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1.(4分)把多项式$x^4 -18x^2 +81$分解因式的结果为（
A.$(x^2+9)^2$
B.$(x^2-9)^2$
C.$(x+9)^2(x-9)^2$
D.$(x+3)^2(x-3)^2$
D
）A.$(x^2+9)^2$
B.$(x^2-9)^2$
C.$(x+9)^2(x-9)^2$
D.$(x+3)^2(x-3)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
首先观察多项式的结构，该多项式是三项式，最高次项为$x^4$，可将$x^2$看作一个整体，先判断是否符合完全平方公式的结构特征，套用完全平方公式分解后，再检查得到的因式是否还能继续分解，若能则套用平方差公式继续分解，直到不能再分解为止，最后对应选项选出正确结果即可。
【解析】
解：对多项式$x^4 -18x^2 +81$分解因式，步骤如下：
1. 套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
将$x^4$看作$(x^2)^2$，$81$看作$9^2$，则$-18x^2=-2· x^2·9$，符合完全平方公式结构，因此：
$x^4 -18x^2 +81=(x^2 - 9)^2$
2. 检查因式是否可继续分解，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$：
$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$，代入上式得：
$(x^2 - 9)^2=[(x+3)(x-3)]^2=(x+3)^2(x-3)^2$
逐一判断选项：
A选项符号错误，原式中间项为负，完全平方后应为减号，排除；
B选项未分解彻底，$x^2-9$还可继续分解，排除；
C选项分解$x^2-9$时出错，$9=3^2$而非$9^2$，排除；
D选项为正确分解结果。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对公式法分解因式的掌握，易错点是分解不彻底，或混淆两个乘法公式的结构特征，解题时要先观察多项式结构匹配对应公式，最后务必检查每个因式是否已经分解到不能再分解的程度。
【难度系数】
0.7
首先观察多项式的结构，该多项式是三项式，最高次项为$x^4$，可将$x^2$看作一个整体，先判断是否符合完全平方公式的结构特征，套用完全平方公式分解后，再检查得到的因式是否还能继续分解，若能则套用平方差公式继续分解，直到不能再分解为止，最后对应选项选出正确结果即可。
【解析】
解：对多项式$x^4 -18x^2 +81$分解因式，步骤如下：
1. 套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
将$x^4$看作$(x^2)^2$，$81$看作$9^2$，则$-18x^2=-2· x^2·9$，符合完全平方公式结构，因此：
$x^4 -18x^2 +81=(x^2 - 9)^2$
2. 检查因式是否可继续分解，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$：
$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$，代入上式得：
$(x^2 - 9)^2=[(x+3)(x-3)]^2=(x+3)^2(x-3)^2$
逐一判断选项：
A选项符号错误，原式中间项为负，完全平方后应为减号，排除；
B选项未分解彻底，$x^2-9$还可继续分解，排除；
C选项分解$x^2-9$时出错，$9=3^2$而非$9^2$，排除；
D选项为正确分解结果。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对公式法分解因式的掌握，易错点是分解不彻底，或混淆两个乘法公式的结构特征，解题时要先观察多项式结构匹配对应公式，最后务必检查每个因式是否已经分解到不能再分解的程度。
【难度系数】
0.7
2.(4分)把$a^3 - ab^2$进行因式分解，结果正确的是（
A.$(a+ab)(a-ab)$
B.$a(a^2 - b^2)$
C.$a(a - b)^2$
D.$a(a + b)(a - b)$
D
）A.$(a+ab)(a-ab)$
B.$a(a^2 - b^2)$
C.$a(a - b)^2$
D.$a(a + b)(a - b)$
答案
2. D
解析
【分析】
因式分解的常规解题步骤为“一提二套三查”：首先观察多项式是否存在公因式，若有则先提取公因式；再判断提取公因式后余下的多项式是否符合乘法公式的结构，选择对应的公式继续分解；最后检查每个因式是否都无法再分解，且公式使用是否正确。本题先找公因式，提取后再用平方差公式分解即可。
【解析】
对$a^3 - ab^2$进行因式分解：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2)$
2. 观察余下的$a^2 - b^2$，符合平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$的结构，代入$m=a$、$n=b$继续分解：
$a(a^2 - b^2) = a(a+b)(a-b)$
逐一分析选项：
A选项未提取公因式，分解后的因式仍可化简，错误；
B选项中$a^2 - b^2$还可继续分解，分解不彻底，错误；
C选项混淆了平方差公式和完全平方公式，分解错误；
D选项分解结果正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解原则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格按照步骤操作，尤其要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，同时要准确区分平方差公式和完全平方公式的结构特征，避免公式误用。
【难度系数】
0.8
因式分解的常规解题步骤为“一提二套三查”：首先观察多项式是否存在公因式，若有则先提取公因式；再判断提取公因式后余下的多项式是否符合乘法公式的结构，选择对应的公式继续分解；最后检查每个因式是否都无法再分解，且公式使用是否正确。本题先找公因式，提取后再用平方差公式分解即可。
【解析】
对$a^3 - ab^2$进行因式分解：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2)$
2. 观察余下的$a^2 - b^2$，符合平方差公式$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$的结构，代入$m=a$、$n=b$继续分解：
$a(a^2 - b^2) = a(a+b)(a-b)$
逐一分析选项：
A选项未提取公因式，分解后的因式仍可化简，错误；
B选项中$a^2 - b^2$还可继续分解，分解不彻底，错误；
C选项混淆了平方差公式和完全平方公式，分解错误；
D选项分解结果正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解原则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格按照步骤操作，尤其要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，同时要准确区分平方差公式和完全平方公式的结构特征，避免公式误用。
【难度系数】
0.8
3.(4分)小强是一名密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:$x-y,a-b,2,x^2-y^2,a,x+y$分别对应下列六个字:华、我、爱、美、游、中.现将$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (
A.爱我中华
B.我游中华
C.中华美
D.我爱美
A
)A.爱我中华
B.我游中华
C.中华美
D.我爱美
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先要明确目标：先对给出的多项式做彻底的因式分解，再将每个因式对应题干给出的汉字，组合后匹配选项即可。观察多项式结构，两项都含有公因式$2(x^2-y^2)$，第一步先提取公因式，再判断公因式中的$x^2-y^2$符合平方差公式的形式，需要继续分解，最后对应汉字找匹配的选项。
【解析】
对$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式：观察到两项的公因式为$2(x^2-y^2)$，提取后得：
$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)=2(x^2-y^2)(a-b)$
2. 利用平方差公式继续分解$x^2-y^2$：根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入上式得：
原式$=2(a-b)(x+y)(x-y)$
3. 对应汉字：根据题干给出的对应关系，2对应“爱”，$a-b$对应“我”，$x+y$对应“中”，$x-y$对应“华”，组合后为“爱我中华”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题结合密码编译的趣味背景考查因式分解的应用，解题核心是熟练掌握因式分解“先提公因式、再用公式、分解彻底”的步骤，再结合给定对应关系匹配答案即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确目标：先对给出的多项式做彻底的因式分解，再将每个因式对应题干给出的汉字，组合后匹配选项即可。观察多项式结构，两项都含有公因式$2(x^2-y^2)$，第一步先提取公因式，再判断公因式中的$x^2-y^2$符合平方差公式的形式，需要继续分解，最后对应汉字找匹配的选项。
【解析】
对$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式：观察到两项的公因式为$2(x^2-y^2)$，提取后得：
$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)=2(x^2-y^2)(a-b)$
2. 利用平方差公式继续分解$x^2-y^2$：根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入上式得：
原式$=2(a-b)(x+y)(x-y)$
3. 对应汉字：根据题干给出的对应关系，2对应“爱”，$a-b$对应“我”，$x+y$对应“中”，$x-y$对应“华”，组合后为“爱我中华”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题结合密码编译的趣味背景考查因式分解的应用，解题核心是熟练掌握因式分解“先提公因式、再用公式、分解彻底”的步骤，再结合给定对应关系匹配答案即可。
【难度系数】
0.8
4.(4分)分解因式：
(1)$m^4 -8m^2 +16 =$
(2)$-4a^2 +16a -16 =$
(1)$m^4 -8m^2 +16 =$
$(m+2)^2(m-2)^2$
；(2)$-4a^2 +16a -16 =$
$-4(a-2)^2$
。答案
4. (1) $(m+2)^2(m-2)^2$ (2) $-4(a-2)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路解题：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式优先提取公因式，若首项为负要先提取负号；第二步根据多项式特征选择对应公式，三项式优先考虑完全平方公式，两项式优先考虑平方差公式；第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。
第(1)题是三项式，可先转化为完全平方公式的结构，分解后得到的因式仍符合平方差公式特征，需继续分解。第(2)题先提取公因式-4，剩下的三项式可直接用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 对原式变形匹配完全平方公式：
$m^4 -8m^2 +16=(m^2)^2 - 2· m^2·4 +4^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得：
原式$=(m^2 -4)^2$
再对$m^2-4$用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$m^2-4=(m+2)(m-2)$
因此结果为：$[(m+2)(m-2)]^2=(m+2)^2(m-2)^2$
(2) 先提取公因式$-4$：
$-4a^2 +16a -16=-4(a^2 -4a +4)$
括号内的三项式匹配完全平方差公式，得：
$a^2-4a+4=(a-2)^2$
因此结果为：$-4(a-2)^2$
【答案】
(1) $(m+2)^2(m-2)^2$；(2) $-4(a-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点有两个：一是分解不彻底，第一次用完全平方公式分解后忽略后续还能用平方差公式继续分解；二是符号处理错误，首项为负时提取公因式容易漏变括号内各项的符号，解题时要注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.7
分解因式遵循“一提二套三查”的思路解题：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式优先提取公因式，若首项为负要先提取负号；第二步根据多项式特征选择对应公式，三项式优先考虑完全平方公式，两项式优先考虑平方差公式；第三步检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。
第(1)题是三项式，可先转化为完全平方公式的结构，分解后得到的因式仍符合平方差公式特征，需继续分解。第(2)题先提取公因式-4，剩下的三项式可直接用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 对原式变形匹配完全平方公式：
$m^4 -8m^2 +16=(m^2)^2 - 2· m^2·4 +4^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得：
原式$=(m^2 -4)^2$
再对$m^2-4$用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$m^2-4=(m+2)(m-2)$
因此结果为：$[(m+2)(m-2)]^2=(m+2)^2(m-2)^2$
(2) 先提取公因式$-4$：
$-4a^2 +16a -16=-4(a^2 -4a +4)$
括号内的三项式匹配完全平方差公式，得：
$a^2-4a+4=(a-2)^2$
因此结果为：$-4(a-2)^2$
【答案】
(1) $(m+2)^2(m-2)^2$；(2) $-4(a-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点有两个：一是分解不彻底，第一次用完全平方公式分解后忽略后续还能用平方差公式继续分解；二是符号处理错误，首项为负时提取公因式容易漏变括号内各项的符号，解题时要注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.7
5.(4分)计算:$3.14× 51^2 - 3.14× 49^2 =$
628
.答案
5. 628
解析
【分析】观察算式特征，两项中均含有公因式3.14，且提取公因式后剩余部分为51²与49²的差，刚好符合平方差公式的结构，因此可以先提取公因式，再利用平方差公式简化计算，无需直接计算两个数的平方，能大幅减少计算量、降低出错概率。
【解析】
解：原式 $= 3.14×(51^2 - 49^2)$（提取公因式3.14）
$= 3.14×(51-49)×(51+49)$（利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解因式）
$= 3.14×2×100$
$= 3.14×200$
$= 628$
【答案】628
【知识点】提取公因式法；平方差公式；因式分解的应用
【点评】本题是因式分解在简便运算中的典型应用，解题关键是观察出算式的结构特征，灵活选用因式分解的方法简化计算，避免直接计算高次幂的繁琐。
【难度系数】0.9
【解析】
解：原式 $= 3.14×(51^2 - 49^2)$（提取公因式3.14）
$= 3.14×(51-49)×(51+49)$（利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解因式）
$= 3.14×2×100$
$= 3.14×200$
$= 628$
【答案】628
【知识点】提取公因式法；平方差公式；因式分解的应用
【点评】本题是因式分解在简便运算中的典型应用，解题关键是观察出算式的结构特征，灵活选用因式分解的方法简化计算，避免直接计算高次幂的繁琐。
【难度系数】0.9
6.(4分)已知$a+b=\frac{2}{3},ab=-\frac{3}{4}$，则多项式$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值是
$-\frac{1}{3}$
。答案
6. $-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
观察所求多项式的结构，各项都含有公因式ab，因此可先提取公因式ab，提取后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可进一步分解为$(a+b)^2$，此时多项式可转化为仅含$a+b$和$ab$的代数式，再将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解a、b的值，简化运算。
【解析】
先对多项式进行因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 &= ab(a^2 + 2ab + b^2) \\&= ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=\frac{2}{3}$，$ab=-\frac{3}{4}$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= -\frac{3}{4} × (\frac{2}{3})^2 \\&= -\frac{3}{4} × \frac{4}{9} \\&= -\frac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，核心是运用整体代入思想，将待求式转化为含已知条件的形式，避免了求解单个未知数的复杂运算，考查学生对因式分解方法的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
观察所求多项式的结构，各项都含有公因式ab，因此可先提取公因式ab，提取后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可进一步分解为$(a+b)^2$，此时多项式可转化为仅含$a+b$和$ab$的代数式，再将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解a、b的值，简化运算。
【解析】
先对多项式进行因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 &= ab(a^2 + 2ab + b^2) \\&= ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=\frac{2}{3}$，$ab=-\frac{3}{4}$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= -\frac{3}{4} × (\frac{2}{3})^2 \\&= -\frac{3}{4} × \frac{4}{9} \\&= -\frac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，核心是运用整体代入思想，将待求式转化为含已知条件的形式，避免了求解单个未知数的复杂运算，考查学生对因式分解方法的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
7.(16分)分解因式：
(1)$(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2$；
(2)$x^3y - 4xy^3$；
(3)$m^2n + 6mn + 9n$；
(4)$(x^2 + 4)^2 - 16x^2$。
(1)$(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2$；
(2)$x^3y - 4xy^3$；
(3)$m^2n + 6mn + 9n$；
(4)$(x^2 + 4)^2 - 16x^2$。
答案
7. 解：(1)原式=$(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)=(x+y)^2(x-y)^2$.(2)原式=$xy(x^2 - 4y^2)=xy(x+2y)(x-2y)$.(3)原式=$n(m^2 + 6m + 9)=n(m+3)^2$.(4)原式=$(x^2 + 4)^2 - (4x)^2=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x)=(x+2)^2(x-2)^2$.
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；第二步根据提取公因式后（或无公因式的原式）的项数选择合适的乘法公式逆用，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式；第三步检查分解后的因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
(1)原式是两个式子的平方作差，符合平方差公式形式，先套用平方差公式，分解后得到的两个三项式均为完全平方式，再套用完全平方公式分解即可；
(2)原式有公因式xy，先提取公因式，剩余的二项式符合平方差公式形式，再套用平方差公式分解；
(3)原式有公因式n，先提取公因式，剩余的三项式符合完全平方公式形式，直接套用公式分解；
(4)先将16x²改写为(4x)²，原式就变成平方差形式，套用平方差公式分解后，得到的两个三项式均为完全平方式，再继续分解即可。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x^2+y^2$，$b=2xy$，因此：
原式=$(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)$
两个因式分别符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，继续分解得：
=$(x+y)^2(x-y)^2$
(2) 先提取公因式$xy$：
原式=$xy(x^2 - 4y^2)$
剩余因式符合平方差公式，其中$a=x$，$b=2y$，继续分解得：
=$xy(x+2y)(x-2y)$
(3) 先提取公因式$n$：
原式=$n(m^2 + 6m + 9)$
剩余因式符合完全平方公式，其中$a=m$，$b=3$，继续分解得：
=$n(m+3)^2$
(4) 将$16x^2$改写为$(4x)^2$，原式符合平方差公式，其中$a=x^2+4$，$b=4x$：
原式=$(x^2 + 4)^2 - (4x)^2=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x)$
两个因式分别符合完全平方公式，继续分解得：
=$(x+2)^2(x-2)^2$
【答案】
(1)$(x+y)^2(x-y)^2$；(2)$xy(x+2y)(x-2y)$；(3)$n(m+3)^2$；(4)$(x+2)^2(x-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题型，重点考查因式分解的基本步骤和公式法的应用，解题时要牢记先提公因式再套公式，最后务必检查是否分解彻底，避免出现分解不完整的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；第二步根据提取公因式后（或无公因式的原式）的项数选择合适的乘法公式逆用，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式；第三步检查分解后的因式是否还能继续分解，确保分解彻底。
(1)原式是两个式子的平方作差，符合平方差公式形式，先套用平方差公式，分解后得到的两个三项式均为完全平方式，再套用完全平方公式分解即可；
(2)原式有公因式xy，先提取公因式，剩余的二项式符合平方差公式形式，再套用平方差公式分解；
(3)原式有公因式n，先提取公因式，剩余的三项式符合完全平方公式形式，直接套用公式分解；
(4)先将16x²改写为(4x)²，原式就变成平方差形式，套用平方差公式分解后，得到的两个三项式均为完全平方式，再继续分解即可。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x^2+y^2$，$b=2xy$，因此：
原式=$(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)$
两个因式分别符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，继续分解得：
=$(x+y)^2(x-y)^2$
(2) 先提取公因式$xy$：
原式=$xy(x^2 - 4y^2)$
剩余因式符合平方差公式，其中$a=x$，$b=2y$，继续分解得：
=$xy(x+2y)(x-2y)$
(3) 先提取公因式$n$：
原式=$n(m^2 + 6m + 9)$
剩余因式符合完全平方公式，其中$a=m$，$b=3$，继续分解得：
=$n(m+3)^2$
(4) 将$16x^2$改写为$(4x)^2$，原式符合平方差公式，其中$a=x^2+4$，$b=4x$：
原式=$(x^2 + 4)^2 - (4x)^2=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x)$
两个因式分别符合完全平方公式，继续分解得：
=$(x+2)^2(x-2)^2$
【答案】
(1)$(x+y)^2(x-y)^2$；(2)$xy(x+2y)(x-2y)$；(3)$n(m+3)^2$；(4)$(x+2)^2(x-2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题型，重点考查因式分解的基本步骤和公式法的应用，解题时要牢记先提公因式再套公式，最后务必检查是否分解彻底，避免出现分解不完整的错误。
【难度系数】
0.8
8.(10分) 生产生活情境 如图，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上裁去半径为r的四个小圆，小刚测得$R=6.8\ \mathrm{dm}$，$r=1.6\ \mathrm{dm}$. 他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程.(结果保留$π$)
答案
8. 解:剩余阴影部分的面积为 $π R^2 - 4π r^2 = π(R^2 -4r^2)=π(R+2r)(R-2r)$. 将 $R=6.8\ \mathrm{dm},r=1.6\ \mathrm{dm}$代入,得剩余阴影部分的面积为 $π(R+2r)(R-2r)=π×(6.8+2×1.6)×(6.8-2×1.6)=36π(\mathrm{dm}^2)$. 答：剩余阴影部分的面积为 $36π\ \mathrm{dm}^2$.
解析
【分析】
要求剩余阴影部分的面积，首先明确阴影面积等于大圆面积减去4个小圆的面积和，先根据圆的面积公式列出面积表达式。题目要求用因式分解的知识求解，因此先提取公因式$π$，观察剩余部分$R^2-4r^2$符合平方差公式的形式，可分解为$(R+2r)(R-2r)$，再代入数值计算，能避免计算大数的平方，简化运算过程，降低出错率。
【解析】
解：剩余阴影部分的面积为大圆面积减去4个小圆的面积和，据此列式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=π R^2 - 4π r^2\\&=π(R^2 - 4r^2) \quad \mathrm{（提取公因式$π$）}\\&=π(R+2r)(R-2r) \quad \mathrm{（利用平方差公式因式分解）}\end{aligned}$
将$R=6.8\ \mathrm{dm}$，$r=1.6\ \mathrm{dm}$代入上式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=π×(6.8 + 2×1.6)×(6.8 - 2×1.6)\\&=π×(6.8+3.2)×(6.8-3.2)\\&=π×10×3.6\\&=36π\ (\mathrm{dm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$36π\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
圆的面积计算；平方差公式因式分解；因式分解的应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了圆的面积公式的运用，又考查了利用因式分解简化运算的能力，体现了数学知识在解决实际问题中的实用性。
【难度系数】
0.7
要求剩余阴影部分的面积，首先明确阴影面积等于大圆面积减去4个小圆的面积和，先根据圆的面积公式列出面积表达式。题目要求用因式分解的知识求解，因此先提取公因式$π$，观察剩余部分$R^2-4r^2$符合平方差公式的形式，可分解为$(R+2r)(R-2r)$，再代入数值计算，能避免计算大数的平方，简化运算过程，降低出错率。
【解析】
解：剩余阴影部分的面积为大圆面积减去4个小圆的面积和，据此列式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=π R^2 - 4π r^2\\&=π(R^2 - 4r^2) \quad \mathrm{（提取公因式$π$）}\\&=π(R+2r)(R-2r) \quad \mathrm{（利用平方差公式因式分解）}\end{aligned}$
将$R=6.8\ \mathrm{dm}$，$r=1.6\ \mathrm{dm}$代入上式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=π×(6.8 + 2×1.6)×(6.8 - 2×1.6)\\&=π×(6.8+3.2)×(6.8-3.2)\\&=π×10×3.6\\&=36π\ (\mathrm{dm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$36π\ \mathrm{dm}^2$
【知识点】
圆的面积计算；平方差公式因式分解；因式分解的应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了圆的面积公式的运用，又考查了利用因式分解简化运算的能力，体现了数学知识在解决实际问题中的实用性。
【难度系数】
0.7
