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6. 定义:在平面直角坐标系中,对于任意一次函
数$y = kx + b(k≠0)$的图象,作该图象在直线$x = m的右侧部分关于直线x = m$的轴对称图形,与原图象在直线$x = m的右侧部分及与直线x = m$的交点共同构成一个新函数的图象,则这个新函数叫作原函数关于直线$x = m$的“V型函数”.例如:图①就是一次函数$y = x + 2关于直线x = -1$的“V型函数”图象.
(1)请在图②中画出函数$y = x + 2关于直线x = 0$的“V型函数”图象.
(2)若函数$y = x + 10关于直线x = m$的“V型函数”图象与x轴只有一个交点,则$m = $____.
(3)如图③,点$C(-12,0)$,以OC为斜边在x轴上方作等腰$Rt\triangle OCB$,当函数$y = x + 10关于直线x = m$的“V型函数”图象与$\triangle OCB$的边只有两个交点时,求m的取值范围.
数$y = kx + b(k≠0)$的图象,作该图象在直线$x = m的右侧部分关于直线x = m$的轴对称图形,与原图象在直线$x = m的右侧部分及与直线x = m$的交点共同构成一个新函数的图象,则这个新函数叫作原函数关于直线$x = m$的“V型函数”.例如:图①就是一次函数$y = x + 2关于直线x = -1$的“V型函数”图象.
(1)请在图②中画出函数$y = x + 2关于直线x = 0$的“V型函数”图象.
(2)若函数$y = x + 10关于直线x = m$的“V型函数”图象与x轴只有一个交点,则$m = $____.
(3)如图③,点$C(-12,0)$,以OC为斜边在x轴上方作等腰$Rt\triangle OCB$,当函数$y = x + 10关于直线x = m$的“V型函数”图象与$\triangle OCB$的边只有两个交点时,求m的取值范围.
答案
(1)如图①所示
(2)$-10$ 解析:令$y = 0$，则$0 = x + 10$，解得$x = -10$。$\because$函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$x$轴只有一个交点，$\therefore m = -10$。
(3)在等腰$Rt\triangle OCB$中，点$C(-12,0)$，$\therefore OC = 12$，$\therefore$点$B(-6,6)$，$\therefore$直线$OB$的表达式为$y = -x$。解方程$x + 10 = -x$，得$x = -5$。由(2)知直线$y = x + 10$与$x$轴的交点为$(-10,0)$，当$-10＜m＜-5$时，函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$\triangle OCB$的边只有两个交点。$\because$直线$y = x + 10$与$\triangle OCB$的边已经有两个交点，$\therefore$函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$\triangle OCB$的边不能再有交点，即函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$x$轴的交点(较靠左的一个)在点$C(-12,0)$的左侧。如图②。$\because C(-12,0)$与点$(-10,0)$关于直线$x = -11$对称，$\therefore m = -11$时，函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象经过点$C(-12,0)$，$\therefore$当函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$\triangle OCB$的边只有两个交点时，$m$的取值范围为$-10＜m＜-5$或$m＜-11$。
(2)$-10$ 解析:令$y = 0$，则$0 = x + 10$，解得$x = -10$。$\because$函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$x$轴只有一个交点，$\therefore m = -10$。
(3)在等腰$Rt\triangle OCB$中，点$C(-12,0)$，$\therefore OC = 12$，$\therefore$点$B(-6,6)$，$\therefore$直线$OB$的表达式为$y = -x$。解方程$x + 10 = -x$，得$x = -5$。由(2)知直线$y = x + 10$与$x$轴的交点为$(-10,0)$，当$-10＜m＜-5$时，函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$\triangle OCB$的边只有两个交点。$\because$直线$y = x + 10$与$\triangle OCB$的边已经有两个交点，$\therefore$函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$\triangle OCB$的边不能再有交点，即函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$x$轴的交点(较靠左的一个)在点$C(-12,0)$的左侧。如图②。$\because C(-12,0)$与点$(-10,0)$关于直线$x = -11$对称，$\therefore m = -11$时，函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象经过点$C(-12,0)$，$\therefore$当函数$y = x + 10$关于直线$x = m$的“$V$型函数”图象与$\triangle OCB$的边只有两个交点时，$m$的取值范围为$-10＜m＜-5$或$m＜-11$。
7. 点P、点$P'$和点Q为平面直角坐标系中的三个点,给出如下定义:若$PQ = P'Q$,且$∠PQP' = 90^{\circ}$,则称$P'$为点P关于点Q的等垂点.
(1)已知点Q的坐标为$(4,0)$.
①如图①,若点P为原点,直接写出P关于Q的等垂点$P'$的坐标为____;
②如图②,P为y轴上一点,且点P关于点Q的等垂点$P'恰好在一次函数y = 2x + 3$的图象上,求点$P'$的坐标.
(2)如图③,若点Q的坐标为$(1,-2)$,P为直线$y = 2$上一点,P关于点Q的等垂点$P'$位于y轴右侧,连接$OP'$,$QP'$,请问$OP' + QP'$是否有最小值? 若有,请求出最小值;若无,请说明理由.
(1)已知点Q的坐标为$(4,0)$.
①如图①,若点P为原点,直接写出P关于Q的等垂点$P'$的坐标为____;
②如图②,P为y轴上一点,且点P关于点Q的等垂点$P'恰好在一次函数y = 2x + 3$的图象上,求点$P'$的坐标.
(2)如图③,若点Q的坐标为$(1,-2)$,P为直线$y = 2$上一点,P关于点Q的等垂点$P'$位于y轴右侧,连接$OP'$,$QP'$,请问$OP' + QP'$是否有最小值? 若有,请求出最小值;若无,请说明理由.
答案
(1)①$(4,4)$或$(4,-4)$ 解析:作出点$P$关于点$Q$的等垂点，如图①，则$P'Q = PQ$。$\because$点$Q$的坐标为$(4,0)$，且点$P$为原点，$\therefore PQ = 4$，$\therefore P'Q = PQ = 4$。$\because P'Q\perp x$轴，$\therefore$点$P$关于点$Q$的等垂点$P'$的坐标为$(4,4)$或$(4,-4)$。
②Ⅰ.当点$P$在$y$轴的正半轴上时，过点$P'$作$P'A\perp x$轴于点$A$，如图②，$\because P'$恰好在一次函数$y = 2x + 3$的图象上，$\therefore$设$P'(m,2m + 3)$，$\therefore P'A = -2m - 3$。$\because$点$Q$的坐标为$(4,0)$，$\therefore OQ = 4$。$\because PQ\perp P'Q$，$\therefore \angle PQA+\angle AQP' = 90^{\circ}$。$\because \angle AQP'+\angle AP'Q = 90^{\circ}$，$\therefore \angle AP'Q=\angle OQP$。
在$\triangle AP'Q$和$\triangle OQP$中，$\begin{cases}\angle P'AQ = \angle QOP = 90^{\circ}\\\angle AP'Q = \angle OQP\\P'Q = QP\end{cases}$，$\therefore \triangle AP'Q\cong\triangle OQP(AAS)$，$\therefore AP' = OQ$，$\therefore -2m - 3 = 4$，解得$m = -\frac{7}{2}$，$\therefore P'\left(-\frac{7}{2},-4\right)$。
Ⅱ.当点$P$在$y$轴的负半轴上时，过点$P'$作$P'B\perp x$轴于点$B$，如图③，$\because P'$恰好在一次函数$y = 2x + 3$的图象上，$\therefore$设$P'(m,2m + 3)$，$\therefore P'B = 2m + 3$。同Ⅰ可得$\triangle P'BQ\cong\triangle QOP$，$\therefore P'B = OQ$，$\therefore 2m + 3 = 4$，解得$m = \frac{1}{2}$，$\therefore P'\left(\frac{1}{2},4\right)$。
综上，点$P'$的坐标为$\left(-\frac{7}{2},-4\right)$或$\left(\frac{1}{2},4\right)$。
(2)$OP'+QP'$有最小值，最小值为$\sqrt{85}$。过点$Q$作平行于$x$轴的直线$a$，交$y$轴于点$B$，过点$P$作$PC\perp$直线$a$于点$C$，交$x$轴于点$A$，过点$P'$作$P'D\perp$直线$a$于点$D$，连接$PQ$，如图④，则$OB = 2$，$BQ = 1$，$PA = 2$，$AC = OB = 2$，$\therefore PC = PA + AC = 4$。$\because \angle CPQ+\angle CQP = 90^{\circ}$，$\angle CQP+\angle P'QD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CPQ=\angle DQP'$。在$\triangle PCQ$和$\triangle QDP'$中，$\begin{cases}\angle PCQ = \angle QDP' = 90^{\circ}\\\angle CPQ = \angle DQP'\\PQ = QP'\end{cases}$，$\therefore \triangle PCQ\cong\triangle QDP'(AAS)$，$\therefore PC = QD = 4$，$\therefore BD = BQ + QD = 1 + 4 = 5$，$\therefore$点$P'$的横坐标为$5$，即点$P'$在直线$x = 5$上运动。作点$O$关于直线$x = 5$的对称点$O'$，连接$O'Q$，交直线$x = 5$于点$P''$，则$P''O = P''O'$。$\therefore$当点$P'$与点$P''$重合，且$Q$,$P''$,$O'$在一条直线上时，$OP'+QP'$的值最小，最小值为$O'Q$。过点$Q$作$QE\perp OO'$于点$E$，则$OE = 1$，$QE = 2$，$\therefore O'E = OO' - OE = 10 - 1 = 9$，$\therefore O'Q=\sqrt{QE^{2}+O'E^{2}}=\sqrt{2^{2}+9^{2}}=\sqrt{85}$，$\therefore OP'+QP'$有最小值，最小值为$\sqrt{85}$。
②Ⅰ.当点$P$在$y$轴的正半轴上时，过点$P'$作$P'A\perp x$轴于点$A$，如图②，$\because P'$恰好在一次函数$y = 2x + 3$的图象上，$\therefore$设$P'(m,2m + 3)$，$\therefore P'A = -2m - 3$。$\because$点$Q$的坐标为$(4,0)$，$\therefore OQ = 4$。$\because PQ\perp P'Q$，$\therefore \angle PQA+\angle AQP' = 90^{\circ}$。$\because \angle AQP'+\angle AP'Q = 90^{\circ}$，$\therefore \angle AP'Q=\angle OQP$。
在$\triangle AP'Q$和$\triangle OQP$中，$\begin{cases}\angle P'AQ = \angle QOP = 90^{\circ}\\\angle AP'Q = \angle OQP\\P'Q = QP\end{cases}$，$\therefore \triangle AP'Q\cong\triangle OQP(AAS)$，$\therefore AP' = OQ$，$\therefore -2m - 3 = 4$，解得$m = -\frac{7}{2}$，$\therefore P'\left(-\frac{7}{2},-4\right)$。
Ⅱ.当点$P$在$y$轴的负半轴上时，过点$P'$作$P'B\perp x$轴于点$B$，如图③，$\because P'$恰好在一次函数$y = 2x + 3$的图象上，$\therefore$设$P'(m,2m + 3)$，$\therefore P'B = 2m + 3$。同Ⅰ可得$\triangle P'BQ\cong\triangle QOP$，$\therefore P'B = OQ$，$\therefore 2m + 3 = 4$，解得$m = \frac{1}{2}$，$\therefore P'\left(\frac{1}{2},4\right)$。
综上，点$P'$的坐标为$\left(-\frac{7}{2},-4\right)$或$\left(\frac{1}{2},4\right)$。
(2)$OP'+QP'$有最小值，最小值为$\sqrt{85}$。过点$Q$作平行于$x$轴的直线$a$，交$y$轴于点$B$，过点$P$作$PC\perp$直线$a$于点$C$，交$x$轴于点$A$，过点$P'$作$P'D\perp$直线$a$于点$D$，连接$PQ$，如图④，则$OB = 2$，$BQ = 1$，$PA = 2$，$AC = OB = 2$，$\therefore PC = PA + AC = 4$。$\because \angle CPQ+\angle CQP = 90^{\circ}$，$\angle CQP+\angle P'QD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CPQ=\angle DQP'$。在$\triangle PCQ$和$\triangle QDP'$中，$\begin{cases}\angle PCQ = \angle QDP' = 90^{\circ}\\\angle CPQ = \angle DQP'\\PQ = QP'\end{cases}$，$\therefore \triangle PCQ\cong\triangle QDP'(AAS)$，$\therefore PC = QD = 4$，$\therefore BD = BQ + QD = 1 + 4 = 5$，$\therefore$点$P'$的横坐标为$5$，即点$P'$在直线$x = 5$上运动。作点$O$关于直线$x = 5$的对称点$O'$，连接$O'Q$，交直线$x = 5$于点$P''$，则$P''O = P''O'$。$\therefore$当点$P'$与点$P''$重合，且$Q$,$P''$,$O'$在一条直线上时，$OP'+QP'$的值最小，最小值为$O'Q$。过点$Q$作$QE\perp OO'$于点$E$，则$OE = 1$，$QE = 2$，$\therefore O'E = OO' - OE = 10 - 1 = 9$，$\therefore O'Q=\sqrt{QE^{2}+O'E^{2}}=\sqrt{2^{2}+9^{2}}=\sqrt{85}$，$\therefore OP'+QP'$有最小值，最小值为$\sqrt{85}$。
