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9. 如图,以 $ \text{Rt}\triangle ABC $ 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形。若 $ AB = 3 $,则图中阴影部分的面积为______。
答案
$\frac{9}{2}$
10.(北京中考)如图所示的网格是正方形网格,则 $ \angle PAB + \angle PBA = $______°。(点A,B,P是网格线交点)
答案
45 解析:如图,延长AP交格点于D,连接BD,设小正方形的边长为1,则PD²=BD²=1²+2²=5,PB²=1²+3²=10,∴PD²+DB²=PB²,∴∠PDB=90°,∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°.
11. 如图是一个三级台阶,它每一级的长、宽、高分别为20 dm、4 dm、1 dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物,则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是______dm。
答案
25 解析:如图,三级台阶平面展开图为长方形,长为20dm,宽为(4+1)×3dm,则昆虫沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.设昆虫沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm,由勾股定理得x²=20²+[(4+1)×3]²=625,解得x=25(负值舍去).
12.(2025·衡阳期末)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = 6,BC = 8,AB = 10 $,AD是 $ \angle BAC $ 的平分线,若P,Q分别是AD和AC上的动点,则 $ PC + PQ $ 的最小值是______。
答案
$\frac{24}{5}$ 解析:如图,过点C作CQ'⊥AB交AB于点Q',交AD于点P,过点P作PQ⊥AC交AC于点Q,∵AD是∠BAC的平分线,∴PQ=PQ',根据垂线段最短可知,此时PC+PQ有最小值,最小值为CQ'的长.∵AC=6,BC=8,AB=10,∴AC²+BC²=AB²,∴∠ACB=90°,∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AB·CQ',∴CQ'=$\frac{AC·BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$,∴PC+PQ的最小值为$\frac{24}{5}$.
13.(2024·陕西中考)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,E是边AB上一点,连接CE,在BC右侧作 $ BF// AC $,且 $ BF = AE $,连接CF。若 $ AC = 13,BC = 10 $,则四边形EBFC的面积为______。
答案
60 解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BF//AC,∴∠ACB=∠CBF,∴∠ABC=∠CBF,∴BC平分∠ABF.过点C作CM⊥AB,CN⊥BF,则CM=CN.∵S△ACE=$\frac{1}{2}$AE·CM,S△CBF=$\frac{1}{2}$BF·CN,且BF=AE,∴S△CBF=S△ACE,∴四边形EBFC的面积=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△CBA.∵AC=13,∴AB=13,设AM=x,则BM=13−x,由勾股定理,得CM²=AC²−AM²=BC²−BM²,∴13²−x²=10²−(13−x)²,解得x=$\frac{119}{13}$,∴CM=$\sqrt{13^{2}-(\frac{119}{13})^{2}}$=$\frac{120}{13}$,∴S△CBA=$\frac{1}{2}$AB·CM=60,∴四边形EBFC的面积为60.
14. 如图,直角三角形DEF中,$ \angle DFE = 90^{\circ} $,在直角三角形外面作正方形ABDE,CDFI,EFGH,面积分别为25,9,16,$ \triangle AEH,\triangle BDC,\triangle GFI $ 的面积分别为 $ S_{1},S_{2},S_{3} $,则 $ S_{1} + S_{2} + S_{3} = $______。
答案
18 解析:过点A作AM⊥EH,交HE的延长线于点M.∵正方形ABDE,CDFI,EFGH的面积分别为25,9,16,∴AE=DE=5,EF=FG=4,DF=FI=3,∠AED=∠HEF=90°=∠MEF,∴∠AEM=∠DEF,且∠AME=∠DFE,AE=DE,∴△AME≌△DFE(AAS),∴AM=DF.∵S₁=$\frac{1}{2}$EH×AM,S△DEF=$\frac{1}{2}$×EF×DF,∴S₁=S△DEF.同理可得S₂=S△DEF,S₃=S△DEF,∴S₁+S₂+S₃=3S△DEF=3×$\frac{1}{2}$×4×3=18.
15.(6分)(泰州中考)如图,$ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ},AC = 4,BC = 8 $。
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线(保留作图痕迹,不要求写作法)；
(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长。
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线(保留作图痕迹,不要求写作法)；
(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长。
答案
(1)如图,直线MN即为所求.
(2)如图,∵MN垂直平分线段AB,∴DA=DB,设DA=DB=x.在Rt△ACD中,∵AD²=AC²+CD²,∴x²=4²+(8−x)²,解得x=5,∴BD=5.
16.(8分)为整治城市街道的汽车超速现象,交警大队在某街道旁进行了流动测速。如图,一辆小汽车在某城市街道上直行,某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A 60 m的C处,过了4 s后,小汽车到达离车速检测仪A 100 m的B处($ AC\perp BC $),已知该段城市街道的限速为60 km/h,请问这辆小汽车是否超速？
答案
超速.理由如下:在Rt△ABC中,AC=60m,AB=100m,由勾股定理可得BC²=AB²−AC²=100²−60²=80²,∴BC=80m,∴该辆小汽车的平均速度为80÷4=20(m/s)=72(km/h).∵72＞60,∴这辆小汽车超速了.
