三、解答题
11（2024 扬州邗江月考）
（1）尺规作图，作出$△ ABC$的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）；
（2）若$AB=4\sqrt{2}$，$∠ B=45°$，$BC=6$，求$△ ABC$外接圆的半径长。

解：​$(1) $​尺规作图，如图​$1$​
​$ (2) $​如图​$2，$​连接​$OB$​∵​$DH，$​​$OE$​分别垂直平分​$AB，$​​$BC，$​​$AB = 4\sqrt 2，$​​$BC = 6$​∴​$BD = 2\sqrt 2，$​​$BE = 3$​ 又∵​$∠ABC = 45°，$​​$∠BDO = 90°$​∴​$BH = 4，$​​$∠EHO = 45°$​∴​$OE = EH = BH - BE = 4 - 3 = 1$​∴​$BO = \sqrt {1^2+3^2}=\sqrt {10}$​∴​$∆ABC$​外接圆的半径长为​$\sqrt {10}$​

12 (2024 徐州沛县期中)如图，$OA=OB$，$AB$交$\odot O$于点$C,D$，$OE$是半径，且$OE⊥ AB$于点$F$.
（1）求证：$AC=BD$；
（2）若$CD=6$，$EF=1$，求$\odot O$的半径.

​$ (1) $​证明：∵​$OE⊥AB，$​​$CD$​为​$⊙O$​的弦，∴​$CF = DF$​∵​$OA = OB，$​​$OE⊥AB，$​∴​$AF = BF$​∴​$AF - CF = BF - DF，$​∴​$AC = BD$​​$ (2) $​解：如图，连接​$OC$​∵​$OE⊥AB，$​​$CD$​为​$⊙O$​的弦∴​$CF = \frac 12CD = 3，$​​$∠OF C = 90°$​∴​$CO^2 = CF^2 + OF^2$​​$ $​设​$⊙O$​的半径为​$r$​​$ $​则​$r^2 = 3^2 + (r - 1)^2，$​解得​$r = 5$​∴​$⊙O$​的半径是​$5$​ ;

13（2024 徐州云龙期中）如图，隧道的截面由圆弧 AED 和矩形 ABCD 构成，矩形的长 BC 为12 m，宽 AB 为 3 m，隧道的顶端 E(圆弧 AED 的中点)高出道路(BC)7 m.
（1）求圆弧 AED 所在圆的半径；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高 6 m，宽 2.5 m，那么这辆货运卡车能否通过该隧道？

解：​$(1) $​设圆心为点​$O，$​半径为​$R，$​连接​$OA，$​​$OE，$​设​$OE$​与​$AD$​交于点​$F$​∵隧道的顶端​$E$​是圆弧​$AED$​的中点，高出道路​$(\mathrm {BC})7\ \mathrm {m}$​∴​$AD⊥OE，$​​$AF = DF = \frac 12\ \mathrm {A}D$​∵矩形的长​$BC$​为​$12\ \mathrm {m}，$​宽​$AB$​为​$3\ \mathrm {m}$​∴​$AD//BC，$​且​$AD，$​​$BC$​之间的距离为​$3\ \mathrm {m}，$​​$AD = BC = 12\ \mathrm {m}$​∴​$EF = 7 - 3 = 4(\mathrm {m})，$​​$AF = DF = 6\ \mathrm {m}$​∴​$OF = (R - 4)m$​∴​$R^2 = (R - 4)^2 + 6^2，$​解得​$R = 6.5\ \mathrm {m}，$​​$ $​故圆弧​$AED$​所在圆的半径为​$6.5\ \mathrm {m}$​​$ (2) $​在圆弧​$AED$​上取一点​$H，$​过点​$H$​作​$HG⊥OE$​于点​$G，$​且使得​$HG = 2.5$​∴​$OG = \sqrt {OH^2-GH^2}=\sqrt {6.5^2-2.5^2} = 6(\mathrm {m})$​∵点​$O$​到​$BC$​的距离为​$7 - 6.5 = 0.5(\mathrm {m})$​∴点​$G $​到​$BC$​的距离为​$6 + 0.5 = 6.5(\mathrm {m})＞6\ \mathrm {m}$​ 故这辆货运卡车能通过该隧道 ;

14（2024 浙江）如图,在圆内接四边形 ABCD 中,$AD＜AC,∠ADC＜∠BAD$,延长 AD 至点 E,使$AE=AC$,延长 BA 至点 F,连接 EF,使$∠AFE=∠ADC$.
(1) 若$∠AFE=60°$,CD 为直径,求$∠ABD$的度数;
(2) 求证:①$EF// BC$;
②$EF=BD$.

​$ (1) $​解：∵​$CD$​为直径，∴​$∠CAD = 90°$​∵​$∠AFE = ∠ADC = 60°，$​∴​$∠ACD = 90° - 60° = 30°$​∴​$∠ABD = ∠ACD = 30°$​​$ (2) $​证明：①如图，延长​$AB$​至点​$M$​∵四边形​$ABCD$​是圆内接四边形∴​$∠CBM = ∠ADC$​ 又∵​$∠AFE = ∠ADC，$​∴​$∠AFE = ∠CBM$​∴​$EF//BC$​​$ ②$​过点​$D$​作​$DG//BC$​交​$⊙O$​于点​$G，$​连接​$AG，$​​$CG$​∵​$DG//BC，$​∴​$\widehat {BD}=\widehat {CG}$​∴​$BD = CG$​∵四边形​$ACG D$​是圆内接四边形，∴​$∠G DE = ∠ACG$​∵​$EF//DG，$​∴​$∠DEF = ∠G DE$​∴​$∠DEF = ∠ACG$​∵​$∠AFE = ∠ADC，$​​$∠ADC = ∠AG C$​∴​$∠AFE = ∠AG C$​∵​$AE = AC$​∴​$∆AEF≌∆ACG(\mathrm {AAS})$​∴​$EF = CG$​∴​$EF = BD$​ ;