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7. 在$△ ABC$中，若$\left| \cos A - \dfrac{1}{2} \right| + \sqrt{\tan B - 1} = 0$，则$∠ C=$
$75°$
.答案
7.$75°$
解析
【分析】
解题时首先要明确绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此可列出关于cosA和tanB的等式，求出它们的值后，结合特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，最后根据三角形内角和为180°即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵绝对值和算术平方根均为非负数，且$\left| \cos A - \dfrac{1}{2} \right| + \sqrt{\tan B - 1} = 0$
∴$\cos A - \dfrac{1}{2} = 0$，$\tan B - 1 = 0$
即$\cos A = \dfrac{1}{2}$，$\tan B = 1$
又
∵∠A、∠B是△ABC的内角，取值范围为$0° ＜ ∠ A, ∠ B ＜ 180°$
∴$∠ A = 60°$，$∠ B = 45°$
根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
∴$∠ C = 180° - 60° - 45° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是掌握非负项和为0的性质，熟记常见特殊角的三角函数值，再结合三角形内角和公式即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此可列出关于cosA和tanB的等式，求出它们的值后，结合特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，最后根据三角形内角和为180°即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵绝对值和算术平方根均为非负数，且$\left| \cos A - \dfrac{1}{2} \right| + \sqrt{\tan B - 1} = 0$
∴$\cos A - \dfrac{1}{2} = 0$，$\tan B - 1 = 0$
即$\cos A = \dfrac{1}{2}$，$\tan B = 1$
又
∵∠A、∠B是△ABC的内角，取值范围为$0° ＜ ∠ A, ∠ B ＜ 180°$
∴$∠ A = 60°$，$∠ B = 45°$
根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
∴$∠ C = 180° - 60° - 45° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是掌握非负项和为0的性质，熟记常见特殊角的三角函数值，再结合三角形内角和公式即可求解。
【难度系数】
0.8
8.用计算器计算:$\cos 63°54'\approx$
0.439 9
（精确到0.000 1）,已知$\tan A=1.594\ 1$,则$∠ A\approx$ $57.90°$
（精确到$0.01°$）.答案
8.0.439 9 57.90°
解析
【分析】
本题包含两类三角函数相关计算，第一问是已知角度求余弦值，第二问是已知正切值求对应角度。解题思路如下：①先将第一问的度分形式换算为度的形式，同时确保计算器切换到角度制模式，再计算余弦值，按要求保留四位小数；②第二问需使用计算器的反正切（$\tan^{-1}$）功能，输入已知的正切值，得到对应角度后按要求保留两位小数即可。
【解析】
1. 计算$\cos 63°54'$：
根据角度换算规则$1°=60'$，可得$54'=\frac{54}{60}=0.9°$，因此$63°54'=63.9°$。
将计算器调整为角度制模式，输入$\cos63.9°$，计算得结果约为$0.4399$（精确到0.0001）。
2. 已知$\tan A=1.5941$，求$∠ A$：
在角度制模式下，按下计算器的反正切功能键（$\tan^{-1}$），输入数值$1.5941$，计算得$∠ A\approx57.90°$（精确到$0.01°$）。
【答案】
$0.4399$；$57.90°$
【知识点】
度分秒换算；计算器求三角函数值；计算器求反三角函数值
【点评】
本题重点考查三角函数相关的计算器操作，解题时要注意先确认计算器处于角度制模式，严格按照题目要求的精度保留结果，掌握度分秒和度的换算规则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
本题包含两类三角函数相关计算，第一问是已知角度求余弦值，第二问是已知正切值求对应角度。解题思路如下：①先将第一问的度分形式换算为度的形式，同时确保计算器切换到角度制模式，再计算余弦值，按要求保留四位小数；②第二问需使用计算器的反正切（$\tan^{-1}$）功能，输入已知的正切值，得到对应角度后按要求保留两位小数即可。
【解析】
1. 计算$\cos 63°54'$：
根据角度换算规则$1°=60'$，可得$54'=\frac{54}{60}=0.9°$，因此$63°54'=63.9°$。
将计算器调整为角度制模式，输入$\cos63.9°$，计算得结果约为$0.4399$（精确到0.0001）。
2. 已知$\tan A=1.5941$，求$∠ A$：
在角度制模式下，按下计算器的反正切功能键（$\tan^{-1}$），输入数值$1.5941$，计算得$∠ A\approx57.90°$（精确到$0.01°$）。
【答案】
$0.4399$；$57.90°$
【知识点】
度分秒换算；计算器求三角函数值；计算器求反三角函数值
【点评】
本题重点考查三角函数相关的计算器操作，解题时要注意先确认计算器处于角度制模式，严格按照题目要求的精度保留结果，掌握度分秒和度的换算规则是解题的基础。
【难度系数】
0.8
9. 如图，A、B、C均在正方形网格中的格点(小正方形的顶点)处，则$\cos B$的值为
$\dfrac{4}{5}$
。答案
9.$\dfrac{4}{5}$
解析
【分析】
要求cos∠B的值，根据锐角余弦的定义，余弦是锐角的邻边与斜边的比值，因此需要先构造出包含∠B的直角三角形。我们可以设每个小正方形的边长为1，过点A作AD垂直于BC所在直线，得到Rt△ABD，再分别计算∠B的邻边BD和斜边AB的长度，最后代入余弦定义计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D。
由网格特征可得：$BD=4$，$AD=3$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
根据锐角余弦的定义，$\cos B=\frac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
1. 余弦的定义
2. 勾股定理
【点评】
本题是网格中锐角三角函数求值的典型题型，解题的核心是构造出包含待求角的直角三角形，再结合网格特征和勾股定理得到相关线段的长度，代入三角函数定义即可求解，解题时要注意准确计数网格中线段的长度，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.8
要求cos∠B的值，根据锐角余弦的定义，余弦是锐角的邻边与斜边的比值，因此需要先构造出包含∠B的直角三角形。我们可以设每个小正方形的边长为1，过点A作AD垂直于BC所在直线，得到Rt△ABD，再分别计算∠B的邻边BD和斜边AB的长度，最后代入余弦定义计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D。
由网格特征可得：$BD=4$，$AD=3$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
根据锐角余弦的定义，$\cos B=\frac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
1. 余弦的定义
2. 勾股定理
【点评】
本题是网格中锐角三角函数求值的典型题型，解题的核心是构造出包含待求角的直角三角形，再结合网格特征和勾股定理得到相关线段的长度，代入三角函数定义即可求解，解题时要注意准确计数网格中线段的长度，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.8
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$为边$BC$上的一点，$BD=2CD$，$AB=9$，$\sin B=\frac{2}{3}$，则$AD=$
$\sqrt{41}$
。答案
10.$\sqrt{41}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先在Rt△ABC中，利用正弦的定义，结合已知的AB长度和sinB的值，求出直角边AC的长度；第二步，用勾股定理求出BC的长度，再根据BD=2CD的比例关系，算出CD的长度；第三步，在Rt△ACD中，再次使用勾股定理，即可求出AD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，$AB=9$，可得：
$AC=AB×\frac{2}{3}=9×\frac{2}{3}=6$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{9^2-6^2}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
$\because BD=2CD$，即$BC=BD+CD=3CD$，
$\therefore CD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×3\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{36+5}=\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，比例线段计算
【点评】
本题属于直角三角形的基础计算题，核心考查三角函数和勾股定理的结合应用，解题时需找准对应的直角三角形，逐步推导未知线段的长度即可求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先在Rt△ABC中，利用正弦的定义，结合已知的AB长度和sinB的值，求出直角边AC的长度；第二步，用勾股定理求出BC的长度，再根据BD=2CD的比例关系，算出CD的长度；第三步，在Rt△ACD中，再次使用勾股定理，即可求出AD的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，$AB=9$，可得：
$AC=AB×\frac{2}{3}=9×\frac{2}{3}=6$。
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{9^2-6^2}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
$\because BD=2CD$，即$BC=BD+CD=3CD$，
$\therefore CD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×3\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{36+5}=\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，比例线段计算
【点评】
本题属于直角三角形的基础计算题，核心考查三角函数和勾股定理的结合应用，解题时需找准对应的直角三角形，逐步推导未知线段的长度即可求解。
【难度系数】
0.7
11. 在$△ ABC$中，$\sin A=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$（$∠ A$是锐角），$∠ B=45°$，$AC=\sqrt{10}$，那么$AB$的长为
$4$
。答案
11.4
解析
【分析】
要求AB的长度，可通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解。首先过点C作CD⊥AB于D，把△ABC拆分为两个直角三角形：第一步在Rt△ACD中，利用已知的∠A的正弦值和AC的边长，先求出高CD的长度，再用勾股定理求出AD的长度；第二步在Rt△BCD中，结合∠B=45°的条件，可得该三角形为等腰直角三角形，即BD=CD；最后将AD和BD相加即可得到AB的总长。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，已知$AC=\sqrt{10}$，$\sin A=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，
则$CD=AC·\sin A=\sqrt{10}×\dfrac{\sqrt{10}}{10}=1$。
由勾股定理可得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-1^2}=\sqrt{10-1}=3$。
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°，
所以∠BCD=90°-∠B=45°，即∠BCD=∠B，
因此$BD=CD=1$。
故$AB=AD+BD=3+1=4$。
【答案】
4
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题解题核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合特殊角的性质、锐角三角函数和勾股定理计算，思路较为常规，掌握辅助线构造方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求AB的长度，可通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解。首先过点C作CD⊥AB于D，把△ABC拆分为两个直角三角形：第一步在Rt△ACD中，利用已知的∠A的正弦值和AC的边长，先求出高CD的长度，再用勾股定理求出AD的长度；第二步在Rt△BCD中，结合∠B=45°的条件，可得该三角形为等腰直角三角形，即BD=CD；最后将AD和BD相加即可得到AB的总长。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，已知$AC=\sqrt{10}$，$\sin A=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，
则$CD=AC·\sin A=\sqrt{10}×\dfrac{\sqrt{10}}{10}=1$。
由勾股定理可得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-1^2}=\sqrt{10-1}=3$。
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°，
所以∠BCD=90°-∠B=45°，即∠BCD=∠B，
因此$BD=CD=1$。
故$AB=AD+BD=3+1=4$。
【答案】
4
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题解题核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合特殊角的性质、锐角三角函数和勾股定理计算，思路较为常规，掌握辅助线构造方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=30°$，延长$CB$到点$D$，连接$AD$.若$∠ D=15°$，则$\tan∠ BAD=\_\_\_\_\_\_$.(结果保留根号)
答案
12.$2-\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先利用三角形外角的性质求出∠BAD的度数，可得∠BAD=∠D，根据等角对等边推出BD=AB；再设Rt△ABC中AC的长度为1，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB、BC的长度，进而得到DC的长度，最后在Rt△ADC中求出tan15°即tan∠BAD的值，计算时做好分母有理化即可。
【解析】
解：
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠ABC=∠D+∠BAD，
已知∠ABC=30°，∠D=15°，
∴∠BAD=30°-15°=15°，即∠BAD=∠D，
∴BD=AB（等角对等边）。
设AC=1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2（30°角所对直角边等于斜边的一半），
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴BD=AB=2，$DC=BD+BC=2+\sqrt{3}$，
在Rt△ADC中，$\tan D=\frac{AC}{DC}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，
∵∠BAD=∠D=15°，
∴$\tan∠BAD=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形判定，锐角三角函数计算
【点评】
本题综合考查了三角形相关性质和锐角三角函数的应用，解题关键是先推导得到∠BAD的度数为15°，再通过设参数的方法表示出对应边长，计算正切值时要正确掌握分母有理化的运算规则。
【难度系数】
0.6
首先利用三角形外角的性质求出∠BAD的度数，可得∠BAD=∠D，根据等角对等边推出BD=AB；再设Rt△ABC中AC的长度为1，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB、BC的长度，进而得到DC的长度，最后在Rt△ADC中求出tan15°即tan∠BAD的值，计算时做好分母有理化即可。
【解析】
解：
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠ABC=∠D+∠BAD，
已知∠ABC=30°，∠D=15°，
∴∠BAD=30°-15°=15°，即∠BAD=∠D，
∴BD=AB（等角对等边）。
设AC=1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2（30°角所对直角边等于斜边的一半），
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴BD=AB=2，$DC=BD+BC=2+\sqrt{3}$，
在Rt△ADC中，$\tan D=\frac{AC}{DC}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，
∵∠BAD=∠D=15°，
∴$\tan∠BAD=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形判定，锐角三角函数计算
【点评】
本题综合考查了三角形相关性质和锐角三角函数的应用，解题关键是先推导得到∠BAD的度数为15°，再通过设参数的方法表示出对应边长，计算正切值时要正确掌握分母有理化的运算规则。
【难度系数】
0.6
13.座椅是我们日常生活中不可或缺的物品.如图,在调节椅背的过程中,椅面AB始终保持水平状态,支撑架AC、BD与水平地面的夹角也始终保持不变.已知椅背AE的长度为90 cm,当椅背AE与椅面AB的夹角从$150°$调整到$135°$时,椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约
$18.5$
cm.(结果精确到0.1 cm,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$)答案
13.18.5
解析
【分析】
要求头部支撑点E向上抬高的高度，本质是求两种状态下E点到水平椅面AB的竖直高度的差值。已知AE长度固定为90cm，我们可以分别计算∠EAB为150°和135°时，E点距离AB的竖直高度，再作差即可得到结果。首先利用平角定义求出AE与AB所在水平线的锐夹角，再借助正弦函数计算对应竖直高度。
【解析】
解：由题意得AE=AE'=90cm，抬高的高度为E'和E到水平AB的竖直高度之差。
当∠EAB=150°时，AE与水平线AB的锐夹角为$180°-150°=30°$，此时E的竖直高度：
$h_1=AE·\sin30°=90×\frac{1}{2}=45\ \mathrm{cm}$
当∠E'AB=135°时，AE'与水平线AB的锐夹角为$180°-135°=45°$，此时E'的竖直高度：
$h_2=AE'·\sin45°=90×\frac{\sqrt{2}}{2}=45\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
则抬高的高度：
$\Delta h=h_2-h_1=45\sqrt{2}-45=45(\sqrt{2}-1)$
代入$\sqrt{2}\approx1.41$，得：
$\Delta h\approx45×(1.41-1)=45×0.41=18.45\approx18.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
18.5
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题贴合生活实际，将座椅调节的场景转化为几何计算问题，解题关键是准确提取几何关系，将实际高度差转化为直角三角形的边长差求解，能够很好地考查学生知识应用的能力。
【难度系数】
0.7
要求头部支撑点E向上抬高的高度，本质是求两种状态下E点到水平椅面AB的竖直高度的差值。已知AE长度固定为90cm，我们可以分别计算∠EAB为150°和135°时，E点距离AB的竖直高度，再作差即可得到结果。首先利用平角定义求出AE与AB所在水平线的锐夹角，再借助正弦函数计算对应竖直高度。
【解析】
解：由题意得AE=AE'=90cm，抬高的高度为E'和E到水平AB的竖直高度之差。
当∠EAB=150°时，AE与水平线AB的锐夹角为$180°-150°=30°$，此时E的竖直高度：
$h_1=AE·\sin30°=90×\frac{1}{2}=45\ \mathrm{cm}$
当∠E'AB=135°时，AE'与水平线AB的锐夹角为$180°-135°=45°$，此时E'的竖直高度：
$h_2=AE'·\sin45°=90×\frac{\sqrt{2}}{2}=45\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
则抬高的高度：
$\Delta h=h_2-h_1=45\sqrt{2}-45=45(\sqrt{2}-1)$
代入$\sqrt{2}\approx1.41$，得：
$\Delta h\approx45×(1.41-1)=45×0.41=18.45\approx18.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
18.5
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题贴合生活实际，将座椅调节的场景转化为几何计算问题，解题关键是准确提取几何关系，将实际高度差转化为直角三角形的边长差求解，能够很好地考查学生知识应用的能力。
【难度系数】
0.7
14.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=10$，$\tan B=\frac{12}{5}$，E、D分别为AB、AC边上的点，且$∠ B=2∠ AED$，$BE=AD$，则AD的长为
$\dfrac{52}{5}$
。答案
14.$\frac{52}{5}$ 解析:$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\tan B=\frac{12}{5},∠ ACB=90°,BC=10,\therefore AC=24,$
$\therefore AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{10^2+24^2}=26.$
如图,过点 B 作$BF// DE$,交 AC 于点 F.
$\because BF// DE,\therefore ∠ AED=∠ ABF.$
$\because ∠ ABC=2∠ AED,$
$\therefore ∠ ABC=2∠ ABF,即BF平分∠ ABC.设CF=h,由角平分线性质得F到AB的距离也为h.$
$\because S_{△ ABC}=S_{△ BCF}+S_{△ ABF}=\frac{1}{2}BC· CF+\frac{1}{2}AB· h=120,即\frac{1}{2}×10h+\frac{1}{2}×26h=120,解得h=\frac{20}{3},$
故$CF=\frac{20}{3},\therefore AF=AC-CF=24-\frac{20}{3}=\frac{52}{3}.$
$\because BF// DE,\therefore △ AED∽ △ ABF.$
设$AD=BE=x$,则$AE=AB-BE=26-x,$
$\therefore \frac{AD}{AF}=\frac{AE}{AB},即\frac{x}{\frac{52}{3}}=\frac{26-x}{26},解得x=\frac{52}{5}.$
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形的三角函数和勾股定理求出$△ ABC$的三边长度；针对$∠ B=2∠ AED$的条件，通过作$BF// DE$构造平行线，将$∠ AED$转移为$∠ ABF$，转化得到$BF$是$∠ ABC$的角平分线；再利用角平分线的性质结合面积法求出$CF$、$AF$的长度；最后根据平行线得到相似三角形，设$AD=x$，利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可得到$AD$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{5}$，$BC=10$，
$\therefore AC=\frac{12}{5}× BC=\frac{12}{5}×10=24$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{10^2+24^2}=26$。
如图，过点$B$作$BF// DE$，交$AC$于点$F$，
$\because BF// DE$，$\therefore ∠ AED=∠ ABF$，
$\because ∠ ABC=2∠ AED$，
$\therefore ∠ ABC=2∠ ABF$，即$BF$平分$∠ ABC$。
设$CF=h$，根据角平分线的性质，点$F$到$AB$的距离等于$CF$的长度，也为$h$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ BCF}+S_{△ ABF}$，且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AC=\frac{1}{2}×10×24=120$，
$\therefore \frac{1}{2}× BC× h + \frac{1}{2}× AB× h=120$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×10h+\frac{1}{2}×26h=120$，解得$h=\frac{20}{3}$，即$CF=\frac{20}{3}$，
$\therefore AF=AC-CF=24-\frac{20}{3}=\frac{52}{3}$。
$\because BF// DE$，$\therefore △ AED ∽ △ ABF$，
设$AD=BE=x$，则$AE=AB-BE=26-x$，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AD}{AF}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{x}{\frac{52}{3}}=\frac{26-x}{26}$，
解得$x=\frac{52}{5}$。
【答案】
$\frac{52}{5}$
【知识点】
解直角三角形；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合计算题，通过作平行线构造角平分线和相似三角形是解题的突破口，解题过程中需要结合面积法、方程思想进行计算，能有效考查对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用直角三角形的三角函数和勾股定理求出$△ ABC$的三边长度；针对$∠ B=2∠ AED$的条件，通过作$BF// DE$构造平行线，将$∠ AED$转移为$∠ ABF$，转化得到$BF$是$∠ ABC$的角平分线；再利用角平分线的性质结合面积法求出$CF$、$AF$的长度；最后根据平行线得到相似三角形，设$AD=x$，利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可得到$AD$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{5}$，$BC=10$，
$\therefore AC=\frac{12}{5}× BC=\frac{12}{5}×10=24$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{10^2+24^2}=26$。
如图，过点$B$作$BF// DE$，交$AC$于点$F$，
$\because BF// DE$，$\therefore ∠ AED=∠ ABF$，
$\because ∠ ABC=2∠ AED$，
$\therefore ∠ ABC=2∠ ABF$，即$BF$平分$∠ ABC$。
设$CF=h$，根据角平分线的性质，点$F$到$AB$的距离等于$CF$的长度，也为$h$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ BCF}+S_{△ ABF}$，且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AC=\frac{1}{2}×10×24=120$，
$\therefore \frac{1}{2}× BC× h + \frac{1}{2}× AB× h=120$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×10h+\frac{1}{2}×26h=120$，解得$h=\frac{20}{3}$，即$CF=\frac{20}{3}$，
$\therefore AF=AC-CF=24-\frac{20}{3}=\frac{52}{3}$。
$\because BF// DE$，$\therefore △ AED ∽ △ ABF$，
设$AD=BE=x$，则$AE=AB-BE=26-x$，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AD}{AF}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{x}{\frac{52}{3}}=\frac{26-x}{26}$，
解得$x=\frac{52}{5}$。
【答案】
$\frac{52}{5}$
【知识点】
解直角三角形；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合计算题，通过作平行线构造角平分线和相似三角形是解题的突破口，解题过程中需要结合面积法、方程思想进行计算，能有效考查对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
15.将梯子靠在墙壁顶端，墙壁的高度是4 m，若梯子的坡度i满足$1:1≤ i≤5:1$，则梯子的长度可以为
5.1(答案不唯一)
m.(用有理数表示，精确到0.1)答案
15.5.1(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先要明确坡度的定义：坡度i为铅直高度与水平宽度的比值。本题中铅直高度就是墙壁高度4m，先根据坡度的取值范围求出梯子底端到墙面的水平距离的范围，再结合勾股定理计算出梯子长度的取值范围，最后在该范围内任取一个精确到0.1的有理数值即可。
【解析】
设梯子底端到墙面的水平距离为$l\ \mathrm{m}$，梯子长度为$L\ \mathrm{m}$。
根据坡度的定义，坡度$i=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{4}{l}$，已知$1≤ i≤5$，可得不等式：
$1≤\frac{4}{l}≤5$
由于$l＞0$，解不等式：
左边：$1≤\frac{4}{l}\implies l≤4$；
右边：$\frac{4}{l}≤5\implies l≥\frac{4}{5}=0.8$；
即水平距离的范围是$0.8\ \mathrm{m}≤ l≤4\ \mathrm{m}$。
梯子是直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$L=\sqrt{4^2+l^2}=\sqrt{16+l^2}$
将$l$的范围代入计算：
当$l=0.8$时，$L=\sqrt{16+0.8^2}=\sqrt{16.64}\approx4.1$；
当$l=4$时，$L=\sqrt{16+4^2}=\sqrt{32}\approx5.7$；
因此梯子长度的取值范围为$4.1\ \mathrm{m}≤ L≤5.7\ \mathrm{m}$，在该范围内取精确到0.1的有理数即可，例如$5.1$。
【答案】
5.1（答案不唯一，在4.1~5.7之间均可）
【知识点】
坡度的定义、勾股定理、解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，解题的核心是正确理解坡度的定义，先求出水平距离的范围，再利用勾股定理得到梯子长度的取值范围，注意结果需满足精确到0.1的要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确坡度的定义：坡度i为铅直高度与水平宽度的比值。本题中铅直高度就是墙壁高度4m，先根据坡度的取值范围求出梯子底端到墙面的水平距离的范围，再结合勾股定理计算出梯子长度的取值范围，最后在该范围内任取一个精确到0.1的有理数值即可。
【解析】
设梯子底端到墙面的水平距离为$l\ \mathrm{m}$，梯子长度为$L\ \mathrm{m}$。
根据坡度的定义，坡度$i=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{4}{l}$，已知$1≤ i≤5$，可得不等式：
$1≤\frac{4}{l}≤5$
由于$l＞0$，解不等式：
左边：$1≤\frac{4}{l}\implies l≤4$；
右边：$\frac{4}{l}≤5\implies l≥\frac{4}{5}=0.8$；
即水平距离的范围是$0.8\ \mathrm{m}≤ l≤4\ \mathrm{m}$。
梯子是直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$L=\sqrt{4^2+l^2}=\sqrt{16+l^2}$
将$l$的范围代入计算：
当$l=0.8$时，$L=\sqrt{16+0.8^2}=\sqrt{16.64}\approx4.1$；
当$l=4$时，$L=\sqrt{16+4^2}=\sqrt{32}\approx5.7$；
因此梯子长度的取值范围为$4.1\ \mathrm{m}≤ L≤5.7\ \mathrm{m}$，在该范围内取精确到0.1的有理数即可，例如$5.1$。
【答案】
5.1（答案不唯一，在4.1~5.7之间均可）
【知识点】
坡度的定义、勾股定理、解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活实际考查几何知识的应用，解题的核心是正确理解坡度的定义，先求出水平距离的范围，再利用勾股定理得到梯子长度的取值范围，注意结果需满足精确到0.1的要求。
【难度系数】
0.7
16无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图,平谷区某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时,在距地面高度为130 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为$45°$.无人机垂直下降40 m至B处,又测得试验田左侧边界M处俯角为$30°$,则M、N之间的距离为
$(130+90\sqrt{3})\mathrm{m}$
.(结果保留根号)答案
16.$(130+90\sqrt{3})\mathrm{m}$
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的俯角应用问题，解题思路如下：首先明确AO垂直于地面MN，故△AON和△BOM均为直角三角形；先求出B点距离地面的高度BO，再利用俯角对应的内错角相等，得到两个直角三角形的内角，分别结合特殊角的三角函数值求出OM和ON的长度，MN的长度就是OM与ON的和。
【解析】
由题意可知，$AO⊥ MN$，即$∠ BOM=∠ AON=90°$，
已知$AO=130\ \mathrm{m}$，无人机垂直下降$40\ \mathrm{m}$到B，故$BO=AO-AB=130-40=90\ \mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ AON$中，A处测得N处俯角为$45°$，根据平行线内错角相等可得$∠ ANO=45°$，
∴$△ AON$为等腰直角三角形，$ON=AO=130\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ BOM$中，B处测得M处俯角为$30°$，同理可得$∠ BMO=30°$，
由$\tan30°=\frac{BO}{OM}$，得$OM=\frac{BO}{\tan30°}=\frac{90}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=90\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴$MN=OM+ON=90\sqrt{3}+130=(130+90\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(130+90\sqrt{3})\mathrm{m}$
【知识点】
1. 俯角的概念 2. 解直角三角形 3. 特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题核心是将实际场景中的俯角条件转化为直角三角形的内角，结合特殊角的三角函数值计算对应边长即可求解，需注意计算时不要混淆三角函数的对边和邻边关系。
【难度系数】
0.7
本题属于解直角三角形的俯角应用问题，解题思路如下：首先明确AO垂直于地面MN，故△AON和△BOM均为直角三角形；先求出B点距离地面的高度BO，再利用俯角对应的内错角相等，得到两个直角三角形的内角，分别结合特殊角的三角函数值求出OM和ON的长度，MN的长度就是OM与ON的和。
【解析】
由题意可知，$AO⊥ MN$，即$∠ BOM=∠ AON=90°$，
已知$AO=130\ \mathrm{m}$，无人机垂直下降$40\ \mathrm{m}$到B，故$BO=AO-AB=130-40=90\ \mathrm{m}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ AON$中，A处测得N处俯角为$45°$，根据平行线内错角相等可得$∠ ANO=45°$，
∴$△ AON$为等腰直角三角形，$ON=AO=130\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ BOM$中，B处测得M处俯角为$30°$，同理可得$∠ BMO=30°$，
由$\tan30°=\frac{BO}{OM}$，得$OM=\frac{BO}{\tan30°}=\frac{90}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=90\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴$MN=OM+ON=90\sqrt{3}+130=(130+90\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(130+90\sqrt{3})\mathrm{m}$
【知识点】
1. 俯角的概念 2. 解直角三角形 3. 特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题核心是将实际场景中的俯角条件转化为直角三角形的内角，结合特殊角的三角函数值计算对应边长即可求解，需注意计算时不要混淆三角函数的对边和邻边关系。
【难度系数】
0.7
