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2. 下列图形中的$∠ α$是圆周角的是（
A
）答案
2. A
解析
【分析】
要判断哪个角是圆周角，首先需要明确圆周角的两个判定条件：一是角的顶点必须在圆上，二是角的两条边都要和圆相交（即两边除了顶点外，还要各有一个交点在圆上）。解题时我们只需要把这两个条件作为标准，逐个核对四个选项中的∠α即可，不符合任意一个条件的就排除，最终符合全部条件的就是正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，需同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边均与圆有两个公共点。
选项A：∠α的顶点在圆上，两条边都是圆的弦，都与圆相交，满足圆周角的所有条件，是圆周角；
选项B：∠α的顶点在圆外，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项C：∠α的一条边是圆的切线，与圆仅存在顶点这一个公共点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项D：∠α的一条边与圆仅交于顶点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，只有选项A的∠α是圆周角。
【答案】
A
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆周角判定条件的掌握，只要牢记圆周角的两个特征，逐一排查选项即可快速得出答案，是圆相关基础角概念的常见考查形式。
【难度系数】
0.8
要判断哪个角是圆周角，首先需要明确圆周角的两个判定条件：一是角的顶点必须在圆上，二是角的两条边都要和圆相交（即两边除了顶点外，还要各有一个交点在圆上）。解题时我们只需要把这两个条件作为标准，逐个核对四个选项中的∠α即可，不符合任意一个条件的就排除，最终符合全部条件的就是正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，需同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边均与圆有两个公共点。
选项A：∠α的顶点在圆上，两条边都是圆的弦，都与圆相交，满足圆周角的所有条件，是圆周角；
选项B：∠α的顶点在圆外，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项C：∠α的一条边是圆的切线，与圆仅存在顶点这一个公共点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项D：∠α的一条边与圆仅交于顶点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角。
综上，只有选项A的∠α是圆周角。
【答案】
A
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆周角判定条件的掌握，只要牢记圆周角的两个特征，逐一排查选项即可快速得出答案，是圆相关基础角概念的常见考查形式。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AC，BC是$\odot O$的弦，连接OA，OB，若$∠ C=38°$，则$∠ AOB$的大小为（
A.$19°$
B.$38°$
C.$52°$
D.$76°$
D
）A.$19°$
B.$38°$
C.$52°$
D.$76°$
答案
3. D
解析
【分析】
首先观察图形，已知的∠C是⊙O中弧AB所对的圆周角，要求的∠AOB是弧AB所对的圆心角，解题时可联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需用已知的圆周角度数乘以2即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：
∵在⊙O中，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴∠AOB=2∠C
又
∵∠C=38°
∴∠AOB=2×38°=76°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，熟练运用圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知的∠C是⊙O中弧AB所对的圆周角，要求的∠AOB是弧AB所对的圆心角，解题时可联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需用已知的圆周角度数乘以2即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：
∵在⊙O中，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴∠AOB=2∠C
又
∵∠C=38°
∴∠AOB=2×38°=76°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，熟练运用圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，若$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，求证：$OD // BC$.
答案
4. 证明 因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$∠ AOD=∠ COD$.
所以$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC$.
因为在$\odot O$中，$∠ B$和$∠ AOC$所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，所以$∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC$.
所以$∠ AOD=∠ B$. 所以$OD// BC$.
所以$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC$.
因为在$\odot O$中，$∠ B$和$∠ AOC$所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，所以$∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC$.
所以$∠ AOD=∠ B$. 所以$OD// BC$.
解析
【分析】
要证明$OD// BC$，可通过证明同位角相等实现，即证$∠ AOD=∠ B$。首先利用已知的等弧条件，结合“同圆中等弧所对的圆心角相等”，得到$∠ AOD$和$∠ AOC$的数量关系；再利用圆周角定理，得到$∠ B$和$∠ AOC$的数量关系，进而推出$∠ AOD=∠ B$，即可证明平行。
【解析】
证明：
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC$。
$\because$在$\odot O$中，$∠ B$和$∠ AOC$所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC$。
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，
$\therefore OD// BC$。
【答案】
证明过程如上：
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$∠ AOD=∠ COD$，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC$，
$\because$在$\odot O$中，$∠ B$和$∠ AOC$所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，$\therefore OD// BC$。
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 圆周角定理
3. 平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查圆的基本性质和平行线判定的结合应用，解题关键是通过弧的性质、圆周角定理建立角的等量关系，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要证明$OD// BC$，可通过证明同位角相等实现，即证$∠ AOD=∠ B$。首先利用已知的等弧条件，结合“同圆中等弧所对的圆心角相等”，得到$∠ AOD$和$∠ AOC$的数量关系；再利用圆周角定理，得到$∠ B$和$∠ AOC$的数量关系，进而推出$∠ AOD=∠ B$，即可证明平行。
【解析】
证明：
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD$，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC$。
$\because$在$\odot O$中，$∠ B$和$∠ AOC$所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC$。
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，
$\therefore OD// BC$。
【答案】
证明过程如上：
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$∠ AOD=∠ COD$，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC$，
$\because$在$\odot O$中，$∠ B$和$∠ AOC$所对的弧都是$\overset{\frown}{AC}$，$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOD=∠ B$，$\therefore OD// BC$。
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 圆周角定理
3. 平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查圆的基本性质和平行线判定的结合应用，解题关键是通过弧的性质、圆周角定理建立角的等量关系，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上.若$∠ ABC = 55°$，则$∠ BDC$的度数为（
A.$155°$
B.$145°$
C.$135°$
D.$125°$
B
）A.$155°$
B.$145°$
C.$135°$
D.$125°$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中“AB是半圆O的直径”这一关键条件，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；再结合已知的∠ABC=55°，利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠BAC的度数；最后观察到A、B、C、D四点共圆，构成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，∠ABC=55°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-55°=35°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BAC + ∠BDC=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BDC=180°-35°=145°。
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆内接四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，解题核心是快速识别直径对应的直角圆周角、圆内接四边形的对角关系，只要熟练掌握圆的基础性质，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.75
解题时首先抓住题干中“AB是半圆O的直径”这一关键条件，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；再结合已知的∠ABC=55°，利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠BAC的度数；最后观察到A、B、C、D四点共圆，构成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，∠ABC=55°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-55°=35°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BAC + ∠BDC=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BDC=180°-35°=145°。
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆内接四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，解题核心是快速识别直径对应的直角圆周角、圆内接四边形的对角关系，只要熟练掌握圆的基础性质，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.75
6. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接BD。若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ ADC = 130°$，则$∠ BDC$的度数是（
A.$65°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
C
）A.$65°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
6. C
解析
【分析】
要计算∠BDC的度数，首先观察到∠BDC是圆周角，对应弧为$\overset{\frown}{BC}$，根据圆周角定理，只需要找到$\overset{\frown}{BC}$所对的其他相等圆周角，或求出$\overset{\frown}{BC}$的度数即可求解。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ADC=130°，先求出∠ABC的度数；再根据$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$可知两段弧对应的圆周角相等，最后利用同弧所对的圆周角相等，即可推出∠BDC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$
已知$∠ ADC=130°$，代入得：
$∠ ABC = 180° - 130° = 50°$
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，等弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ BAC = ∠ ABC = 50°$
又
∵ $∠ BDC$和$∠ BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ BDC = ∠ BAC = 50°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等弧的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角相关定理，通过弧作为中间量关联已知角和未知角，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠BDC的度数，首先观察到∠BDC是圆周角，对应弧为$\overset{\frown}{BC}$，根据圆周角定理，只需要找到$\overset{\frown}{BC}$所对的其他相等圆周角，或求出$\overset{\frown}{BC}$的度数即可求解。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ADC=130°，先求出∠ABC的度数；再根据$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$可知两段弧对应的圆周角相等，最后利用同弧所对的圆周角相等，即可推出∠BDC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$
已知$∠ ADC=130°$，代入得：
$∠ ABC = 180° - 130° = 50°$
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，等弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ BAC = ∠ ABC = 50°$
又
∵ $∠ BDC$和$∠ BAC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，
∴ $∠ BDC = ∠ BAC = 50°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等弧的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角相关定理，通过弧作为中间量关联已知角和未知角，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AB是$\odot O$的直径，D，C是$\odot O$上的点，$∠ ADC = 115°$，则$∠ BAC$的度数为
25°
。答案
7. 25°
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可由已知∠ADC的度数求出对角∠ABC的度数；第二步，AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；第三步，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠ABC的度数，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ADC=115°，
∴∠ABC=180°-115°=65°，
又
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ACB中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
∴∠BAC=90°-65°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质和直径对应的圆周角为直角的结论，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可由已知∠ADC的度数求出对角∠ABC的度数；第二步，AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△ABC为直角三角形，∠ACB=90°；第三步，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠ABC的度数，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ADC=115°，
∴∠ABC=180°-115°=65°，
又
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ACB中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
∴∠BAC=90°-65°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质和直径对应的圆周角为直角的结论，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，过点A作$AE // BC$，交CD于点E。若$∠ AED = 50°$，则$∠ BAD$的度数为
130°
。答案
8. 130°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用平行线的性质，由AE//BC找到与已知∠AED相等的角∠C，得到∠C的度数；第二步，根据圆内接四边形的对角互补的性质，可知∠BAD与∠C互补，代入∠C的度数即可求出∠BAD的大小。
【解析】
解：
∵AE//BC，
∴∠C = ∠AED = 50°（两直线平行，同位角相等），
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD + ∠C = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BAD = 180° - 50° = 130°。
【答案】
130°
【知识点】
平行线的性质、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行线性质和圆内接四边形的性质结合考查，解题的核心是通过平行线完成角度的转化，熟练掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先利用平行线的性质，由AE//BC找到与已知∠AED相等的角∠C，得到∠C的度数；第二步，根据圆内接四边形的对角互补的性质，可知∠BAD与∠C互补，代入∠C的度数即可求出∠BAD的大小。
【解析】
解：
∵AE//BC，
∴∠C = ∠AED = 50°（两直线平行，同位角相等），
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD + ∠C = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠BAD = 180° - 50° = 130°。
【答案】
130°
【知识点】
平行线的性质、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将平行线性质和圆内接四边形的性质结合考查，解题的核心是通过平行线完成角度的转化，熟练掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
