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1. 如图①,在平面直角坐标系中,$A(0,3a)$,$B(-4a,0)$,$\triangle AOB$的面积为6.
(1)求点$A$,$B$的坐标;
(2)如图②,将线段$AB向右平移m$个单位长度,再向下平移$m个单位长度后得到线段A_{1}B_{1}$,若$\triangle A_{1}OB_{1}$的面积为4,求$m$的值;
(3)如图③,将线段$AB平移得到线段CD$,点$B与点C$对应,且$C(0,n)$,且$-3 ＜ n ＜ 0$,连接$BD交y轴于点F$,求$\frac {AO-OC}{OF}$的值.
(1)求点$A$,$B$的坐标;
(2)如图②,将线段$AB向右平移m$个单位长度,再向下平移$m个单位长度后得到线段A_{1}B_{1}$,若$\triangle A_{1}OB_{1}$的面积为4,求$m$的值;
(3)如图③,将线段$AB平移得到线段CD$,点$B与点C$对应,且$C(0,n)$,且$-3 ＜ n ＜ 0$,连接$BD交y轴于点F$,求$\frac {AO-OC}{OF}$的值.
答案
(1) ∵A(0,3a),B(−4a,0),∴a＞0,OA=3a,OB=4a,∴S△AOB=$\frac{1}{2}$OA·OB=$\frac{1}{2}$×3a×4a=6,∴a=1或−1(舍),∴A(0,3),B(−4,0).
(2) 设A1B1与y轴交于点D,分两种情况:
①如图①,当点D在y轴正半轴时,由平移的性质可知,A1(m,3−m),B1(−4+m,−m),设直线AB的表达式为y=kx+b,把A(0,3),B(−4,0)代入,得$\begin{cases}b=3,\\-4k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=3,\end{cases}$∴直线AB的表达式为y=$\frac{3}{4}$x+3.设线段AB向右平移m个单位长度所得的直线A'B'的表达式为y=$\frac{3}{4}$x+c,与x轴的交点坐标为(−4+m,0),则$\frac{3}{4}$×(−4+m)+c=0,解得c=−$\frac{3}{4}$m+3,∴y=$\frac{3}{4}$x−$\frac{3}{4}$m+3,∴直线y=$\frac{3}{4}$x−$\frac{3}{4}$m+3与y轴的交点为(0,−$\frac{3}{4}$m+3).∵线段A'B'再向下平移m个单位长度后得到线段A1B1,∴D(0,−$\frac{3}{4}$m+3−m),∴OD=−$\frac{3}{4}$m+3−m=−$\frac{7}{4}$m+3,∴S△A1OB1=$\frac{1}{2}$(−$\frac{7}{4}$m+3)·m+$\frac{1}{2}$(−$\frac{7}{4}$m+3)·(4−m)=4,解得m=$\frac{4}{7}$.
②如图②,当点D在y轴负半轴时,由平移的性质可知,A1(m,3−m),B1(−4+m,−m),由①得D(0,−$\frac{3}{4}$m+3−m),∴OD=−(−$\frac{3}{4}$m+3−m)=$\frac{7}{4}$m−3,∴S△A1OB1=$\frac{1}{2}$($\frac{7}{4}$m−3)·m+$\frac{1}{2}$($\frac{7}{4}$m−3)·(4−m)=4,解得m=$\frac{20}{7}$.综上所述,m的值为$\frac{4}{7}$或$\frac{20}{7}$.
(3) 由平移的性质,得AB=CD,AB//CD,∴∠BAF=∠DCF,∠ABF=∠CDF.在△ABF和△CDF中,$\begin{cases}\angle BAF=\angle DCF,\\AB=CD,\\\angle ABF=\angle CDF,\end{cases}$∴△ABF≌△CDF(ASA),∴AF=CF,∴AO−OC=AF+OF−(CF−OF)=AF+OF−CF+OF=2OF,∴$\frac{AO−OC}{OF}$=$\frac{2OF}{OF}$=2,即$\frac{AO−OC}{OF}$的值为2.
2. 如图①,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_{1}:y= \frac {1}{7}x-\frac {4}{7}与x轴相交于点A$,直线$l_{2}:y= mx+3与y轴相交于点C$,与$x轴的负半轴相交于点D$,其中$OC:OD= 4:3$,直线$l_{1}与直线l_{2}相交于点B$.
(1)填空:①$m= $____;
②直接写出不等式$mx+3＞\frac {1}{7}x-\frac {4}{7}$的解集:____.
(2)猜想$∠ABC$的度数,并说明理由.
(3)如图②,连接$AC$,在直线$AC上有一点P$,连接$OP$,若$∠OPC≥∠ABC$,求$CP$的最大值.
(1)填空:①$m= $____;
②直接写出不等式$mx+3＞\frac {1}{7}x-\frac {4}{7}$的解集:____.
(2)猜想$∠ABC$的度数,并说明理由.
(3)如图②,连接$AC$,在直线$AC上有一点P$,连接$OP$,若$∠OPC≥∠ABC$,求$CP$的最大值.
答案
(1) ①$\frac{4}{3}$ 解析:将x=0代入直线l2:y=mx+3中,得y=3,∴C(0,3),即OC=3.∵OC:OD=4:3,∴OD=$\frac{9}{4}$,∴D(−$\frac{9}{4}$,0).将D(−$\frac{9}{4}$,0)代入直线l2:y=mx+3中,得0=−$\frac{9}{4}$m+3,解得m=$\frac{4}{3}$.
②x＞−3 解析:联立方程组$\begin{cases}y=\frac{4}{3}x+3,\\y=\frac{1}{7}x−\frac{4}{7},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=−3,\\y=−1,\end{cases}$∴不等式mx+3＞$\frac{1}{7}$x−$\frac{4}{7}$的解集为x＞−3.
(2) ∠ABC=45°,理由:将y=0代入直线l1:y=$\frac{1}{7}$x−$\frac{4}{7}$中,得x=4,∴A(4,0).由(1)得B(−3,−1),C(0,3),∴AB²=(4+3)²+(0+1)²=50,AC²=(4−0)²+(0−3)²=25,BC²=(−3−0)²+(−1−3)²=25,∴AC²+BC²=AB²,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.
(3) 设直线AC的函数表达式为y=px+q,将A(4,0),C(0,3)的坐标代入,得$\begin{cases}4p+q=0,\\q=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=−\frac{3}{4},\\q=3,\end{cases}$∴直线AC的函数表达式为y=−$\frac{3}{4}$x+3.设P(a,−$\frac{3}{4}$a+3),∵∠OPC≥∠ABC,∴∠OPC≥45°,∴只有当∠OPC=∠CAB时,CP有最大值,∴OP//AB,∴直线OP的函数表达式为y=$\frac{1}{7}$x.联立方程组$\begin{cases}y=\frac{1}{7}x,\\y=−\frac{3}{4}x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{84}{25},\\y=\frac{12}{25},\end{cases}$∴P($\frac{84}{25}$,$\frac{12}{25}$),∴PC=$\sqrt{(\frac{84}{25})^2+(\frac{12}{25}−3)^2}$=$\frac{21}{5}$,即CP的最大值为$\frac{21}{5}$.
②x＞−3 解析:联立方程组$\begin{cases}y=\frac{4}{3}x+3,\\y=\frac{1}{7}x−\frac{4}{7},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=−3,\\y=−1,\end{cases}$∴不等式mx+3＞$\frac{1}{7}$x−$\frac{4}{7}$的解集为x＞−3.
(2) ∠ABC=45°,理由:将y=0代入直线l1:y=$\frac{1}{7}$x−$\frac{4}{7}$中,得x=4,∴A(4,0).由(1)得B(−3,−1),C(0,3),∴AB²=(4+3)²+(0+1)²=50,AC²=(4−0)²+(0−3)²=25,BC²=(−3−0)²+(−1−3)²=25,∴AC²+BC²=AB²,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.
(3) 设直线AC的函数表达式为y=px+q,将A(4,0),C(0,3)的坐标代入,得$\begin{cases}4p+q=0,\\q=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=−\frac{3}{4},\\q=3,\end{cases}$∴直线AC的函数表达式为y=−$\frac{3}{4}$x+3.设P(a,−$\frac{3}{4}$a+3),∵∠OPC≥∠ABC,∴∠OPC≥45°,∴只有当∠OPC=∠CAB时,CP有最大值,∴OP//AB,∴直线OP的函数表达式为y=$\frac{1}{7}$x.联立方程组$\begin{cases}y=\frac{1}{7}x,\\y=−\frac{3}{4}x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{84}{25},\\y=\frac{12}{25},\end{cases}$∴P($\frac{84}{25}$,$\frac{12}{25}$),∴PC=$\sqrt{(\frac{84}{25})^2+(\frac{12}{25}−3)^2}$=$\frac{21}{5}$,即CP的最大值为$\frac{21}{5}$.
