9.(2024·玉林期中)△ABC中，BC=6，BC边上的高AD=3，BD=2，则△ACD的面积是（）

A.6
B.12
C.6或12
D.以上都不对
02 综合练
关键能力提升

9. C

【分析】
解题时首先要考虑三角形高的位置的不确定性：高既可能在三角形内部，也可能在钝角三角形的外部，因此需要分两种情况讨论。第一步先根据垂足D的不同位置计算CD的长度，第二步再利用三角形面积公式求出△ACD的面积即可。
【解析】
需分两种情况计算：
1. 当垂足D在线段BC上时：
$CD = BC - BD = 6 - 2 = 4$
∵AD是BC边上的高，$AD=3$
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × AD = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$
2. 当垂足D在线段CB的延长线上时（此时△ABC为钝角三角形，高AD在三角形外部）：
$CD = BC + BD = 6 + 2 = 8$
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × AD = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$
综上，△ACD的面积为6或12。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅计算垂足在BC线段上的情况导致漏解，解题时要注意考虑所有可能的情况，做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.6

10.(1)如图，AD是$△ ABC$的中线，点E是AD的中点，连接BE，CE.若$△ ABC$的面积是8，则阴影部分的面积为（）
A.2 B.4 C.6 D.8

第10(1)题图 第10(2)题图
(2)【T10(1)改编】如图，AD是$△ ABC$的中线，点E是AD的中点，点F是CE的中点，若阴影部分的面积是2，则$△ ABC$的面积是.

10.(1) B (2)8

【分析】
两道题均围绕三角形中线平分面积的性质解题：
(1) 正向推导：先利用AD是△ABC的中线，将△ABC分成两个面积相等的三角形，再利用E是AD中点的性质，分别得出两个小阴影三角形的面积，相加即可得到阴影总面积。
(2) 逆向推导：先利用F是CE中点的性质，求出△BEC的面积，再结合E是AD中点的性质，建立△BEC和△ABC的面积关系，反向求出△ABC的面积。
【解析】
(1) 解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD与△ACD等底同高，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×8=4$。
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=2$，$S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=2$，
∴阴影部分面积$S_阴=S_{△BDE}+S_{△CDE}=2+2=4$，故选B。
(2) 解：
∵F是CE的中点，
∴BF是△BEC的中线，
∴$S_{△BEC}=2S_阴=2×2=4$。
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$，$S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$，
∴$S_{△BEC}=S_{△BDE}+S_{△CDE}=\frac{1}{2}(S_{△ABD}+S_{△ACD})=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，
∴$S_{△ABC}=2S_{△BEC}=2×4=8$。
【答案】
(1) B (2) 8
【知识点】
三角形中线的面积性质，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题重点考察三角形中线的面积性质，解题核心是掌握“三角形的中线将原三角形分为两个面积相等的小三角形”，多次运用该性质即可建立已知面积和所求面积的关联，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7

11. 如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图(折叠后点C落到点$C'$处).

(1)甲折出的AD是$△ ABC$的________;
(2)乙折出的AD是$△ ABC$的________;
(3)丙折出的AD是$△ ABC$的________.

(1) 高 (2)角平分线 (3)中线

【分析】
解题时先回忆三角形的高、角平分线、中线的定义，再结合折叠的性质（折叠前后对应角相等、对应边相等），分别分析三个图中折痕AD满足的线段定义即可。
第一步分析甲图：折叠后点C落在C'处，可得折痕AD与BC形成的两个邻角相等，且两角和为平角，即可判断AD与BC的垂直关系；
第二步分析乙图：折叠后点C落在C'处，可得∠CAD和∠C'AD相等，即可判断AD是角的平分线；
第三步分析丙图：折叠后点C落在B点（C'与B重合），可得CD=BD，即可判断D是BC的中点。
【解析】
(1) 甲图中，由折叠的性质可得∠ADC=∠ADC'，又∠ADC+∠ADC'=180°，因此∠ADC=∠ADC'=90°，即AD⊥BC，符合三角形高的定义，故AD是△ABC的高。
(2) 乙图中，由折叠的性质可得∠CAD=∠C'AD，即AD平分∠BAC，符合三角形角平分线的定义，故AD是△ABC的角平分线。
(3) 丙图中，由折叠的性质可得CD=C'D，又C'与B重合，因此CD=BD，即D为BC的中点，符合三角形中线的定义，故AD是△ABC的中线。
【答案】
(1) 高 (2) 角平分线 (3) 中线
【知识点】
三角形的高，三角形的角平分线，三角形的中线
【点评】
本题结合折叠操作考查三角形基础线段的定义，解题核心是利用折叠的对应边、对应角相等的性质，结合三类线段的定义判断即可，注重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8

12.【教材P9习题T4改编】
一材多题
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的中线，AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10 cm，∠CAB=90°. EF⊥AC于点F.
(1)求AD的长；
(2)求△ABE的面积；
(3)EF的长是；
(4)△ACE和△ABE的周长的差是 cm.

12. 解:(1)$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · AC = \frac{1}{2}BC · AD, \therefore \frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 · AD$. 解得 $AD=4.8$;(2) $\because AE$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore BE=CE=\frac{1}{2}BC. \therefore S_{△ ABE} = \frac{1}{2}BE · AD = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}BC · AD = 12 \mathrm{~cm}^2$.(3)3 cm (4)2

【分析】
本题围绕直角三角形ABC展开，各小问解题思路如下：
(1)求AD的长：直角三角形面积可分别用“两直角边乘积的一半”和“斜边×斜边上高的一半”计算，利用面积相等列方程即可求解AD；
(2)求△ABE的面积：AE是三角形中线，可将△ABC分为面积相等的两部分，也可直接求出BE的长度，结合高AD用三角形面积公式计算；
(3)求EF的长：EF垂直AC，AB也垂直AC，可得EF平行AB，结合E是BC中点，可知EF是△ABC的中位线，长度为AB的一半，也可利用△AEC的面积公式求解；
(4)求周长差：分别写出两个三角形的周长表达式，抵消公共边AE和相等的边BE、CE，直接计算AC与AB的差即可。
【解析】
已知△ABC中，∠CAB=90°，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm。
先计算△ABC的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×6×8=24\mathrm{cm}^2$。
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×10·AD=24$，解得$AD=4.8\mathrm{cm}$。
(2)
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，△ABE与△ABC同高为AD，因此：
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×24=12\mathrm{cm}^2$。
(3)
∵EF⊥AC，∠BAC=90°即AB⊥AC，
∴EF//AB，又E为BC中点，故EF是△ABC的中位线：
$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$。
(4)△ACE周长：$C_{△ACE}=AC+CE+AE$，△ABE周长：$C_{△ABE}=AB+BE+AE$，
∵CE=BE，AE为公共边，
∴周长差=$C_{△ACE}-C_{△ABE}=AC-AB=8-6=2\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$AD=4.8\mathrm{cm}$；(2)$12\mathrm{cm}^2$；(3)3cm；(4)2
【知识点】
面积法求线段长、三角形中线性质、中位线定理
【点评】
本题是三角形章节的基础综合题，结合直角三角形的特征考查了多个基础知识点，解题时可灵活选用等面积法、线段性质等简化计算，有助于巩固三角形相关性质的应用。
【难度系数】
0.7

13.【分类讨论思想】在等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$边上的中线$BD$把$△ ABC$的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长和底边长。

13. 解:设腰 $AB=AC=x$, 则 $AD=\frac{1}{2}x=CD$. (1)当 $AB+AD=15$ 时, $x+\frac{1}{2}x=15$, 解得 $x=10. \therefore AB=AC=10,AD=CD=5. BC=6-CD=1$. 此时三边长是 10,10,1, $\because 10+1＞10, \therefore$ 能构成三角形. (2)当 $AB+AD=6$ 时, $x+\frac{1}{2}x=6$, 解得 $x=4, \therefore AB=AC=4$, $AD=CD=2,BC=15-CD=13$. 此时三边长是 4,4,13, $\because 4+4＜13, \therefore$ 不能构成三角形. 综上所述, 这个三角形的底边长是 1,腰长是 10.

【分析】
本题是等腰三角形中中线分周长的问题，解题思路如下：首先明确BD是AC边上的中线，因此AD=CD=½AC；题目未说明15和6分别对应哪部分周长，因此需要分两种情况讨论：①AB+AD=15，BC+CD=6；②AB+AD=6，BC+CD=15。求出边长后，必须根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合条件的情况，最终得到正确的腰长和底边长。
【解析】
设等腰三角形的腰长$AB=AC=x$，
∵BD是AC边上的中线，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}x$。
分两种情况讨论：
(1) 当$AB+AD=15$时：
$x+\frac{1}{2}x=15$，
解得$x=10$，
∴$AB=AC=10$，$AD=CD=5$，
∴底边长$BC=6-CD=6-5=1$。
此时三角形三边长为10，10，1，
∵$10+1＞10$，满足三角形三边关系，能构成三角形。
(2) 当$AB+AD=6$时：
$x+\frac{1}{2}x=6$，
解得$x=4$，
∴$AB=AC=4$，$AD=CD=2$，
∴底边长$BC=15-CD=15-2=13$。
此时三角形三边长为4，4，13，
∵$4+4＜13$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况。
【答案】
腰长为10，底边长为1
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的典型易错题，解题关键在于结合中线性质分类讨论周长的两种情况，最后一定要用三角形三边关系验证所求边长是否能构成三角形，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6