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1. 求代数式 $0.2a - ( \frac{1}{2}c^2 - abc ) - \frac{1}{5}(a - 2.5c^2)$ 的值，其中 $a = -\frac{1}{6}, b = 2, c = 9.$
答案
1. 原式$=0.2a - 0.5c^2 + abc - 0.2a + 0.5c^2 = abc.$ 因为$a=-\frac{1}{6},b=2,c=9,$所以原式$=-\frac{1}{6}×2×9=-3.$
2. 已知$A=3a^2b - ab^2$，$B=ab^2 + 5a^2b$。当$a=\frac{1}{3}$，$b=-\frac{1}{2}$时，求代数式$5A - 3B$的值。
答案
2. 因为$A=3a^2b - ab^2,B=ab^2 + 5a^2b,$所以$5A - 3B=5(3a^2b - ab^2) - 3(ab^2 + 5a^2b)=15a^2b - 5ab^2 - 3ab^2 - 15a^2b=-8ab^2.$ 因为$a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{2},$所以$5A - 3B=-8×\frac{1}{3}×(-\frac{1}{2})^2=-\frac{2}{3}.$
3. 若$x+2y=1$,则代数式$(3x+y)-(2x-y-5)$的值是 (
A.1
B.5
C.6
D.$\frac{1}{2}$
C
)A.1
B.5
C.6
D.$\frac{1}{2}$
答案
3. C 解析:因为$x+2y=1,$所以原式$=3x+y-2x+y+5=x+2y+5=1+5=6.$
4. 若$a+3=b+2=c+6$,求代数式$(a-b)^2+(b-c)^2-(c-a)^2$的值.
答案
4. 因为$a+3=b+2=c+6,$所以$a-b=-1,b-c=4,$$c-a=-3,$所以原式$=(-1)^2 + 4^2 - (-3)^2=8.$
5. 新素养 运算能力 已知$a+b=5,ab=-1$，求代数式$(3ab - 2a^2b^2 -5b)-(5a -2a^2b^2 -2ab)$的值。
答案
5. 因为$a+b=5,ab=-1,$所以原式$=3ab - 2a^2b^2 -5b -5a + 2a^2b^2 + 2ab=5ab -5(a+b)=5×(-1)-5×5=-30.$
6. 若$m^2 + 2mn = -56$，$n^2 + 2mn = 9$，则代数式$m^2 - n^2$的值为
-65
。答案
6. $-65$ 解析:因为$m^2 + 2mn=-56,n^2 + 2mn=9,$所以原式$=(m^2 + 2mn)-(n^2 + 2mn)=-56 -9=-65.$
7. 若$x^2+xy=10,y^2-xy=3$,求代数式$2x^2+3xy-y^2$的值.
答案
7. 因为$x^2 + xy=10,y^2 - xy=3,$所以原式$=2x^2 + 2xy + xy - y^2=2(x^2 + xy)-(y^2 - xy)=2×10 - 3=17.$
8. 若$x^2 + x - 2 = 0$，则代数式$x^4 + x^3 + 2x + 2026$的值为
2030
。答案
8. $2030$ 解析:因为$x^2 + x - 2=0,$所以$x^2 + x=2,$所以原式$=x^2(x^2 + x) + 2x + 2026=2x^2 + 2x + 2026=2(x^2 + x) + 2026=2×2 + 2026=2030.$
9. 已知 $x^2 - x - 1 = 0$，求代数式 $x^{2026} - x^{2025} - x^{2023} - x^{2021} - x^{2019} - \dots - x^3 - x$ 的值。
答案
9. 因为$x^2 - x - 1=0,$所以$x^2 - x=1,$所以原式$=x^{2024}(x^2 - x) - x^{2023} - x^{2021} - x^{2019} - \dots - x^3 - x= x^{2024} - x^{2023} - x^{2021} - x^{2019} - \dots - x^3 - x = x^{2022} · (x^2 - x) - x^{2021} - x^{2019} - \dots - x^3 - x = x^{2022} - x^{2021} - x^{2019} - \dots - x^3 - x = \dots = x^4 - x^3 - x = x^2(x^2 - x) - x = x^2 - x = 1.$
10. 已知$(x^2 - x + 1)^3 = a_6x^6 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0.$
（1）求$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$的值；
（2）求$a_5 + a_3 + a_1$的值。
（1）求$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$的值；
（2）求$a_5 + a_3 + a_1$的值。
答案
10. （1）因为$(x^2 - x + 1)^3 = a_6x^6 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0,$所以令$x=0,$得$a_0=1;$令$x=1,$得$a_6 + a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0=1,$所以$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6=0.$
（2）因为$(x^2 - x + 1)^3 = a_6x^6 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0,$所以令$x=-1,$得$a_6 - a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_0=27.$ 因为$a_6 + a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0=1,$所以两式相减,得$2(a_5 + a_3 + a_1)=-26,$所以$a_5 + a_3 + a_1=-13.$
（2）因为$(x^2 - x + 1)^3 = a_6x^6 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0,$所以令$x=-1,$得$a_6 - a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_0=27.$ 因为$a_6 + a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0=1,$所以两式相减,得$2(a_5 + a_3 + a_1)=-26,$所以$a_5 + a_3 + a_1=-13.$
