登录
22.「2026 海南三亚期末，★★★」(12分)【问题感知】
(1) 如图 1,若 AB // CD,AM 平分∠BAC,求证:∠CAM =∠CMA.
请将下列证明过程补充完整.
证明:∵ AM 平分∠BAC(已知),
∴ ∠CAM=
∵ AB//CD(已知),
∴
∴ ∠CAM=∠CMA(等量代换).
【问题探索】
(2)如图 2,直线 AB,CD 被直线 AC 所截,AM 平分∠BAC,∠CAM=∠CMA,点 E 在射线 AB 上,点 F 在线段 CM 上,连接 EF,若∠AEF=∠C,求证:EF//AC.
【衍生拓展】
(3)如图 3,将(2)中的点 F 移动到线段 CM 的延长线上,其他条件不变,连接 ME,若∠CMA = 3∠MEF = 57°,求∠AME 的度数.
(1) 如图 1,若 AB // CD,AM 平分∠BAC,求证:∠CAM =∠CMA.
请将下列证明过程补充完整.
证明:∵ AM 平分∠BAC(已知),
∴ ∠CAM=
$∠BAM$
(角平分线的定义).∵ AB//CD(已知),
∴
$∠CMA$
=∠BAM(两直线平行,内错角相等).∴ ∠CAM=∠CMA(等量代换).
【问题探索】
(2)如图 2,直线 AB,CD 被直线 AC 所截,AM 平分∠BAC,∠CAM=∠CMA,点 E 在射线 AB 上,点 F 在线段 CM 上,连接 EF,若∠AEF=∠C,求证:EF//AC.
【衍生拓展】
(3)如图 3,将(2)中的点 F 移动到线段 CM 的延长线上,其他条件不变,连接 ME,若∠CMA = 3∠MEF = 57°,求∠AME 的度数.
答案
22.解析 (1)$∠BAM$;$∠CMA$.
(2)证明:$\because AM$ 平分$∠BAC,\therefore ∠CAM=∠BAM$,
$\because ∠CAM=∠CMA,\therefore ∠BAM=∠CMA$,
$\therefore AB// CD,\therefore ∠AEF=∠EFD$,
$\because ∠AEF=∠C,\therefore ∠EFD=∠C,\therefore EF// AC$.
(3)由(2)知$∠BAM=∠CMA,\because ∠CMA = 3∠MEF = 57°$,
$∠CAM=∠CMA,\therefore ∠CAM = ∠BAM = 57°,∠MEF = 19°$,
$\therefore ∠BAC=2×57°=114°$,
由(2)知$AB// CD,\therefore ∠C=180°-∠BAC=180°-114°=66°$,
$\because ∠AEF=∠C,\therefore ∠AEF=66°$,
$\therefore ∠AEM=66°-19°=47°,\because AB// CD,\therefore ∠AMC = ∠BAM = 57°,∠DME = ∠AEM = 47°, \therefore ∠AME = 180° - ∠AMC - ∠DME = 180°-57°-47°=76°$.
(2)证明:$\because AM$ 平分$∠BAC,\therefore ∠CAM=∠BAM$,
$\because ∠CAM=∠CMA,\therefore ∠BAM=∠CMA$,
$\therefore AB// CD,\therefore ∠AEF=∠EFD$,
$\because ∠AEF=∠C,\therefore ∠EFD=∠C,\therefore EF// AC$.
(3)由(2)知$∠BAM=∠CMA,\because ∠CMA = 3∠MEF = 57°$,
$∠CAM=∠CMA,\therefore ∠CAM = ∠BAM = 57°,∠MEF = 19°$,
$\therefore ∠BAC=2×57°=114°$,
由(2)知$AB// CD,\therefore ∠C=180°-∠BAC=180°-114°=66°$,
$\because ∠AEF=∠C,\therefore ∠AEF=66°$,
$\therefore ∠AEM=66°-19°=47°,\because AB// CD,\therefore ∠AMC = ∠BAM = 57°,∠DME = ∠AEM = 47°, \therefore ∠AME = 180° - ∠AMC - ∠DME = 180°-57°-47°=76°$.
