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例 如图①，在$\odot O$中，CD是直径，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接AC，AD.
（1）求证：$∠ C=∠ BAD$；
（2）若$∠ C=30°$，$CD=6$，求$\overset{\frown}{AB}$的长（结果保留$π$）.
图① 图② 图③
（1）证明 如图②，设AB，CD的交点为E.
因为CD是$\odot O$的直径，所以$∠ CAD=90°$.
所以$∠ C+∠ D=90°$.
因为D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
所以$AB⊥ CD$. 所以$∠ AED=90°$.
所以$∠ BAD+∠ D=90°$. 所以$∠ C=∠ BAD$.
（2）解 如图③，连接OA，OB.
因为$∠ C=30°$，所以$∠ AOD=2∠ C=2×30°=60°$.
因为D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
所以$∠ AOD=∠ BOD=60°$.
所以$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=120°$.
因为$CD=6$，所以$OC=OD=3$.
所以$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120×π×3}{180}=2π$.
—特别提醒
在本书中，如无特殊说明，$π$取3.14.
—解题要点
根据圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理和弧长公式可解决此题，正确作出辅助线是解题的关键.
（1）求证：$∠ C=∠ BAD$；
（2）若$∠ C=30°$，$CD=6$，求$\overset{\frown}{AB}$的长（结果保留$π$）.
图① 图② 图③
（1）证明 如图②，设AB，CD的交点为E.
因为CD是$\odot O$的直径，所以$∠ CAD=90°$.
所以$∠ C+∠ D=90°$.
因为D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
所以$AB⊥ CD$. 所以$∠ AED=90°$.
所以$∠ BAD+∠ D=90°$. 所以$∠ C=∠ BAD$.
（2）解 如图③，连接OA，OB.
因为$∠ C=30°$，所以$∠ AOD=2∠ C=2×30°=60°$.
因为D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
所以$∠ AOD=∠ BOD=60°$.
所以$∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=120°$.
因为$CD=6$，所以$OC=OD=3$.
所以$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120×π×3}{180}=2π$.
—特别提醒
在本书中，如无特殊说明，$π$取3.14.
—解题要点
根据圆周角定理、垂径定理、三角形内角和定理和弧长公式可解决此题，正确作出辅助线是解题的关键.
答案
（1）证明：
如图②，设AB，CD的交点为E。
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CAD=90°$，
∴ $∠ C + ∠ D = 90°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $AB⊥ CD$，即$∠ AED=90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ D = 90°$，
∴ $∠ C = ∠ BAD$。
（2）解：
如图③，连接OA，OB。
∵ $∠ C=30°$，由圆周角定理得$∠ AOD=2∠ C=60°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ BOD=∠ AOD=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=120°$。
∵ $CD=6$，
∴ $\odot O$的半径$r=3$。
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120×π×3}{180}=2π$。
答：$\overset{\frown}{AB}$的长为$2π$。
如图②，设AB，CD的交点为E。
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CAD=90°$，
∴ $∠ C + ∠ D = 90°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $AB⊥ CD$，即$∠ AED=90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ D = 90°$，
∴ $∠ C = ∠ BAD$。
（2）解：
如图③，连接OA，OB。
∵ $∠ C=30°$，由圆周角定理得$∠ AOD=2∠ C=60°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ BOD=∠ AOD=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=120°$。
∵ $CD=6$，
∴ $\odot O$的半径$r=3$。
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120×π×3}{180}=2π$。
答：$\overset{\frown}{AB}$的长为$2π$。
解析
【分析】
（1）要证明$∠C=∠BAD$，可通过“同角的余角相等”推导：首先利用直径所对的圆周角为直角，得到$∠CAD=90°$，推出$∠C$与$∠D$互余；再根据D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，由垂径定理可得$CD⊥AB$，推出$∠BAD$与$∠D$互余，即可证得两个角相等。
（2）要求$\overset{\frown}{AB}$的长度，需先确定$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数和圆的半径：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出$∠AOD$的度数；再结合D是$\overset{\frown}{AB}$中点，得到$∠AOB$的度数；由直径CD的长度得到圆的半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
（1）证明：如图②，设AB，CD的交点为E。
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CAD=90°$，
∴ $∠ C + ∠ D = 90°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $AB⊥ CD$，即$∠ AED=90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ D = 90°$，
∴ $∠ C = ∠ BAD$。
（2）解：如图③，连接OA，OB。
∵ $∠ C=30°$，由圆周角定理得$∠ AOD=2∠ C=60°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ BOD=∠ AOD=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=120°$。
∵ $CD=6$，
∴ $\odot O$的半径$r=3$。
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
（1）已证得$∠C=∠BAD$；（2）$\overset{\frown}{AB}$的长为$2π$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆的相关性质和弧长计算，解题的关键是熟练运用垂径定理、圆周角定理完成角的关系转化，牢记弧长公式即可顺利求解，适合巩固圆的基础知识点。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$∠C=∠BAD$，可通过“同角的余角相等”推导：首先利用直径所对的圆周角为直角，得到$∠CAD=90°$，推出$∠C$与$∠D$互余；再根据D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，由垂径定理可得$CD⊥AB$，推出$∠BAD$与$∠D$互余，即可证得两个角相等。
（2）要求$\overset{\frown}{AB}$的长度，需先确定$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数和圆的半径：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出$∠AOD$的度数；再结合D是$\overset{\frown}{AB}$中点，得到$∠AOB$的度数；由直径CD的长度得到圆的半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
（1）证明：如图②，设AB，CD的交点为E。
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CAD=90°$，
∴ $∠ C + ∠ D = 90°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $AB⊥ CD$，即$∠ AED=90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ D = 90°$，
∴ $∠ C = ∠ BAD$。
（2）解：如图③，连接OA，OB。
∵ $∠ C=30°$，由圆周角定理得$∠ AOD=2∠ C=60°$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ BOD=∠ AOD=60°$，
∴ $∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=120°$。
∵ $CD=6$，
∴ $\odot O$的半径$r=3$。
由弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
（1）已证得$∠C=∠BAD$；（2）$\overset{\frown}{AB}$的长为$2π$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆的相关性质和弧长计算，解题的关键是熟练运用垂径定理、圆周角定理完成角的关系转化，牢记弧长公式即可顺利求解，适合巩固圆的基础知识点。
【难度系数】
0.7
