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13[2024江苏连云港中考]【问题情境】
(1)如图(1),圆与大正方形的各边都相切,小正方形是圆的内接正方形,那么大正方形面积是小正方形面积的几倍?小昕将小正方形绕圆心旋转45°(如图(2)),这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
【操作实践】
(2)如图(3),图①是一个对角线互相垂直的四边形,四边a,b,c,d之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作,并将最终图形抽象成图(4).请你结合整个变化过程,直接写出图(4)中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系.
【探究应用】
(3)如图(5),在图(3)中“④”的基础上,小昕将△PDC绕点P逆时针旋转,他发现旋转过程中∠DAP存在最大值.若PE=8,PF=5,当∠DAP最大时,求AD的长.
(4)如图(6),在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边AC和BC上,连接DE,AE,BD.若AC+CD=5,BC+CE=8,求AE+BD的最小值.
(1)如图(1),圆与大正方形的各边都相切,小正方形是圆的内接正方形,那么大正方形面积是小正方形面积的几倍?小昕将小正方形绕圆心旋转45°(如图(2)),这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
2
倍.由此可见,图形变化是解决问题的有效策略.【操作实践】
(2)如图(3),图①是一个对角线互相垂直的四边形,四边a,b,c,d之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作,并将最终图形抽象成图(4).请你结合整个变化过程,直接写出图(4)中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系.
【探究应用】
(3)如图(5),在图(3)中“④”的基础上,小昕将△PDC绕点P逆时针旋转,他发现旋转过程中∠DAP存在最大值.若PE=8,PF=5,当∠DAP最大时,求AD的长.
(4)如图(6),在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边AC和BC上,连接DE,AE,BD.若AC+CD=5,BC+CE=8,求AE+BD的最小值.
答案
(1)
∵圆与正方形ABCD的各边都相切，正方形EFGH是圆的内接正方形，且正方形EFGH在题图(1)的基础上旋转了45°，
∴易得AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF，∠A=90°. 设AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF=m，
∴AB=AD=2m，EF=√(m²+m²)=√2 m，
∴S正方形ABCD=4m²，S正方形EFGH=(√2 m)²=2m²，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍.
(2)PA²+PC²=PB²+PD². 如图(2)，
∵EG⊥FH，
∴a²=OF²+OE²，c²=OG²+OH²，d²=OE²+OH²，b²=OF²+OG²，
∴a²+c²=OF²+OE²+OG²+OH²，b²+d²=OF²+OG²+OE²+OH²，
∴a²+c²=b²+d².
如图(3)，图(4)，结合图形变换，即PA²+PC²=PB²+PD².
(3)如图(5)，
∵将△PDC绕点P逆时针旋转，
∴D在以P为圆心，PD长为半径的圆上运动.
∵A为圆外一个定点，
∴当AD与⊙P相切时，∠DAP最大，
∴PD⊥AD，
∴AD²=AP²-PD². 由(2)中图形变化过程可得AE=DF.
∵PE=8，PF=5，
∴AD²=AP²-PD²=(PE²+AE²)-(PF²+DF²)=PE²+AE²-PF²-DF²=PE²-PF²=8²-5²=39，
∴AD=√39.
(4)如图(6)，将△BDC沿BC翻折，D的对应点为D₁，将△AEC沿AC翻折，E的对应点为E₁，连接D₁E₁，
∴CD=CD₁，CE=CE₁. 再将△ABE₁沿AC方向平移，使A与D₁重合，得△D₁B₁E₂，连接BE₂，E₁E₂.
由翻折和平移可得AE+BD=D₁E₂+BD₁，
∴当E₂,D₁,B三点共线时，AE+BD的值最小，为BE₂的值.
∵AC+CD=5，BC+CE=8，
∴E₁E₂=5，BE₁=8，
∴BE₂=√(BE₁²+E₁E₂²)=√(8²+5²)=√89，
∴AE+BD的最小值为√89.
解析
【分析】
(1) 可设大正方形边上被小正方形顶点分成的等线段长为m，分别求出大、小正方形的边长，计算面积后即可得到两者的倍数关系，旋转后小正方形顶点恰好在大正方形各边中点，能简化计算。
(2) 对角线互相垂直的四边形的四边均可利用勾股定理用对角线被分成的线段表示，对比对边平方和即可得到等量关系，再结合图形变换的对应性，就能得到矩形内点P引出的四条线段的数量关系。
(3) 旋转△PDC时，点D的运动轨迹是以P为圆心、PD为半径的圆，根据圆的性质，当AD与圆相切时∠DAP最大，此时△APD为直角三角形，结合得到的线段关系代入已知PE、PF的长度即可求出AD。
(4) 可通过翻折、平移变换，将AE和BD转化为共端点的两条线段，根据两点之间线段最短，三点共线时两条线段的和最小，再用勾股定理计算最小值即可。
【解析】
(1)
∵圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，将小正方形绕圆心旋转45°后，可得AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF，∠A=90°。设AE=DE=…=BF=m，
∴大正方形边长AB=AD=2m，小正方形边长EF=√(m²+m²)=√2 m，
∴S大正方形=(2m)²=4m²，S小正方形=(√2 m)²=2m²，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍。
(2) 对于图(2)中对角线互相垂直的四边形：
∵EG⊥FH，
∴a²=OF²+OE²，c²=OG²+OH²，d²=OE²+OH²，b²=OF²+OG²，
∴a²+c²=OF²+OE²+OG²+OH²，b²+d²=OF²+OG²+OE²+OH²，即a²+c²=b²+d²。
结合图形变换的对应关系，可得图(4)中PA²+PC²=PB²+PD²。
(3) 将△PDC绕点P逆时针旋转时，点D在以P为圆心，PD长为半径的圆上运动，点A是圆外定点。
根据圆的性质，当AD与⊙P相切时，∠DAP最大，此时PD⊥AD，即△APD为直角三角形，
∴AD²=AP²-PD²。
由(2)的图形变换过程可得AE=DF，已知PE=8，PF=5，
∴AD²=AP²-PD²=(PE²+AE²)-(PF²+DF²)=PE²-PF²=8²-5²=39，
∵AD＞0，
∴AD=√39。
(4) 如图，将△BDC沿BC翻折，D的对应点为D₁，将△AEC沿AC翻折，E的对应点为E₁，再将△ABE₁沿AC方向平移，使A与D₁重合，得△D₁B₁E₂，连接BE₂、E₁E₂。
由翻折和平移的性质可得AE=D₁E₂，BD=BD₁，即AE+BD=D₁E₂+BD₁。
根据两点之间线段最短，当B、D₁、E₂三点共线时，AE+BD的值最小，最小值为BE₂的长度。
已知AC+CD=5，BC+CE=8，可得E₁E₂=AC+CD₁=AC+CD=5，BE₁=BC+CE₁=BC+CE=8，且∠BE₁E₂=90°，
∴BE₂=√(BE₁²+E₁E₂²)=√(8²+5²)=√89，即AE+BD的最小值为√89。
【答案】
(1) 2
(2) PA²+PC²=PB²+PD²
(3) AD=√39
(4) AE+BD的最小值为√89
【知识点】
勾股定理，图形的变换，最值问题
【点评】
本题以几何图形变换为线索层层递进，从基础的面积计算到线段关系探究，再到最值的应用，综合考查了正方形性质、勾股定理、圆的切线性质、图形平移翻折的性质等知识，引导学生掌握通过图形转化简化复杂几何问题的方法，对综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
(1) 可设大正方形边上被小正方形顶点分成的等线段长为m，分别求出大、小正方形的边长，计算面积后即可得到两者的倍数关系，旋转后小正方形顶点恰好在大正方形各边中点，能简化计算。
(2) 对角线互相垂直的四边形的四边均可利用勾股定理用对角线被分成的线段表示，对比对边平方和即可得到等量关系，再结合图形变换的对应性，就能得到矩形内点P引出的四条线段的数量关系。
(3) 旋转△PDC时，点D的运动轨迹是以P为圆心、PD为半径的圆，根据圆的性质，当AD与圆相切时∠DAP最大，此时△APD为直角三角形，结合得到的线段关系代入已知PE、PF的长度即可求出AD。
(4) 可通过翻折、平移变换，将AE和BD转化为共端点的两条线段，根据两点之间线段最短，三点共线时两条线段的和最小，再用勾股定理计算最小值即可。
【解析】
(1)
∵圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，将小正方形绕圆心旋转45°后，可得AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF，∠A=90°。设AE=DE=…=BF=m，
∴大正方形边长AB=AD=2m，小正方形边长EF=√(m²+m²)=√2 m，
∴S大正方形=(2m)²=4m²，S小正方形=(√2 m)²=2m²，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍。
(2) 对于图(2)中对角线互相垂直的四边形：
∵EG⊥FH，
∴a²=OF²+OE²，c²=OG²+OH²，d²=OE²+OH²，b²=OF²+OG²，
∴a²+c²=OF²+OE²+OG²+OH²，b²+d²=OF²+OG²+OE²+OH²，即a²+c²=b²+d²。
结合图形变换的对应关系，可得图(4)中PA²+PC²=PB²+PD²。
(3) 将△PDC绕点P逆时针旋转时，点D在以P为圆心，PD长为半径的圆上运动，点A是圆外定点。
根据圆的性质，当AD与⊙P相切时，∠DAP最大，此时PD⊥AD，即△APD为直角三角形，
∴AD²=AP²-PD²。
由(2)的图形变换过程可得AE=DF，已知PE=8，PF=5，
∴AD²=AP²-PD²=(PE²+AE²)-(PF²+DF²)=PE²-PF²=8²-5²=39，
∵AD＞0，
∴AD=√39。
(4) 如图，将△BDC沿BC翻折，D的对应点为D₁，将△AEC沿AC翻折，E的对应点为E₁，再将△ABE₁沿AC方向平移，使A与D₁重合，得△D₁B₁E₂，连接BE₂、E₁E₂。
由翻折和平移的性质可得AE=D₁E₂，BD=BD₁，即AE+BD=D₁E₂+BD₁。
根据两点之间线段最短，当B、D₁、E₂三点共线时，AE+BD的值最小，最小值为BE₂的长度。
已知AC+CD=5，BC+CE=8，可得E₁E₂=AC+CD₁=AC+CD=5，BE₁=BC+CE₁=BC+CE=8，且∠BE₁E₂=90°，
∴BE₂=√(BE₁²+E₁E₂²)=√(8²+5²)=√89，即AE+BD的最小值为√89。
【答案】
(1) 2
(2) PA²+PC²=PB²+PD²
(3) AD=√39
(4) AE+BD的最小值为√89
【知识点】
勾股定理，图形的变换，最值问题
【点评】
本题以几何图形变换为线索层层递进，从基础的面积计算到线段关系探究，再到最值的应用，综合考查了正方形性质、勾股定理、圆的切线性质、图形平移翻折的性质等知识，引导学生掌握通过图形转化简化复杂几何问题的方法，对综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
