9. 函数$y = f ( x )的定义域为[ - 1 , 1 ]$,值域为$[ 0 , 1 ]$,则函数$y = f ( x )$的图象可能为()

BC 对于A，函数的定义域为$[-1, 1]$，值域不为$[0, 1]$，故A错误；对于B，函数的定义域为$[-1, 1]$，值域为$[0, 1]$，符合题意，故B正确；对于C，函数的定义域为$[-1, 1]$，值域为$[0, 1]$，符合题意，故C正确；对于D，图象不满足函数的定义，故D错误。

10. 下列说法错误的是()
①函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了；
②$f ( x ) = \sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 - x }$是函数；
③函数$y = 2 x ( x \in \mathbf { N } )$的图象是一条直线；
④$f ( x ) = \frac { x ^ { 2 } } { x }与g ( x ) = x$是同一个函数．
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④

ABCD 对于①，函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系不一定确定，比如函数的定义域和值域均为$\mathbf{R}$，而函数的对应关系可为$y = x$，$y = x^3$，故①错误；对于②，由题意，得$x - 3 \geq 0$，且$2 - x \geq 0$，解得$x \in \varnothing$，则$f(x) = \sqrt{x - 3} + \sqrt{2 - x}$不是函数，故②错误；对于③，由于$\mathbf{N}$为自然数集，所以函数$y = 2x(x \in \mathbf{N})$的图象是一些点，故③错误；对于④，$f(x) = \frac{x^2}{x}$，即$f(x) = x$，$x \neq 0$，而$g(x) = x$，$x \in \mathbf{R}$，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故④错误。

11. 下列各组函数中,两个函数是同一个函数的是()
A. $f ( x ) = 1与g ( x ) = ( x - 1 ) ^ { 0 }$
B. $f ( x ) = x与g ( x ) = \sqrt [ 4 ] { x ^ { 4 } }$
C. $f ( x ) = \sqrt { 2 + x } \cdot \sqrt { 2 - x }与g ( x ) = \sqrt { 4 - x ^ { 2 } }$
D. $f ( x ) = ( x + 1 ) ^ { 2 }与g ( t ) = t ^ { 2 } + 2 t + 1$

CD 对于A选项，$f(x) = 1$的定义域为$\mathbf{R}$，$g(x) = (x - 1)^0$的定义域为$\{x|x \neq 1\}$，所以两个函数不是同一个函数，所以A选项错误。对于B选项，$f(x) = x$，$g(x) = \sqrt[4]{x^4} = |x|$，所以两个函数不是同一个函数，所以B选项错误。对于C选项，由$f(x) = \sqrt{2 + x} \cdot \sqrt{2 - x}$，得$\begin{cases}2 + x \geq 0, \\ 2 - x \geq 0,\end{cases}$解得$-2 \leq x \leq 2$，所以$f(x)$的定义域为$[-2, 2]$，且$f(x) = \sqrt{2 + x} \cdot \sqrt{2 - x} = \sqrt{4 - x^2}$。由$g(x) = \sqrt{4 - x^2}$，得$4 - x^2 \geq 0$，解得$-2 \leq x \leq 2$，所以$g(x)$的定义域为$[-2, 2]$，所以两个函数是同一个函数，所以C选项正确。对于D选项，$f(x) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$，$g(t) = t^2 + 2t + 1$，两个函数的定义域都为$\mathbf{R}$，对应关系也相同，所以两个函数是同一个函数，所以D选项正确。

12. 若“$\exists x \in \mathbf { R }$,$a x ^ { 2 } + a x + 1 \leq 0$”为假命题,则a的值可能为()
A. $- 1$
B. $0$
C. $2$
D. $4$

BC 若“$\exists x \in \mathbf{R}$，$ax^2 + ax + 1 \leq 0$”为假命题，则“$\forall x \in \mathbf{R}$，$ax^2 + ax + 1 ＞ 0$”为真命题。当$a = 0$时，得$1 ＞ 0$，符合题意；当$a \neq 0$时，得$\begin{cases}a ＞ 0, \\ \Delta = a^2 - 4a ＜ 0,\end{cases}$解得$0 ＜ a ＜ 4$。综上所述，$a$的取值范围为$0 \leq a ＜ 4$，故$a$的值可能为$0$，$2$。

13. 函数$f ( x ) = \frac { \sqrt { x - 3 } } { | x | - 5 }$的定义域为______．

$[3, 5) \cup (5, +\infty)$ 若函数$f(x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{|x| - 5}$有意义，则$\begin{cases}x - 3 \geq 0, \\ |x| - 5 \neq 0,\end{cases}$解得$x \geq 3$且$x \neq 5$，所以函数的定义域为$[3, 5) \cup (5, +\infty)$。

14. 请写出一个定义域为$\{ x | x \neq 3 \}$,值域为$\{ y | y \neq 2 \}的函数f ( x )$：$f ( x ) = $______．

$2 + \frac{1}{x - 3}$（答案不唯一） 函数$f(x) = 2 + \frac{1}{x - 3}$的定义域为$\{x|x \neq 3\}$，值域为$\{f(x)|f(x) \neq 2\}$。

15. 若命题“$\exists x \in [ - 2 , 1 ]$,$x ^ { 2 } + 1 ＞ a$”为假命题,则实数a的取值范围是______．

$[5, +\infty)$ 因为“$\exists x \in [-2, 1]$，$x^2 + 1 ＞ a$”为假命题，所以“$\forall x \in [-2, 1]$，$x^2 + 1 \leq a$”为真命题，所以$a \geq x^2 + 1$在$x \in [-2, 1]$上恒成立，所以$a \geq (-2)^2 + 1 = 5$，即实数$a$的取值范围是$[5, +\infty)$。

16. (一题多解)已知集合$A = B = \{ 1 , 2 , 3 \}$,$f : A \rightarrow B$为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域的不同情况有______种．

（一题多解）7 方法1：由函数的定义，知此函数可以分为三类来进行研究：若函数是三对一的对应，则值域为$\{1\}$，$\{2\}$，$\{3\}$三种情况；若函数是二对一的对应，则值域为$\{1, 2\}$，$\{2, 3\}$，$\{1, 3\}$三种情况；若函数是一对一的对应，则值域为$\{1, 2, 3\}$一种情况。综上，函数的值域的不同情况有7种。方法2：值域只可能是集合$B$的非空子集，求出$B$的非空子集的个数即可，即$2^3 - 1 = 7$。

17. 已知函数$f ( x ) = \sqrt { x + 3 } + \frac { 1 } { x - 2 }$．
(1) 求$f ( x )$的定义域；
(2) 求$f ( - 3 )$,$f ( 1 )$的值．

解：（1）因为$f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x - 2}$，所以$\begin{cases}x + 3 \geq 0, \\ x - 2 \neq 0,\end{cases}$所以$x \geq -3$，且$x \neq 2$，所以$f(x)$的定义域为$[-3, 2) \cup (2, +\infty)$。（2）因为$f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x - 2}$，所以$f(-3) = \sqrt{-3 + 3} + \frac{1}{-3 - 2} = 0 - \frac{1}{5} = -\frac{1}{5}$，$f(1) = \sqrt{1 + 3} + \frac{1}{1 - 2} = 2 - 1 = 1$。

18. 某问答游戏的规则是共5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参赛者的得分y与答错题目道数x$( x \in \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \} )$之间的函数关系．

解：①列表法：参赛者的得分$y$与答错题目道数$x(x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\})$之间的函数关系如表所示：
|$x$/道|0|1|2|3|4|5|
|----|----|----|----|----|----|----|
|$y$/分|50|40|30|20|10|0|
②图象法：参赛者的得分$y$与答错题目道数$x(x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\})$之间的函数关系如图所示。

③解析法：参赛者的得分$y$与答错题目道数$x(x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\})$之间的函数关系为$y = 50 - 10x$，$x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$。