1. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$，若$b+c=0$，则它的图象一定过点()

A.$(-1,-1)$
B.$(1,-1)$
C.$(-1,1)$
D.$(1,1)$

1. D

【分析】
要判断二次函数图象一定经过的定点，需结合已知条件$b+c=0$，找到合适的x值代入函数解析式，使解析式中出现$b+c$的整体结构，利用整体代入求出对应的y值，即可确定定点坐标。我们可以观察解析式的结构，当x=1时，解析式可整理为含$b+c$的形式，刚好匹配已知条件，也可逐个代入选项验证。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=x^2+bx+c$，
将$x=1$代入解析式，得：
$y=1^2 + b×1 + c = 1 + b + c$
又已知$b+c=0$，将其整体代入上式，得：
$y=1 + 0 = 1$
即当$x=1$时，无论b、c取何值（只要满足$b+c=0$），y的值恒为1，因此该二次函数的图象一定过点$(1,1)$。
代入其他选项验证：当x=-1时，$y=1 - b + c = 1 - (b - c)$，结合$b+c=0$无法得到固定的y值，故ABC均不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；整体代入求值
【点评】
本题是二次函数定点问题的基础常考题，解题核心是结合已知条件的结构特征，选择合适的x值代入解析式，通过整体代入运算快速得到定点坐标，也可通过逐个代入选项验证的方法求解。
【难度系数】
0.8

2. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，下列结论中正确的有()
① $ abc ＜ 0 $; ② $ b^2 - 4ac ＜ 0 $; ③ $ 2a ＜ b $; ④ $ (a + c)^2 ＜ b^2 $.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

第2题图 第3题图

2. B

【分析】
解决本题需结合二次函数图像与系数的对应关系逐步推导：首先根据开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点确定a、b、c的符号和判别式的范围，再结合特殊点x=1、x=-1的函数值，逐个验证4个结论是否成立。
第一步：提取图像基础信息：开口向下得a＜0；与y轴交于正半轴得c＞0；对称轴在-1到0之间，根据“左同右异”得b与a同号，即b＜0；抛物线与x轴有两个交点得判别式大于0。
第二步：逐个验证结论：①计算abc的符号判断正误；②根据交点个数判断判别式范围；③利用对称轴的范围变形不等式判断2a和b的大小；④将结论变形为特殊点函数值乘积的形式，结合图像判断符号。
【解析】
解：由二次函数图像性质分析：
1. 抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
2. 抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
3. 对称轴$x=-\frac{b}{2a}$在$(-1,0)$之间，且a＜0，由“左同右异”可知b与a同号，$\therefore b＜0$。
逐个判断结论：
① $abc$：a＜0，b＜0，c＞0，$\therefore abc＞0$，故①错误；
② 抛物线与x轴有2个交点，$\therefore \Delta=b^2-4ac＞0$，故②错误；
③ 由对称轴$-\frac{b}{2a}＞-1$，a＜0，两边同时乘$2a$（负数，不等号方向改变）得：$-b＜-2a$，整理得$b＞2a$，即$2a＜b$，故③正确；
④ 将$(a+c)^2＜b^2$变形为$(a+c)^2-b^2=(a+b+c)(a-b+c)＜0$：
当$x=1$时，$y=a+b+c＜0$（对应点在x轴下方）；
当$x=-1$时，$y=a-b+c＞0$（对应点在x轴上方）；
二者乘积为负，因此$(a+c)^2＜b^2$成立，故④正确。
综上，正确的结论有2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质，不等式变形
【点评】
本题核心是掌握二次函数图像特征与代数表达式的对应关系，解题时要结合特殊点的函数值对结论进行转化验证，易错点是不等式两边乘负数时忘记改变不等号方向。
【难度系数】
0.6

3. 抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则方程$ax^2+bx+c=0$的解为。当时，$y＞0$。

3. $x_1 = 1,x_2 = 3$; $x ＜ 1或x ＞ 3$

【分析】
解题时要用到数形结合思想：首先，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，所以我们只需要找到图象与x轴交点的横坐标即可得到方程的解；其次，$y＞0$对应抛物线在x轴上方的部分，结合抛物线开口方向，直接读取对应x的取值范围即可。
【解析】
1. 求方程$ax^2+bx+c=0$的解：
观察图象可知，抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，即当$y=0$时，$x=1$或$x=3$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解为$x_1=1$，$x_2=3$。
2. 求$y＞0$时x的取值范围：
由图象得抛物线开口向上，当图象位于x轴上方时，对应的x的取值为$x＜1$或$x＞3$，此时函数值$y＞0$。
【答案】
$x_1 = 1,x_2 = 3$；$x ＜ 1或x ＞ 3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数图象性质，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，不需要复杂计算，只要掌握二次函数图象与方程、不等式的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9

4. 如图, 抛物线 $y=ax^2+c$ 与直线 $y=mx+n$ 交于 $A(-1,p),B(3,q)$ 两点, 则不等式 $ax^2+c＞mx+n$ 的解集是.

4. $x ＜ -1或x ＞ 3$

【分析】
要解不等式$ax^2+c＞mx+n$，可利用数形结合思想：该不等式的本质是抛物线$y=ax^2+c$的函数值大于直线$y=mx+n$的函数值，对应图像上就是抛物线位于直线上方的部分所对应的x的取值范围。首先找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，是取值范围的分界点，再结合图像的上下位置关系就能确定解集。
【解析】
不等式$ax^2+c＞mx+n$的几何意义是：抛物线$y=ax^2+c$的图像在直线$y=mx+n$图像上方时，对应的自变量x的取值范围。
已知抛物线与直线交于$A(-1,p)$、$B(3,q)$两点，说明当$x=-1$和$x=3$时，两个函数值相等。
观察图像可得：
当$x＜-1$时，抛物线在直线上方，满足$ax^2+c＞mx+n$；
当$x＞3$时，抛物线也在直线上方，满足$ax^2+c＞mx+n$；
当$-1＜x＜3$时，直线在抛物线上方，不满足不等式。
因此不等式的解集为$x＜-1$或$x＞3$。
【答案】
$x ＜ -1或x ＞ 3$
【知识点】
二次函数与不等式，函数图像的应用，一次函数的性质
【点评】
本题考查利用数形结合思想求解函数不等式，无需计算函数解析式，只需理解函数值的大小关系对应图像的上下位置关系即可快速求解，是函数类不等式的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

5.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

当$y＜5$时，x的取值范围是.

5. $0 ＜ x ＜ 4$

【分析】
解决本题首先要利用二次函数的对称性找对称轴：观察表格中函数值相等的两个点，x=1和x=3时y都为2，可推出对称轴为直线x=2；再由x=2时y取最小值1，可知抛物线开口向上。接着找y=5对应的x值，已知x=0时y=5，根据对称性可得x=4时y也为5。最后结合开口向上的抛物线性质：函数值小于某一正数时，x的取值在对应两个横坐标的中间，即可得出结果。
【解析】
1. 求对称轴、判断开口方向
观察表格数据：x=1和x=3时，函数值均为2，因此二次函数的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$；
又x=2时y取得最小值1，说明抛物线开口向上。
2. 求y=5对应的x值
已知x=0时y=5，根据二次函数的对称性，与x=0关于对称轴x=2对称的点的横坐标为$2×2-0=4$，即x=4时，y=5。
3. 确定y＜5的取值范围
因为抛物线开口向上，所以当y＜5时，x的取值在0和4之间，即$0＜x＜4$。
【答案】
$0 ＜ x ＜ 4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质；二次函数与不等式
【点评】
本题无需计算完整的二次函数解析式，通过观察表格数据结合二次函数对称性即可快速求解，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7

6. (2026·金乡县一模)已知抛物线$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$为常数)经过点$(0,1)$,$(2,0)$.
(1)求$2a+b$的值;
(2)若抛物线先向下平移1个单位,再向左平移1个单位后经过原点,求原图象与$x$轴的另一交点坐标.

(1) $-\frac{1}{2}$; (2) $(-1,0)$

【分析】
(1) 解题思路：已知抛物线经过两个定点，先将点(0,1)代入解析式求出常数c，再将点(2,0)和c的值代入解析式，整理变形即可直接得到2a+b的值。
(2) 解题思路：根据函数平移“左加右减自变量、上加下减常数项”的规则，写出平移后的抛物线解析式，结合平移后过原点的条件得到a与b的关系式，联立第一问的结论求出a、b的值，再令原抛物线y=0解一元二次方程，即可得到与x轴的另一交点坐标。
【解析】
(1) 将点$(0,1)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=1$。
将点$(2,0)$、$c=1$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$4a+2b+1=0$
等式两边同时除以2，整理得$2a+b=-\frac{1}{2}$。
(2) 原抛物线解析式为$y=ax^2+bx+1$，向下平移1个单位后解析式为$y=ax^2+bx$，再向左平移1个单位后解析式为$y=a(x+1)^2+b(x+1)$。
∵平移后抛物线过原点$(0,0)$，代入得：
$a+b=0$，即$b=-a$。
结合(1)的结论$2a+b=-\frac{1}{2}$，将$b=-a$代入得：
$2a-a=-\frac{1}{2}$，解得$a=-\frac{1}{2}$，则$b=\frac{1}{2}$。
∴原抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$。
令$y=0$，得$-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1=0$，化简为$x^2-x-2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
∴原图象与x轴的另一交点坐标为$(-1,0)$。
【答案】
(1) $-\frac{1}{2}$；(2) $(-1,0)$
【知识点】
二次函数图象性质，函数图象平移，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查代入法求函数系数、平移规则的应用以及二次函数与一元二次方程的转化，解题关键是熟练掌握二次函数的基本性质和变换规律。
【难度系数】
0.7