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1. [2026亳州模拟]如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$∠ BAD=∠ CAE$,要使$△ ABC$与$△ ADE$相似,还需要满足下列条件中的 (
A.$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$
B.$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
A
)A.$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$
B.$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
答案
1.A
2. 已知在△ABC中，∠A=78°, AB=4, AC=6,则下列选项中阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（
B
）答案
2.B
3.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在AC,AB边上,且AD:AC=1:3,AE=BE,则有(
A.△AED∽△BED
B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD
D.△BAD∽△BCD
B
)A.△AED∽△BED
B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD
D.△BAD∽△BCD
答案
3.B 【点拨】设等边三角形 ABC 的边长为 3a. 根据题意可知$AE=\frac{3}{2}a,AD=a,CD=2a,\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{\frac{3}{2}a}{3a}=\frac{1}{2},\frac{AD}{CD}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{AD}{CD}$.易知$∠A=∠C=60^{\circ },\therefore △ AED∽ △ CBD$.故选 B.
4. 新题型 条件开放题 在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，在$△ DEF$中，$DE=3$，$DF=4$，要使$△ ABC ∽ △ DEF$，需添加的一个条件是
∠A=∠D(答案不唯一)
.(写一种即可)答案
4.$∠A=∠D$(答案不唯一)
5.如图，已知点B,C在线段AD上，且AB=9,CD=4,△PBC是边长为6的等边三角形.求证:△ABP∽△PCD.
答案
5.【证明】$\because △ PBC$是等边三角形，
$\therefore PB=PC=6,∠ PBC=∠ PCB=60^{\circ },$
$\therefore ∠ ABP=∠ DCP=120^{\circ }.$
$\because \frac{PB}{CD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{AB}{PC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2},$
$\therefore \frac{PB}{CD}=\frac{AB}{PC},\therefore △ ABP∽ △ PCD.$
$\therefore PB=PC=6,∠ PBC=∠ PCB=60^{\circ },$
$\therefore ∠ ABP=∠ DCP=120^{\circ }.$
$\because \frac{PB}{CD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\frac{AB}{PC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2},$
$\therefore \frac{PB}{CD}=\frac{AB}{PC},\therefore △ ABP∽ △ PCD.$
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=1$,$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,在AC边上截取$AD=BC$,连接BD.
(1)通过计算,判断$AD^2$与$AC· CD$的大小关系;
(2)求$∠ ABD$的度数.
(1)通过计算,判断$AD^2$与$AC· CD$的大小关系;
(2)求$∠ ABD$的度数.
答案
6.【解】(1)$\because AD=BC,BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\therefore AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$
$\because AC=1,\therefore CD=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$
$\therefore AC· CD=1× \frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$
$\because AD^{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2},$
$\therefore AD^{2}=AC· CD.$
(2)$\because AD=BC,AD^{2}=AC· CD,$
$\therefore BC^{2}=AC· CD,即\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}.$
又$\because ∠ C=∠ C,\therefore △ BCD∽ △ ACB.$
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC},∠ DBC=∠ A.\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{BC}=1.$
$\therefore BD=BC=AD.\therefore ∠ A=∠ ABD,∠ C=∠ BDC.$
设$∠ A=x,则∠ DBC=∠ ABD=x,$
$\therefore ∠ C=∠ BDC=2x,∠ ABC=2x.$
$\because ∠ A+∠ ABC+∠ C=180^{\circ },$
$\therefore x+2x+2x=180^{\circ },$
解得$x=36^{\circ },即∠ ABD=36^{\circ }.$
$\because AC=1,\therefore CD=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$
$\therefore AC· CD=1× \frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$
$\because AD^{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2},$
$\therefore AD^{2}=AC· CD.$
(2)$\because AD=BC,AD^{2}=AC· CD,$
$\therefore BC^{2}=AC· CD,即\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}.$
又$\because ∠ C=∠ C,\therefore △ BCD∽ △ ACB.$
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC},∠ DBC=∠ A.\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{BC}=1.$
$\therefore BD=BC=AD.\therefore ∠ A=∠ ABD,∠ C=∠ BDC.$
设$∠ A=x,则∠ DBC=∠ ABD=x,$
$\therefore ∠ C=∠ BDC=2x,∠ ABC=2x.$
$\because ∠ A+∠ ABC+∠ C=180^{\circ },$
$\therefore x+2x+2x=180^{\circ },$
解得$x=36^{\circ },即∠ ABD=36^{\circ }.$
7. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$,D为AC上任一点,F为AB的中点,连接BD,E在BD上,且满足$CD^2=DE· BD$,连接EF,CE,则EF的最小值为 (
A.$\sqrt{3}-1$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
A
)A.$\sqrt{3}-1$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
7.A 【点拨】在$△ CED$和$△ BDC$中,$\because CD^{2}=DE· BD,$
$\therefore \frac{CD}{DB}=\frac{DE}{DC}.又\because ∠ EDC=∠ CDB,\therefore △ CDE∽ △ BDC.$
$\therefore ∠ DEC=∠ DCB=90^{\circ }.\therefore ∠ BEC=90^{\circ }.$如
,取 BC 的中点 Q,连接 EQ, FQ, 则$EQ=\frac{1}{2}BC=1.\because F$为 AB 的中点,$\therefore$易得$FQ=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$. 当且仅当 E,F,Q 三点共线时,EF 的值最小,最小值为$\sqrt{3}-1$. 故选 A.8. 如图，将$□ ABCD$绕点A逆时针旋转得到$□ AEFG$，使点E落在边BC上，且点D是FG的中点，若$\frac{AB}{AD}=\frac{4}{5}$，则$\frac{BE}{CE}$的值为
$\frac{8}{17}$
。答案
8.$\frac{8}{17}$ 【点拨】$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AB=CD$,$AD=BC. \because □ ABCD$ 绕点 A 逆时针旋转得到$□ AEFG$,$\therefore AB=AE=GF,AD=AG,∠ BAD=∠ EAG$. 设$AB=GF=4a$,则$BC=AD=5a. \because D$ 是 FG 的中点,$\therefore DG=\frac{1}{2}GF=2a. \because AB=AE,AD=AG,∠ BAD=∠ EAG,\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AG}$,$∠ BAE=∠ DAG.\therefore △ ABE∽ △ ADG.\therefore \frac{BE}{DG}=\frac{AB}{AD},即\frac{BE}{2a}=\frac{4a}{5a}$,解得$BE=\frac{8}{5}a.\therefore CE=BC-BE=\frac{17}{5}a.\therefore \frac{BE}{CE}=\frac{8}{17}.$
