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12.「2026山东济南期中，★☆」下列说法正确的有（
①单项式$-4^2a^3b^2$的次数是7；
②$-\dfrac{6π x^3 y^2}{7}$的系数是$-\dfrac{6π}{7}$；
③多项式$a^3 - 3ab^2 + 3a^2b - b^2$的项数为4；
④$xy - xy^2 -7$的常数项是7.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
C
）①单项式$-4^2a^3b^2$的次数是7；
②$-\dfrac{6π x^3 y^2}{7}$的系数是$-\dfrac{6π}{7}$；
③多项式$a^3 - 3ab^2 + 3a^2b - b^2$的项数为4；
④$xy - xy^2 -7$的常数项是7.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
12.C ①单项式$-4^2a^3b^2$的次数是5,不是7,故①错误,不符合题意；
②$-\dfrac{6π x^3 y^2}{7}$的系数是$-\dfrac{6π}{7}$,故②正确,符合题意；
③多项式$a^3 - 3ab^2 + 3a^2b - b^2$的项数为4,故③正确,符合题意；
④$xy - xy^2 -7$的常数项是-7,故④错误,不符合题意.
故选 C.
②$-\dfrac{6π x^3 y^2}{7}$的系数是$-\dfrac{6π}{7}$,故②正确,符合题意；
③多项式$a^3 - 3ab^2 + 3a^2b - b^2$的项数为4,故③正确,符合题意；
④$xy - xy^2 -7$的常数项是-7,故④错误,不符合题意.
故选 C.
13.「★☆」把下列各式分别填在相应的大括号里：
$4, \frac{1}{x+2}, \frac{a}{2}+b, π R^2 - π r^2, \frac{1}{3}x^2, 2x-3, -\frac{1}{2}x^2 + yz, a^2 + \frac{1}{a} + 2.$
单项式：$\{ \dots \}.$
多项式：$\{ \dots \}.$
整式：$\{ \dots \}.$
$4, \frac{1}{x+2}, \frac{a}{2}+b, π R^2 - π r^2, \frac{1}{3}x^2, 2x-3, -\frac{1}{2}x^2 + yz, a^2 + \frac{1}{a} + 2.$
单项式：$\{ \dots \}.$
多项式：$\{ \dots \}.$
整式：$\{ \dots \}.$
答案
13.解析 单项式:$\{ 4,\dfrac{1}{3}x^2,\dots \}.$
多项式:$\{ \dfrac{a}{2}+b,πR^2-πr^2,2x-3,-\dfrac{1}{2}x^2+yz,\dots \}.$
整式:$\{ 4,\dfrac{a}{2}+b,πR^2-πr^2,\dfrac{1}{3}x^2,2x-3,-\dfrac{1}{2}x^2+yz,\dots \}.$
多项式:$\{ \dfrac{a}{2}+b,πR^2-πr^2,2x-3,-\dfrac{1}{2}x^2+yz,\dots \}.$
整式:$\{ 4,\dfrac{a}{2}+b,πR^2-πr^2,\dfrac{1}{3}x^2,2x-3,-\dfrac{1}{2}x^2+yz,\dots \}.$
14.「★☆」已知单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$与$-2^2x^2y^2$的次数相同.
(1)求$m$的值.
(2)当$x=-9,y=-2$时,求单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$的值.
(1)求$m$的值.
(2)当$x=-9,y=-2$时,求单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$的值.
答案
14.解析 (1)由题意得,$1+2m-1=2+2$,所以$m=2$.
(2)由(1)知$m=2$,所以$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}=-\dfrac{2}{3}xy^3$,
当$x=-9,y=-2$时,原式$=-\dfrac{2}{3}×(-9)×(-2)^3=-48$.
(2)由(1)知$m=2$,所以$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}=-\dfrac{2}{3}xy^3$,
当$x=-9,y=-2$时,原式$=-\dfrac{2}{3}×(-9)×(-2)^3=-48$.
15.「2026山东烟台期末，★☆」若关于$x$的多项式$-5x^3-(m+2)x^2+(n+3)x-1$不含二次项和一次项，求$m^2-n$的值.
答案
15.解析 $\because -5x^3-(m+2)x^2+(n+3)x-1$不含二次项和一次项,
$\therefore -(m+2)=0,n+3=0$,
解得$m=-2,n=-3$,
$\therefore m^2-n=(-2)^2-(-3)=4+3=7$.
$\therefore -(m+2)=0,n+3=0$,
解得$m=-2,n=-3$,
$\therefore m^2-n=(-2)^2-(-3)=4+3=7$.
16. 核心 素养 创新意识 定义：$f(x,y)$是关于$x,y$的多项式，如果$f(x,y)=f(y,x)$，那么$f(x,y)$叫作“对称多项式”.例如：$f(x,y)=x^2+x+y+y^2$，则$f(y,x)=y^2+y+x+x^2$，显然$f(x,y)=f(y,x)$，所以$f(x,y)=x^2+x+y+y^2$是“对称多项式”.
(1) 试说明$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2) 请写出一个“对称多项式”，并说明理由.
(3) 如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$均为“对称多项式”，那么多项式$f_1(x,y)+f_2(x,y)$一定是“对称多项式”吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请举例说明.
(1) 试说明$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2) 请写出一个“对称多项式”，并说明理由.
(3) 如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$均为“对称多项式”，那么多项式$f_1(x,y)+f_2(x,y)$一定是“对称多项式”吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请举例说明.
答案
16.解析 (1) 因为$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$,
所以$f(y,x)=y^2-2yx+x^2$,
所以$f(x,y)=f(y,x)$,
所以$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2) 答案不唯一,如$f(x,y)=x^3+xy+y^3$.
理由:因为$f(x,y)=x^3+xy+y^3$,
所以$f(y,x)=y^3+yx+x^3$,
所以$f(x,y)=f(y,x)$,
所以$f(x,y)=x^3+xy+y^3$是“对称多项式”.
(3)$f_1(x,y)+f_2(x,y)$一定是“对称多项式”.
理由如下:
因为$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$均为“对称多项式”,
所以$f_1(x,y)=f_1(y,x)$,$f_2(x,y)=f_2(y,x)$,
所以$f_1(x,y)+f_2(x,y)=f_1(y,x)+f_2(y,x)$,
所以$f_1(x,y)+f_2(x,y)$是“对称多项式”.
所以$f(y,x)=y^2-2yx+x^2$,
所以$f(x,y)=f(y,x)$,
所以$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2) 答案不唯一,如$f(x,y)=x^3+xy+y^3$.
理由:因为$f(x,y)=x^3+xy+y^3$,
所以$f(y,x)=y^3+yx+x^3$,
所以$f(x,y)=f(y,x)$,
所以$f(x,y)=x^3+xy+y^3$是“对称多项式”.
(3)$f_1(x,y)+f_2(x,y)$一定是“对称多项式”.
理由如下:
因为$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$均为“对称多项式”,
所以$f_1(x,y)=f_1(y,x)$,$f_2(x,y)=f_2(y,x)$,
所以$f_1(x,y)+f_2(x,y)=f_1(y,x)+f_2(y,x)$,
所以$f_1(x,y)+f_2(x,y)$是“对称多项式”.
