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20.(10分)如图1,滕王阁,江南三大名楼之一,位于江西省南昌市,始建于唐朝永徽四年,因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色”而流芳后世.数学实践小组要测量滕王阁的高度,如图2,小组成员甲在点A处测得滕王阁最高点C的仰角∠CAE=45°,再沿正对滕王阁方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=58°,AB=21.6 m,小组成员乙在点G处竖立标杆FG,点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上,FG=1.6 m,GD=2 m.
(1)求滕王阁的高度CE;(结果精确到1 m,参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
(2)求乙同学与滕王阁之间的距离EG.
(1)求滕王阁的高度CE;(结果精确到1 m,参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
(2)求乙同学与滕王阁之间的距离EG.
答案
20.解:(1)$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ CAE$ 中,$∠ CAE=45°$,
$\therefore CE=AE. \because AB=21.6\ \mathrm{m}$,
$\therefore BE=AE-AB=CE-AB=(CE-21.6)\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CEB$ 中,
$\tan∠ CBE=\tan58°=\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{CE}{CE-21.6}$,
$\therefore 1.60\approx\dfrac{CE}{CE-21.6}$,解得 $CE=57.6\ \mathrm{m}\approx58\ \mathrm{m}$.
答:滕王阁的高度 $CE$ 约为 $58\ \mathrm{m}$.
(2)由题意,知 $∠ CED=90°=∠ FGD$,$∠ FDG=∠ CDE$,
$\therefore △ FGD∽△ CED$,$\therefore \dfrac{FG}{CE}=\dfrac{GD}{ED}$,
即 $\dfrac{1.6}{58}=\dfrac{2}{ED}$,解得 $ED=72.5\ \mathrm{m}$.
$\therefore EG=ED-GD=72.5-2=70.5(\mathrm{m})$.
答:乙同学与滕王阁之间的距离 $EG$ 约为 $70.5\ \mathrm{m}$.
$\therefore CE=AE. \because AB=21.6\ \mathrm{m}$,
$\therefore BE=AE-AB=CE-AB=(CE-21.6)\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ CEB$ 中,
$\tan∠ CBE=\tan58°=\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{CE}{CE-21.6}$,
$\therefore 1.60\approx\dfrac{CE}{CE-21.6}$,解得 $CE=57.6\ \mathrm{m}\approx58\ \mathrm{m}$.
答:滕王阁的高度 $CE$ 约为 $58\ \mathrm{m}$.
(2)由题意,知 $∠ CED=90°=∠ FGD$,$∠ FDG=∠ CDE$,
$\therefore △ FGD∽△ CED$,$\therefore \dfrac{FG}{CE}=\dfrac{GD}{ED}$,
即 $\dfrac{1.6}{58}=\dfrac{2}{ED}$,解得 $ED=72.5\ \mathrm{m}$.
$\therefore EG=ED-GD=72.5-2=70.5(\mathrm{m})$.
答:乙同学与滕王阁之间的距离 $EG$ 约为 $70.5\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 求滕王阁高度CE时，首先观察到CE垂直AD，Rt△CAE中∠CAE=45°，可推出CE=AE，进而得到BE=CE-AB；再在Rt△CBE中利用∠CBE的正切值建立关于CE的方程，解方程即可求出CE的长度。
(2) 求EG长度时，首先根据FG和CE均垂直AD、且两个三角形共∠D，可判定△FGD与△CED相似，利用相似三角形对应边成比例先求出ED的长度，再减去GD的长度即可得到EG的长度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，$∠ CAE=45°$，
$\therefore CE=AE$。
$\because AB=21.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AE-AB=CE-AB=(CE-21.6)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$\tan∠ CBE=\tan58°=\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{CE}{CE-21.6}$，
代入$\tan58°\approx1.60$，得$1.60\approx\dfrac{CE}{CE-21.6}$，
解得$CE=57.6\ \mathrm{m}\approx58\ \mathrm{m}$。
答：滕王阁的高度$CE$约为$58\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得$∠ CED=90°=∠ FGD$，又$∠ FDG=∠ CDE$，
$\therefore △ FGD∽△ CED$，
$\therefore \dfrac{FG}{CE}=\dfrac{GD}{ED}$，
代入$FG=1.6\ \mathrm{m}$，$GD=2\ \mathrm{m}$，$CE\approx58\ \mathrm{m}$，得$\dfrac{1.6}{58}=\dfrac{2}{ED}$，
解得$ED=72.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore EG=ED-GD=72.5-2=70.5(\mathrm{m})$。
答：乙同学与滕王阁之间的距离$EG$约为$70.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 约$58\ \mathrm{m}$；
(2) 约$70.5\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数应用
【点评】
本题以实际测量建筑高度为背景，结合生活场景考查几何知识的应用，既需要掌握仰角的含义、锐角三角函数的计算方法，也需要熟练识别相似三角形模型，能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求滕王阁高度CE时，首先观察到CE垂直AD，Rt△CAE中∠CAE=45°，可推出CE=AE，进而得到BE=CE-AB；再在Rt△CBE中利用∠CBE的正切值建立关于CE的方程，解方程即可求出CE的长度。
(2) 求EG长度时，首先根据FG和CE均垂直AD、且两个三角形共∠D，可判定△FGD与△CED相似，利用相似三角形对应边成比例先求出ED的长度，再减去GD的长度即可得到EG的长度。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，$∠ CAE=45°$，
$\therefore CE=AE$。
$\because AB=21.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AE-AB=CE-AB=(CE-21.6)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$\tan∠ CBE=\tan58°=\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{CE}{CE-21.6}$，
代入$\tan58°\approx1.60$，得$1.60\approx\dfrac{CE}{CE-21.6}$，
解得$CE=57.6\ \mathrm{m}\approx58\ \mathrm{m}$。
答：滕王阁的高度$CE$约为$58\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得$∠ CED=90°=∠ FGD$，又$∠ FDG=∠ CDE$，
$\therefore △ FGD∽△ CED$，
$\therefore \dfrac{FG}{CE}=\dfrac{GD}{ED}$，
代入$FG=1.6\ \mathrm{m}$，$GD=2\ \mathrm{m}$，$CE\approx58\ \mathrm{m}$，得$\dfrac{1.6}{58}=\dfrac{2}{ED}$，
解得$ED=72.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore EG=ED-GD=72.5-2=70.5(\mathrm{m})$。
答：乙同学与滕王阁之间的距离$EG$约为$70.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 约$58\ \mathrm{m}$；
(2) 约$70.5\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数应用
【点评】
本题以实际测量建筑高度为背景，结合生活场景考查几何知识的应用，既需要掌握仰角的含义、锐角三角函数的计算方法，也需要熟练识别相似三角形模型，能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
21.(10分)如图,在△ABD中,AC为BD边上的高,过点C作AD的垂线,垂足为E.若AB=17,BD=28,∠B的余弦值为$\frac{8}{17}$.
(1)求CE的长;
(2)连接BE交边AC于点F,求BF:FE的值.
(1)求CE的长;
(2)连接BE交边AC于点F,求BF:FE的值.
答案
21.解:(1)$\because AB=17$,$\cos B=\dfrac{8}{17}$,$AC⊥ BD$,
$\therefore BC=AB\cos B=17×\dfrac{8}{17}=8$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$.
又 $\because BD=28$,$\therefore CD=BD-BC=20$,
$\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$.
$\because S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}AD· CE=\dfrac{1}{2}AC· CD$,
$\therefore CE=\dfrac{AC· CD}{AD}=\dfrac{15×20}{25}=12$.
(2)如图,过点 $E$ 作 $EH⊥ AC$ 于点 $H$,
$\therefore EH// CD$,$\therefore △ AHE∽△ ACD$,
$\therefore \dfrac{HE}{CD}=\dfrac{AE}{AD}$. ①
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 中,
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$,
代入①,得 $\dfrac{HE}{20}=\dfrac{9}{25}$,$\therefore HE=7.2$.
$\because EH// BC$,$\therefore △ HEF∽△ CBF$,
$\therefore \dfrac{BF}{FE}=\dfrac{BC}{HE}=\dfrac{8}{7.2}=\dfrac{10}{9}$.
解析
【分析】
(1) 求解CE的长可按以下思路：首先在Rt△ABC中，利用∠B的余弦值和AB的长度求出BC，再通过勾股定理计算AC；接着由BD的长度求出CD，再用勾股定理求出AD的长度；最后利用△ACD面积的两种表示方法（分别以AD、CD为底），通过等面积法即可求出CE的长度。
(2) 求解BF:FE的比值：过点E作EH⊥AC，可得EH与CD、BC平行，首先证明△AHE∽△ACD，先在Rt△AEC中用勾股定理求出AE，结合相似三角形的性质求出EH的长度；再证明△HEF∽△CBF，利用相似三角形对应边成比例即可得到BF与FE的比值。
【解析】
(1) $\because AB=17$，$\cos B=\dfrac{8}{17}$，$AC⊥ BD$，
$\therefore BC=AB\cos B=17×\dfrac{8}{17}=8$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$。
$\because BD=28$，$\therefore CD=BD-BC=28-8=20$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$。
$\because CE⊥ AD$，$\therefore S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}AD· CE=\dfrac{1}{2}AC· CD$，
$\therefore CE=\dfrac{AC· CD}{AD}=\dfrac{15×20}{25}=12$。
(2) 如图，过点 $E$ 作 $EH⊥ AC$ 于点 $H$，
$\because EH⊥ AC$，$CD⊥ AC$，$\therefore EH// CD$，$\therefore △ AHE∽△ ACD$，
$\therefore \dfrac{HE}{CD}=\dfrac{AE}{AD}$ ①。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
将$AE=9$，$CD=20$，$AD=25$代入①，得 $\dfrac{HE}{20}=\dfrac{9}{25}$，$\therefore HE=7.2$。
$\because EH⊥ AC$，$BC⊥ AC$，$\therefore EH// BC$，$\therefore △ HEF∽△ CBF$，
$\therefore \dfrac{BF}{FE}=\dfrac{BC}{HE}=\dfrac{8}{7.2}=\dfrac{10}{9}$。
【答案】
(1) $CE$的长为$\boldsymbol{12}$；
(2) $BF:FE$的值为$\boldsymbol{\dfrac{10}{9}}$。
【知识点】
解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等面积法求高
【点评】
本题属于几何综合计算题，第一问侧重基础，考查了三角函数定义、勾股定理和等面积法的应用；第二问的核心是构造平行线得到相似三角形，考查了学生的辅助线构造能力和相似性质的应用能力，解题时注意线段比例关系的转化。
【难度系数】
0.65
(1) 求解CE的长可按以下思路：首先在Rt△ABC中，利用∠B的余弦值和AB的长度求出BC，再通过勾股定理计算AC；接着由BD的长度求出CD，再用勾股定理求出AD的长度；最后利用△ACD面积的两种表示方法（分别以AD、CD为底），通过等面积法即可求出CE的长度。
(2) 求解BF:FE的比值：过点E作EH⊥AC，可得EH与CD、BC平行，首先证明△AHE∽△ACD，先在Rt△AEC中用勾股定理求出AE，结合相似三角形的性质求出EH的长度；再证明△HEF∽△CBF，利用相似三角形对应边成比例即可得到BF与FE的比值。
【解析】
(1) $\because AB=17$，$\cos B=\dfrac{8}{17}$，$AC⊥ BD$，
$\therefore BC=AB\cos B=17×\dfrac{8}{17}=8$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$。
$\because BD=28$，$\therefore CD=BD-BC=28-8=20$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$。
$\because CE⊥ AD$，$\therefore S_{△ ADC}=\dfrac{1}{2}AD· CE=\dfrac{1}{2}AC· CD$，
$\therefore CE=\dfrac{AC· CD}{AD}=\dfrac{15×20}{25}=12$。
(2) 如图，过点 $E$ 作 $EH⊥ AC$ 于点 $H$，
$\because EH⊥ AC$，$CD⊥ AC$，$\therefore EH// CD$，$\therefore △ AHE∽△ ACD$，
$\therefore \dfrac{HE}{CD}=\dfrac{AE}{AD}$ ①。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
将$AE=9$，$CD=20$，$AD=25$代入①，得 $\dfrac{HE}{20}=\dfrac{9}{25}$，$\therefore HE=7.2$。
$\because EH⊥ AC$，$BC⊥ AC$，$\therefore EH// BC$，$\therefore △ HEF∽△ CBF$，
$\therefore \dfrac{BF}{FE}=\dfrac{BC}{HE}=\dfrac{8}{7.2}=\dfrac{10}{9}$。
【答案】
(1) $CE$的长为$\boldsymbol{12}$；
(2) $BF:FE$的值为$\boldsymbol{\dfrac{10}{9}}$。
【知识点】
解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等面积法求高
【点评】
本题属于几何综合计算题，第一问侧重基础，考查了三角函数定义、勾股定理和等面积法的应用；第二问的核心是构造平行线得到相似三角形，考查了学生的辅助线构造能力和相似性质的应用能力，解题时注意线段比例关系的转化。
【难度系数】
0.65
