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1. 下列选项中,不能作为函数图象的是()
答案
D 根据函数的定义，每一个自变量都对应着唯一的函数值，符合函数定义的图象的选项为A，B，C；对于D，当$x = 1$时，有两个$y$值与之对应，不满足函数的定义。
2. 下列选项中,表示的是同一个函数的是()
A. $f ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } }$,$g ( x ) = ( \sqrt { x } ) ^ { 2 }$
B. $f ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } }$,$g ( t ) = | t |$
C. $f ( x ) = ( x - 1 ) ^ { 2 }$,$g ( x ) = ( x - 2 ) ^ { 2 }$
D. $f ( x ) = \sqrt { x + 1 } \cdot \sqrt { x - 1 }$,$g ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }$
A. $f ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } }$,$g ( x ) = ( \sqrt { x } ) ^ { 2 }$
B. $f ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } }$,$g ( t ) = | t |$
C. $f ( x ) = ( x - 1 ) ^ { 2 }$,$g ( x ) = ( x - 2 ) ^ { 2 }$
D. $f ( x ) = \sqrt { x + 1 } \cdot \sqrt { x - 1 }$,$g ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }$
答案
B 对于A，$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$g(x)$的定义域为$[0, +\infty)$，定义域不同，故A错误；对于B，$f(x)$和$g(t)$的定义域都是$\mathbf{R}$，且$f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$，对应关系也一致，故B正确；对于C，$f(x)$和$g(x)$的对应关系不一致，故C错误；对于D，$f(x)$的定义域为$[1, +\infty)$，$g(x)$的定义域为$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$，定义域不同，故D错误。
3. 已知函数$y = g ( x )$的对应关系如表所示,函数$y = f ( x )$的图象如图所示,则$g ( f ( 2 ) )$的值为()
A. $- 1$
B. $0$
C. $3$
D. $4$
A. $- 1$
B. $0$
C. $3$
D. $4$
答案
D 观察函数$y = f(x)$的图象，得$f(2) = 1$。由表格，得$g(1) = 4$，所以$g(f(2)) = g(1) = 4$。
4. 已知函数$f ( x + 1 )的定义域为[ - 2 , 1 ]$,函数$g ( x ) = \frac { f ( x ) } { \sqrt { 2 x + 1 } }$,则$g ( x )$的定义域为()
A. $( - \frac { 1 } { 2 } , 0 ]$
B. $[ - \frac { 1 } { 2 } , 1 ]$
C. $[ - 2 , 1 ]$
D. $( - \frac { 1 } { 2 } , 2 ]$
A. $( - \frac { 1 } { 2 } , 0 ]$
B. $[ - \frac { 1 } { 2 } , 1 ]$
C. $[ - 2 , 1 ]$
D. $( - \frac { 1 } { 2 } , 2 ]$
答案
D 根据题意可得$x + 1 \in [-1, 2]$，即$f(x)$的定义域为$[-1, 2]$，所以$g(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{2x + 1}}$需满足$\begin{cases}-1 \leq x \leq 2, \\ 2x + 1 ＞ 0,\end{cases}$解得$-\frac{1}{2} ＜ x \leq 2$，即$g(x)$的定义域为$(-\frac{1}{2}, 2]$。
5. “不等式$a x ^ { 2 } + 2 a x - 1 ＜ 0$恒成立”的一个充分不必要条件是()
A. $- 1 \leq a ＜ 0$
B. $a \leq 0$
C. $- 1 ＜ a ＜ 0$
D. $- 1 ＜ a \leq 0$
A. $- 1 \leq a ＜ 0$
B. $a \leq 0$
C. $- 1 ＜ a ＜ 0$
D. $- 1 ＜ a \leq 0$
答案
C 当$a = 0$时，得$-1 ＜ 0$恒成立；当$a \neq 0$时，得$\begin{cases}a ＜ 0, \\ \Delta = 4a^2 + 4a ＜ 0,\end{cases}$解得$-1 ＜ a ＜ 0$。综上所述，当不等式$ax^2 + 2ax - 1 ＜ 0$恒成立时，$-1 ＜ a \leq 0$，所以“不等式$ax^2 + 2ax - 1 ＜ 0$恒成立”的一个充分不必要条件是$-1 ＜ a ＜ 0$。
6. 已知关于x的不等式$- x ^ { 2 } + 4 x \geq a ^ { 2 } - 3 a在\mathbf { R }$上有解,则实数a的取值范围是()
A. $\{ a | - 1 \leq a \leq 4 \}$
B. $\{ a | - 1 ＜ a ＜ 4 \}$
C. $\{ a | a \geq 4或a \leq - 1 \}$
D. $\{ a | - 4 \leq a \leq 1 \}$
A. $\{ a | - 1 \leq a \leq 4 \}$
B. $\{ a | - 1 ＜ a ＜ 4 \}$
C. $\{ a | a \geq 4或a \leq - 1 \}$
D. $\{ a | - 4 \leq a \leq 1 \}$
答案
A $\because -x^2 + 4x = -(x - 2)^2 + 4 \leq 4$，$\therefore$若关于$x$的不等式$-x^2 + 4x \geq a^2 - 3a$在$\mathbf{R}$上有解，则要满足$a^2 - 3a$小于等于$-x^2 + 4x$的最大值，即$a^2 - 3a \leq 4$，解得$-1 \leq a \leq 4$。
7. 某小型雨衣厂生产某种雨衣,售价P(元/件)与月销售量x(件)之间的关系为$P = 160 - 2 x$,生产x件的成本(元)$R = 500 + 30 x$．若每月获得的利润y(元)不低于1300元,则该厂的月销售量x的取值范围为()
A. $( 20 , 45 )$
B. $[ 20 , 45 )$
C. $( 20 , 45 ]$
D. $[ 20 , 45 ]$
A. $( 20 , 45 )$
B. $[ 20 , 45 )$
C. $( 20 , 45 ]$
D. $[ 20 , 45 ]$
答案
D 由题意，得$y = xP - R = x(160 - 2x) - (500 + 30x)$，$\therefore y = -2x^2 + 130x - 500$。令$y \geq 1300$，得$-2x^2 + 130x - 500 \geq 1300$，$\therefore x^2 - 65x + 900 \leq 0$，$\therefore (x - 20)(x - 45) \leq 0$，$\therefore 20 \leq x \leq 45$。
8. 若对任意的$x \in [ 1 , 2 ]$,不等式$x ^ { 2 } + x ＞ m x - 2$恒成立,则实数m的取值范围是()
A. $\{ m | m ＜ 2 \sqrt { 2 } + 1 \}$
B. $\{ m | 1 - 2 \sqrt { 2 } ＜ m ＜ 5 \}$
C. $\{ m | m ＜ 4 \}$
D. $\{ m | 1 - 2 \sqrt { 2 } ＜ m ＜ 2 \sqrt { 2 } + 1 \}$
A. $\{ m | m ＜ 2 \sqrt { 2 } + 1 \}$
B. $\{ m | 1 - 2 \sqrt { 2 } ＜ m ＜ 5 \}$
C. $\{ m | m ＜ 4 \}$
D. $\{ m | 1 - 2 \sqrt { 2 } ＜ m ＜ 2 \sqrt { 2 } + 1 \}$
答案
A 因为$x^2 + x ＞ mx - 2$，且$x \in [1, 2]$，整理，得$x + \frac{2}{x} + 1 ＞ m$，所以原题等价于对任意的$x \in [1, 2]$，不等式$x + \frac{2}{x} + 1 ＞ m$恒成立。又因为$x + \frac{2}{x} + 1 \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{2}{x}} + 1 = 2\sqrt{2} + 1$，当且仅当$x = \frac{2}{x}$，即$x = \sqrt{2}$时，等号成立，所以$m ＜ 2\sqrt{2} + 1$。
