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1 教材P45例1·改编（2026·贵州遵义期末）已知$x_1$，$x_2$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个实数根，则$x_1x_2$的值为(
A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
B
)。A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$
答案
1.B
2（2025·广东广州荔湾区期中）如果$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两个实数根，那么$x_1 + x_2$的值是（
A.$-2$
B.$3$
C.$2$
D.$-3$
C
）。A.$-2$
B.$3$
C.$2$
D.$-3$
答案
2.C
3 教材P45例2·变式（2025·盐城建湖期中）已知$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + kx -6=0$的一个根，则另一个根是（
A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x=-4$
D.$x=4$
A
）。A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x=-4$
D.$x=4$
答案
3.A
4(2026·盐城亭湖区月考)若$α,β$是方程$x^2 + 2x - 2025 = 0$的两个实数根,则$α^2 + 3α + β$的值为(
A.2022
B.$-2023$
C.2023
D.2027
C
).A.2022
B.$-2023$
C.2023
D.2027
答案
4.C
5（2025·连云港期中）已知一元二次方程的两根分别是3和-5，则这个一元二次方程是（
A.$x^2 - 2x + 15 = 0$
B.$x^2 + 2x - 15 = 0$
C.$x^2 - x - 6 = 0$
D.$x^2 - 2x - 15 = 0$
B
）。A.$x^2 - 2x + 15 = 0$
B.$x^2 + 2x - 15 = 0$
C.$x^2 - x - 6 = 0$
D.$x^2 - 2x - 15 = 0$
答案
5.B
6(2026·上海浦东新区月考)以$\sqrt{5}+1$和$\sqrt{5}-1$为根，且二次项系数为1的一元二次方程的一般式为
$x^2 - 2\sqrt{5}x +4=0$
。答案
6.$x^2 - 2\sqrt{5}x +4=0$
7 教材P46习题T1·改编（2026·上海虹口区期末）已知$x_1,x_2$为一元二次方程$x^2 - \sqrt{2}x - 2025 = 0$的两个实数根，则$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2}$的值为________。
答案
7.$-\dfrac{4052}{2025}$
8（2026·无锡宜兴月考）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx - 2 = 0$，若$x=-1$是方程的一个根，则方程的另一根是
$x=2$
。答案
8.$x=2$
9 设 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2 = 0 $ 的两个实数根，且 $ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8 $，则 $ m $ 的值为
$1$
。答案
9.1
解析：$\because x_1 ,x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $x^2 - 2(m +1)x + m^2 + 2 = 0$ 的两个实数根，$\therefore x_1 + x_2 = 2(m + 1)$，$x_1x_2 = m^2 + 2$。$\because (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$，$\therefore x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 8$，$\therefore m^2 + 2 + 2(m + 1) + 1 = 8$，解得 $m=1$ 或 $m=-3$。
$\because b^2 -4ac =4(m+1)^2 -4(m^2 +2)=8m -4≥0$，解得 $m≥ \dfrac{1}{2}$，$\therefore m=1$。
易错警示 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是由一元二次方程根与系数的关系得出 $x_1 + x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+2$，从而根据已知得到关于$m$的方程，注意最后要由求得的$m$值检验原方程是否有实数根，避免多解。
解析：$\because x_1 ,x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $x^2 - 2(m +1)x + m^2 + 2 = 0$ 的两个实数根，$\therefore x_1 + x_2 = 2(m + 1)$，$x_1x_2 = m^2 + 2$。$\because (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$，$\therefore x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 8$，$\therefore m^2 + 2 + 2(m + 1) + 1 = 8$，解得 $m=1$ 或 $m=-3$。
$\because b^2 -4ac =4(m+1)^2 -4(m^2 +2)=8m -4≥0$，解得 $m≥ \dfrac{1}{2}$，$\therefore m=1$。
易错警示 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是由一元二次方程根与系数的关系得出 $x_1 + x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+2$，从而根据已知得到关于$m$的方程，注意最后要由求得的$m$值检验原方程是否有实数根，避免多解。
10 教材P46习题T2·改编 已知关于x的方程$x^2 - 3x - m + 3 = 0$有两个不相等的实数根。
(1)求m的取值范围；
(2)若它的一个实数根是2，求m的值和另一个实数根。
(1)求m的取值范围；
(2)若它的一个实数根是2，求m的值和另一个实数根。
答案
10.(1)$b^2-4ac=9-4×(-m+3)=4m-3$。
$\because$方程有两个不相等的实数根，
$\therefore 4m-3＞0$，则$m＞\dfrac{3}{4}$。
(2)$\because x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}=3$，$x_1 · x_2 = \dfrac{c}{a}=-m+3$，
$\therefore 2+x_2=3$，$2x_2=-m+3$，$\therefore x_2=1$，$m=1$。
$\because$方程有两个不相等的实数根，
$\therefore 4m-3＞0$，则$m＞\dfrac{3}{4}$。
(2)$\because x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}=3$，$x_1 · x_2 = \dfrac{c}{a}=-m+3$，
$\therefore 2+x_2=3$，$2x_2=-m+3$，$\therefore x_2=1$，$m=1$。
11 已知一元二次方程$x^2 -14x +48=0$的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长为
$20$
。答案
11.20
12（南京师大附中自主招生）若方程$(x-1)(x^2 - 2x + m)=0$的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则$m$的取值范围为
$\dfrac{3}{4}＜m≤1$
。答案
12.$\dfrac{3}{4}＜m≤1$
13（湖北荆门龙泉高级中学自主招生）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 3 = 0$有实数根。
(1)求实数$k$的取值范围；
(2)当$k=2$时，方程的根为$x_1,x_2$，求代数式$(x_1^2 + 2x_1 -1)(x_2^2 +4x_2 +3)$的值。
(1)求实数$k$的取值范围；
(2)当$k=2$时，方程的根为$x_1,x_2$，求代数式$(x_1^2 + 2x_1 -1)(x_2^2 +4x_2 +3)$的值。
答案
13.(1)$\because$方程有实数根，$\therefore b^2-4ac=(2k-1)^2-4(k^2-3)≥0$，解得$k≤\dfrac{13}{4}$。
(2)当$k=2$时，方程化为$x^2+3x+1=0$，
$\therefore x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=1$。
$\because x_1,x_2$是方程的解，$\therefore x_1^2+3x_1+1=0$，$x_2^2+3x_2+1=0$，
$\therefore x_1^2+3x_1=-1$，$x_2^2+3x_2=-1$，
$\therefore$原式$=(-1-x_1-1)(-1+x_2+3)=-(x_1+2)(x_2+2)$
$=-[x_1x_2+2(x_1+x_2)+4]=-(1-6+4)=1$。
(2)当$k=2$时，方程化为$x^2+3x+1=0$，
$\therefore x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=1$。
$\because x_1,x_2$是方程的解，$\therefore x_1^2+3x_1+1=0$，$x_2^2+3x_2+1=0$，
$\therefore x_1^2+3x_1=-1$，$x_2^2+3x_2=-1$，
$\therefore$原式$=(-1-x_1-1)(-1+x_2+3)=-(x_1+2)(x_2+2)$
$=-[x_1x_2+2(x_1+x_2)+4]=-(1-6+4)=1$。
