AB的坡度，本质是求坡道坡角的正切值（竖直高度与水平宽度的比值）。首先根据俯角定义得到$∠DCE=26.6°$，结合$DE⊥AD$、$CE// AD$的条件，过点C作$CI⊥AD$构造矩形CIDE，利用矩形性质得到$CI=DE$，再通过$26.6°$的正切值求出CE的长度，进而得到AI的长度，在$Rt△AIC$中计算$∠CAD$的正切值即可得到坡度。
(2) 判断货车能否进入，只需计算车库顶板FG到底板BR的净高，和3m比较即可。首先根据P处测得F的俯角为$45°$，可得$Rt△PAF$为等腰直角三角形，求出AF的长度；再过F作$FH⊥AB$，利用第一问得到的坡度设FH、AH的长度为含x的式子，结合勾股定理列方程求出x，即可得到FH的长度（即车库净高），和3m比较得出结论。
【解析】
(1) 由题意得$∠ DCE=26.6°$,$∠ ADE=∠ DEC=90°$. 过点 $C$ 作 $CI⊥ AD$ 于点 $I$,
$\therefore ∠ CID=90°$，$\therefore$ 四边形 $CIDE$ 是矩形，
$\therefore CE=ID$,$CI=DE=1.8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$∠ DEC=90°$,$DE=1.8\ \mathrm{m}$,
$\therefore \tan∠ DCE=\dfrac{DE}{CE}=0.5$，解得 $CE=ID=\dfrac{1.8}{0.5}=3.6\ \mathrm{m}$.
$\therefore AI=AD-ID=11.6-3.6=8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AIC$ 中,$∠ AIC=90°$,
$\therefore \tan∠ CAD=\dfrac{IC}{AI}=\dfrac{1.8}{8}=\dfrac{9}{40}$，即坡道AB的坡度$i_{AB}=1:\dfrac{40}{9}$.
(2) 由题意得$∠ PFA=45°$，$AP⊥AD$，即$∠PAF=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ PAF$ 中,$∠ PAF=90°$,$PA=16.4\ \mathrm{m}$,
$\tan∠ PFA=\dfrac{PA}{AF}=1$，$\therefore AF=PA=16.4\ \mathrm{m}$.
过点 $F$ 作 $FH⊥ AB$ 于点 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ AHF$ 中,$∠ AHF=90°$,
$\tan∠ FAH=\dfrac{FH}{AH}=\dfrac{9}{40}$，由勾股定理得$FH^2+AH^2=AF^2$.
设 $FH=9x$,则 $AH=40x$,
$\therefore (9x)^2+(40x)^2=16.4^2$，即$1681x^2=268.96$，解得 $x=\dfrac{2}{5}$,
$\therefore FH=9×\dfrac{2}{5}=3.6\ \mathrm{m}$.
$\because 3\ \mathrm{m}＜3.6\ \mathrm{m}$，$\therefore$ 该货车能进入该地下车库.
【答案】
22.解:(1)由题意得$∠ DCE=26.6°$,$∠ ADE=∠ E=90°$.如图,过点 $C$ 作 $CI⊥ AD$ 于点 $I$,
$\therefore ∠ CID=90°$,$\therefore$ 四边形 $CIDE$ 是矩形,
$\therefore CE=ID$,$CI=DE=1.8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$∠ E=90°$,$DE=1.8\ \mathrm{m}$,
$\therefore \tan∠ DCE=\dfrac{DE}{CE}=0.5$,解得 $CE=ID=3.6\ \mathrm{m}$.
$\therefore AI=8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AIC$ 中,$∠ AIC=90°$,
$\therefore \tan∠ CAD=\dfrac{IC}{AI}=\dfrac{1.8}{8}=\dfrac{9}{40}$,$\therefore i_{AB}=1:\dfrac{40}{9}$.
(2)连接 $DF$. 由题意得 $∠ PFA=45°$.
在 $\mathrm{Rt}△ PAF$ 中,$∠ PAF=90°$,$PA=16.4\ \mathrm{m}$,
$\tan∠ PFA=\dfrac{PA}{AF}=1$,$\therefore AF=16.4\ \mathrm{m}$.
如图,过点 $F$ 作 $FH⊥ AB$ 于点 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ AHF$ 中,$∠ AHF=90°$,
$\tan∠ FAH=\dfrac{FH}{AH}=\dfrac{9}{40}$,$FH^2+AH^2=AF^2$.
设 $FH=9x$,则 $AH=40x$,
$\therefore (9x)^2+(40x)^2=16.4^2$,解得 $x=\dfrac{2}{5}$,
$\therefore FH=3.6\ \mathrm{m}$.
$\because 3\ \mathrm{m}＜3.6\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 该货车能进入该地下车库.
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题以地下车库通行判断为实际背景，将俯角、坡度等概念与几何计算结合考查，要求学生能够合理构造辅助线，将实际问题转化为直角三角形求解，有效考查了知识迁移应用和数学建模能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求坡道AB的坡度，本质是求坡道坡角的正切值（竖直高度与水平宽度的比值）。首先根据俯角定义得到$∠DCE=26.6°$，结合$DE⊥AD$、$CE// AD$的条件，过点C作$CI⊥AD$构造矩形CIDE，利用矩形性质得到$CI=DE$，再通过$26.6°$的正切值求出CE的长度，进而得到AI的长度，在$Rt△AIC$中计算$∠CAD$的正切值即可得到坡度。
(2) 判断货车能否进入，只需计算车库顶板FG到底板BR的净高，和3m比较即可。首先根据P处测得F的俯角为$45°$，可得$Rt△PAF$为等腰直角三角形，求出AF的长度；再过F作$FH⊥AB$，利用第一问得到的坡度设FH、AH的长度为含x的式子，结合勾股定理列方程求出x，即可得到FH的长度（即车库净高），和3m比较得出结论。
【解析】
(1) 由题意得$∠ DCE=26.6°$,$∠ ADE=∠ DEC=90°$. 过点 $C$ 作 $CI⊥ AD$ 于点 $I$,
$\therefore ∠ CID=90°$，$\therefore$ 四边形 $CIDE$ 是矩形，
$\therefore CE=ID$,$CI=DE=1.8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$∠ DEC=90°$,$DE=1.8\ \mathrm{m}$,
$\therefore \tan∠ DCE=\dfrac{DE}{CE}=0.5$，解得 $CE=ID=\dfrac{1.8}{0.5}=3.6\ \mathrm{m}$.
$\therefore AI=AD-ID=11.6-3.6=8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AIC$ 中,$∠ AIC=90°$,
$\therefore \tan∠ CAD=\dfrac{IC}{AI}=\dfrac{1.8}{8}=\dfrac{9}{40}$，即坡道AB的坡度$i_{AB}=1:\dfrac{40}{9}$.
(2) 由题意得$∠ PFA=45°$，$AP⊥AD$，即$∠PAF=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ PAF$ 中,$∠ PAF=90°$,$PA=16.4\ \mathrm{m}$,
$\tan∠ PFA=\dfrac{PA}{AF}=1$，$\therefore AF=PA=16.4\ \mathrm{m}$.
过点 $F$ 作 $FH⊥ AB$ 于点 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ AHF$ 中,$∠ AHF=90°$,
$\tan∠ FAH=\dfrac{FH}{AH}=\dfrac{9}{40}$，由勾股定理得$FH^2+AH^2=AF^2$.
设 $FH=9x$,则 $AH=40x$,
$\therefore (9x)^2+(40x)^2=16.4^2$，即$1681x^2=268.96$，解得 $x=\dfrac{2}{5}$,
$\therefore FH=9×\dfrac{2}{5}=3.6\ \mathrm{m}$.
$\because 3\ \mathrm{m}＜3.6\ \mathrm{m}$，$\therefore$ 该货车能进入该地下车库.
【答案】
22.解:(1)由题意得$∠ DCE=26.6°$,$∠ ADE=∠ E=90°$.如图,过点 $C$ 作 $CI⊥ AD$ 于点 $I$,
$\therefore ∠ CID=90°$,$\therefore$ 四边形 $CIDE$ 是矩形,
$\therefore CE=ID$,$CI=DE=1.8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$∠ E=90°$,$DE=1.8\ \mathrm{m}$,
$\therefore \tan∠ DCE=\dfrac{DE}{CE}=0.5$,解得 $CE=ID=3.6\ \mathrm{m}$.
$\therefore AI=8\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AIC$ 中,$∠ AIC=90°$,
$\therefore \tan∠ CAD=\dfrac{IC}{AI}=\dfrac{1.8}{8}=\dfrac{9}{40}$,$\therefore i_{AB}=1:\dfrac{40}{9}$.
(2)连接 $DF$. 由题意得 $∠ PFA=45°$.
在 $\mathrm{Rt}△ PAF$ 中,$∠ PAF=90°$,$PA=16.4\ \mathrm{m}$,
$\tan∠ PFA=\dfrac{PA}{AF}=1$,$\therefore AF=16.4\ \mathrm{m}$.
如图,过点 $F$ 作 $FH⊥ AB$ 于点 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ AHF$ 中,$∠ AHF=90°$,
$\tan∠ FAH=\dfrac{FH}{AH}=\dfrac{9}{40}$,$FH^2+AH^2=AF^2$.
设 $FH=9x$,则 $AH=40x$,
$\therefore (9x)^2+(40x)^2=16.4^2$,解得 $x=\dfrac{2}{5}$,
$\therefore FH=3.6\ \mathrm{m}$.
$\because 3\ \mathrm{m}＜3.6\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 该货车能进入该地下车库.
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题以地下车库通行判断为实际背景，将俯角、坡度等概念与几何计算结合考查，要求学生能够合理构造辅助线，将实际问题转化为直角三角形求解，有效考查了知识迁移应用和数学建模能力。
【难度系数】
0.6
23(12分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CA平分∠BCD,AC⊥AD,点E在边BC上,∠BAE=∠ACD,F为CD的中点.
(1)求证:AD=AE;
(2)连接EF,与AC交于点G,当∠FEC=2∠BAE时,求证:CG·EF=CE·AG.
(1)求证:AD=AE;
(2)连接EF,与AC交于点G,当∠FEC=2∠BAE时,求证:CG·EF=CE·AG.
答案
23.证明:(1)如图,过 $A$ 作 $AH⊥ CD$ 于 $H$,则 $∠ B=∠ AHC=90°$.
$\because CA$ 平分 $∠ BCD$,
$\therefore AB=AH$,$∠ BCA=∠ DCA$.
$\because ∠ ABC=90°$,$AC⊥ AD$,
$\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°$,$∠ ACD+∠ D=90°$.
$\because ∠ BAE=∠ ACD$,$\therefore ∠ AEB=∠ D$.
又 $∠ B=∠ AHD=90°$,$AB=AH$,
$\therefore △ ABE≌△ AHD$,$\therefore AD=AE$.
(2)如图,连接 $EF$,交 $AC$ 于点 $G$.
$\because F$ 为 $CD$ 的中点,$∠ CAD=90°$,
$\therefore AF=CF=DF$,$\therefore ∠ FAC=∠ FCA$.
$\because ∠ BCA=∠ DCA$,$\therefore ∠ BCA=∠ FAC$,
$\therefore AF// BC$,$\therefore △ EGC∽△ FGA$,$\therefore \dfrac{EC}{AF}=\dfrac{CG}{AG}$.
$\because ∠ FEC=2∠ BAE$,$\therefore ∠ FEC=2∠ ACD=∠ BCD$,
$\therefore EF=CF$,$\therefore AF=EF=CF$.
$\because \dfrac{EC}{AF}=\dfrac{CG}{AG}$,$\therefore CG· EF=CE· AG$.
解析
【分析】
(1) 要证明AD=AE，可通过证明两条线段所在三角形全等实现。已知CA平分∠BCD，根据角平分线的性质，过A作AH⊥CD于H，即可得到AB=AH这组等边，再结合已知直角条件和∠BAE=∠ACD，推导对应角相等，就能证明△ABE和△AHD全等，得到AD=AE。
(2) 要证明等积式CG·EF=CE·AG，先将其转化为比例式$\frac{CG}{AG}=\frac{CE}{EF}$。首先利用直角三角形斜边中线的性质得到AF=CF，推导AF//BC，可得△EGC∽△FGA，得到比例$\frac{EC}{AF}=\frac{CG}{AG}$，再结合已知角的关系证明EF=CF=AF，等量代换后即可得证。
【解析】
(1) 如图,过 $A$ 作 $AH⊥ CD$ 于 $H$,则 $∠ B=∠ AHC=90°$.
$\because CA$ 平分 $∠ BCD$,
$\therefore AB=AH$,$∠ BCA=∠ DCA$.
$\because ∠ ABC=90°$,$AC⊥ AD$,
$\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°$,$∠ ACD+∠ D=90°$.
$\because ∠ BAE=∠ ACD$,$\therefore ∠ AEB=∠ D$.
又 $∠ B=∠ AHD=90°$,$AB=AH$,
$\therefore △ ABE≌△ AHD$（AAS）,$\therefore AD=AE$.
(2) 如图,连接 $EF$,交 $AC$ 于点 $G$.
$\because F$ 为 $CD$ 的中点,$∠ CAD=90°$,
$\therefore AF=CF=DF$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）,$\therefore ∠ FAC=∠ FCA$.
$\because ∠ BCA=∠ DCA$,$\therefore ∠ BCA=∠ FAC$,
$\therefore AF// BC$,$\therefore △ EGC∽△ FGA$,$\therefore \dfrac{EC}{AF}=\dfrac{CG}{AG}$.
$\because ∠ FEC=2∠ BAE$,$\therefore ∠ FEC=2∠ ACD=∠ BCD$,
$\therefore EF=CF$,$\therefore AF=EF=CF$.
将$AF=EF$代入$\dfrac{EC}{AF}=\dfrac{CG}{AG}$，交叉相乘得$CG· EF=CE· AG$.
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题为几何综合证明题，融合了多个核心几何知识点，需要熟练掌握辅助线的构造方法，以及等积式和比例式的转化思路，对逻辑推理和等量代换能力有一定的考察要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AD=AE，可通过证明两条线段所在三角形全等实现。已知CA平分∠BCD，根据角平分线的性质，过A作AH⊥CD于H，即可得到AB=AH这组等边，再结合已知直角条件和∠BAE=∠ACD，推导对应角相等，就能证明△ABE和△AHD全等，得到AD=AE。
(2) 要证明等积式CG·EF=CE·AG，先将其转化为比例式$\frac{CG}{AG}=\frac{CE}{EF}$。首先利用直角三角形斜边中线的性质得到AF=CF，推导AF//BC，可得△EGC∽△FGA，得到比例$\frac{EC}{AF}=\frac{CG}{AG}$，再结合已知角的关系证明EF=CF=AF，等量代换后即可得证。
【解析】
(1) 如图,过 $A$ 作 $AH⊥ CD$ 于 $H$,则 $∠ B=∠ AHC=90°$.
$\because CA$ 平分 $∠ BCD$,
$\therefore AB=AH$,$∠ BCA=∠ DCA$.
$\because ∠ ABC=90°$,$AC⊥ AD$,
$\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°$,$∠ ACD+∠ D=90°$.
$\because ∠ BAE=∠ ACD$,$\therefore ∠ AEB=∠ D$.
又 $∠ B=∠ AHD=90°$,$AB=AH$,
$\therefore △ ABE≌△ AHD$（AAS）,$\therefore AD=AE$.
(2) 如图,连接 $EF$,交 $AC$ 于点 $G$.
$\because F$ 为 $CD$ 的中点,$∠ CAD=90°$,
$\therefore AF=CF=DF$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）,$\therefore ∠ FAC=∠ FCA$.
$\because ∠ BCA=∠ DCA$,$\therefore ∠ BCA=∠ FAC$,
$\therefore AF// BC$,$\therefore △ EGC∽△ FGA$,$\therefore \dfrac{EC}{AF}=\dfrac{CG}{AG}$.
$\because ∠ FEC=2∠ BAE$,$\therefore ∠ FEC=2∠ ACD=∠ BCD$,
$\therefore EF=CF$,$\therefore AF=EF=CF$.
将$AF=EF$代入$\dfrac{EC}{AF}=\dfrac{CG}{AG}$，交叉相乘得$CG· EF=CE· AG$.
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题为几何综合证明题，融合了多个核心几何知识点，需要熟练掌握辅助线的构造方法，以及等积式和比例式的转化思路，对逻辑推理和等量代换能力有一定的考察要求。
【难度系数】
0.6
