4. 对于平面直角坐标系$xOy$中的点P和图形W,给出如下定义:图形W关于经过点$(m,0)$且垂直于x轴的直线的对称图形为$W'$,若点P恰好在图形$W'$上,则称点P是图形W关于点$(m,0)$的“关联点”.
(1)若点P是点$Q(3,2)$关于原点的“关联点”,则点P的坐标为____.
(2)如图,在$\triangle ABC$中,$A(1,1)$,$B(6,0)$,$C(4,-2)$.

①点C关于x轴的对称点为$C'$,将线段$BC'$沿x轴向左平移$d(d＞0)个单位长度得到线段EF$(E,F分别是点B,$C'$的对应点),若线段EF上存在两个$\triangle ABC关于点(1,0)$的“关联点”,则d的取值范围是____.
②已知点$M(m + 1,0)和点N(m + 3,0)$,若线段MN上存在$\triangle ABC关于点(m,0)$的“关联点”,求m的取值范围.

(1)$(-3,2)$
(2)①$4＜d\leqslant6$ 解析:如图①中，当$d = 4$时，线段$BC'$平移到$HG$位置，此时线段$EF$上存在$1$个$\triangle ABC$关于点$(1,0)$的“关联点”，当$d = 6$时，线段$BC'$平移到$NM$位置，此时线段$EF$上存在$2$个$\triangle ABC$关于点$(1,0)$的“关联点”，观察图象可知，满足条件的$d$的取值范围为$4＜d\leqslant6$。
②如图②中，当$m = 3$时，线段$MN$上存在$\triangle ABC$关于点$(m,0)$的“关联点”；
如图③中，当$m = 5$时，线段$MN$上存在$\triangle ABC$关于点$(m,0)$的“关联点”；
如图④中，当$m = 7$时，线段$MN$上存在$\triangle ABC$关于点$(m,0)$的“关联点”；
如图⑤中，当$m = 9$时，线段$MN$上存在$\triangle ABC$关于点$(m,0)$的“关联点”。
观察图象可知满足条件的$m$的取值范围为$3\leqslant m\leqslant5$或$7\leqslant m\leqslant9$。

5. 新定义:顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
(1)如图①,若$\triangle ABC和\triangle ADE$互为“兄弟三角形”,$AB = AC$,$AD = AE$.写出$∠BAD$,$∠BAC和∠BAE$之间的数量关系,并证明.
(2)如图②,$\triangle ABC和\triangle ADE$互为“兄弟三角形”,$AB = AC$,$AD = AE$,点D、点E均在$\triangle ABC$外,连接BD,CE交于点M,连接AM,求证:MA平分$∠BME$.
(3)如图③,若$AB = AC$,$∠BAC = ∠ADC = 60^{\circ}$,试探究$∠B和∠C$的数量关系,并说明理由.

(1)$\angle BAD+\angle BAC=\angle BAE$。证明:$\because \triangle ABC$和$\triangle ADE$互为“兄弟三角形”，$\therefore \angle BAC=\angle DAE$，$\therefore \angle BAC - \angle DAC=\angle DAE - \angle DAC$，即$\angle CAE=\angle BAD$，$\therefore \angle BAD+\angle BAC=\angle CAE+\angle BAC=\angle BAE$。
(2)如图①，过点$A$作$AG\perp BD$于$G$，$AH\perp EM$于$H$。$\because \triangle ABC$和$\triangle ADE$互为“兄弟三角形”，$\therefore \angle BAC=\angle DAE$，$\therefore \angle BAC+\angle DAC=\angle DAE+\angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD = \angle CAE\\AD = AE\end{cases}$，$\therefore \triangle BAD\cong\triangle CAE(SAS)$。$\because AG\perp BD$，$AH\perp EM$，$\therefore AG = AH$，$\therefore MA$平分$\angle BME$。
(3)$\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。理由:如图②，延长$DC$至点$P$，使$DP = AD$。$\because \angle ADP = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle ADP$为等边三角形，$\therefore AD = AP$，$\angle DAP = 60^{\circ}$。$\because \angle BAC = 60^{\circ}$，$\therefore \angle BAD=\angle CAP$。在$\triangle BAD$和$\triangle CAP$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD = \angle CAP\\AD = AP\end{cases}$，$\therefore \triangle BAD\cong\triangle CAP(SAS)$，$\therefore \angle B=\angle ACP$。$\because \angle ACD+\angle ACP = 180^{\circ}$，$\therefore \angle B+\angle ACD = 180^{\circ}$。