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1 益智拼图游戏“俄罗斯方块”于1984年诞生，不久后风靡全球.某校数学兴趣小组通过收集资料，发现该拼图游戏含有七种不同的基本形状，每种形状都由四个大小相同的小方块组成.他们用这些方块形状，去任意框选如图所示的某月月历中的数字，则能使被框选的4个数字之和等于86的形状可能是 （
D
）答案
1. D
解析
【分析】
首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻数字相差1（右边数字比左边大1），同一列相邻数字相差7（下面数字比上面大7），所有日期均为1~31的正整数。解题时我们对每个选项的方块形状，选择其中一个位置的数字设为未知数x，根据形状的相对位置表示出其余3个数字，再根据4个数字之和为86列一元一次方程求解，若解为正整数且对应所有日期都在1~31范围内、位置符合月历排布规则，则该形状符合要求。
【解析】
依据月历数字规律对各选项逐一分析：
其余选项对应的形状列方程求解后，要么解不是正整数，要么对应日期超出1~31的有效范围，或位置不符合月历排布规则，均不满足要求；
对D选项对应的形状，以横排四格为例，设最左边数字为x，则四个数分别为$x、x+1、x+2、x+3$，根据和为86列方程：
$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=86$
整理得$4x+6=86$，解得$x=20$，对应四个日期为20、21、22、23，均为有效日期，符合月历排布规则，满足要求。
综上只有D选项符合条件。
【答案】
D
【知识点】
月历数字规律；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合经典游戏与生活中的月历场景出题，趣味性较强，核心考查利用一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是熟练掌握月历中的数字排列规律，通过列方程验证解的合理性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻数字相差1（右边数字比左边大1），同一列相邻数字相差7（下面数字比上面大7），所有日期均为1~31的正整数。解题时我们对每个选项的方块形状，选择其中一个位置的数字设为未知数x，根据形状的相对位置表示出其余3个数字，再根据4个数字之和为86列一元一次方程求解，若解为正整数且对应所有日期都在1~31范围内、位置符合月历排布规则，则该形状符合要求。
【解析】
依据月历数字规律对各选项逐一分析：
其余选项对应的形状列方程求解后，要么解不是正整数，要么对应日期超出1~31的有效范围，或位置不符合月历排布规则，均不满足要求；
对D选项对应的形状，以横排四格为例，设最左边数字为x，则四个数分别为$x、x+1、x+2、x+3$，根据和为86列方程：
$x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=86$
整理得$4x+6=86$，解得$x=20$，对应四个日期为20、21、22、23，均为有效日期，符合月历排布规则，满足要求。
综上只有D选项符合条件。
【答案】
D
【知识点】
月历数字规律；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合经典游戏与生活中的月历场景出题，趣味性较强，核心考查利用一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是熟练掌握月历中的数字排列规律，通过列方程验证解的合理性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2 如图①所示为某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字形框在月历中任意框出5个数.
（1）若$a_1=6$，则$a_2=$
（2）用含$a$的式子表示$a_1,a_4$.
（3）在移动“凹”字形框的过程中，小龙认为被框住的5个数之和可能为26，小翼认为被框住的5个数之和可能为101，他们的想法正确吗？请说明理由.
（1）若$a_1=6$，则$a_2=$
13
.（2）用含$a$的式子表示$a_1,a_4$.
（3）在移动“凹”字形框的过程中，小龙认为被框住的5个数之和可能为26，小翼认为被框住的5个数之和可能为101，他们的想法正确吗？请说明理由.
答案
2. (1) 13 (2) $a_1=a-8,a_4=a-6$ (3) 小龙的想法不正确，小翼的想法正确 理由:依题意,得 $a_1=a-8,a_2=a-1,a_4=a-6,a_3=a+1$,则 $a_1+a_2+a_4+a_3+a=a-8+a-1+a-6+a+1+a=5a-14$. 若被框住的 5 个数之和为 101,则 $5a-14=101$,解得 $a=23$,符合题意,所以小翼的想法正确. 若被框住的 5 个数之和为 26,则 $5a-14=26$,解得 $a=8$,此时 $a_1=a-8=8-8=0$,不符合题意,所以小龙的想法不正确.
解析
【分析】
解决本题首先要明确月历的数字规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7（每周7天）。
（1）已知$a_1$的数值，$a_2$和$a_1$在同一列且在$a_1$下一行，用$a_1$加7即可得到结果；
（2）先根据横向规律写出$a_2$、$a_3$和$a$的关系，再结合纵向规律，分别推导$a_1$、$a_4$和$a$的关系；
（3）先把5个数都用含$a$的代数式表示，求和得到总和关于$a$的表达式，再分别令总和等于26和101，解出$a$的值，判断$a$是否符合月历的实际规则，即可判断两人的想法是否正确。
【解析】
（1）月历中同一列相邻两个数相差7，$a_2$在$a_1$正下方，因此$a_2=a_1+7$，当$a_1=6$时，$a_2=6+7=13$；
（2）观察凹字形位置：$a_2$在$a$左侧，同一行相邻数差1，得$a_2=a-1$；$a_1$在$a_2$正上方，同一列差7，因此$a_1=a_2-7=(a-1)-7=a-8$；
同理，$a_3$在$a$右侧，得$a_3=a+1$；$a_4$在$a_3$正上方，因此$a_4=a_3-7=(a+1)-7=a-6$；
（3）先计算5个数的和：
$a_1+a_2+a+a_3+a_4=(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14$
若和为26，则$5a-14=26$，解得$a=8$，此时$a_1=8-8=0$，月历中不存在日期为0的数，不符合实际，因此小龙的想法不正确；
若和为101，则$5a-14=101$，解得$a=23$，此时$a_1=15$，$a_2=22$，$a_3=24$，$a_4=17$，所有数均为1~31之间的正整数，符合月历规则，因此小翼的想法正确。
【答案】
(1) $13$ (2) $a_1=a-8,a_4=a-6$ (3) 小龙的想法不正确，小翼的想法正确，理由见解析。
【知识点】
月历数字规律，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查数字规律探究，解题的关键是掌握月历中数字横向、纵向的差值规律，通过列代数式表示各数，再结合方程求解，注意最终结果要符合月历的实际意义。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确月历的数字规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7（每周7天）。
（1）已知$a_1$的数值，$a_2$和$a_1$在同一列且在$a_1$下一行，用$a_1$加7即可得到结果；
（2）先根据横向规律写出$a_2$、$a_3$和$a$的关系，再结合纵向规律，分别推导$a_1$、$a_4$和$a$的关系；
（3）先把5个数都用含$a$的代数式表示，求和得到总和关于$a$的表达式，再分别令总和等于26和101，解出$a$的值，判断$a$是否符合月历的实际规则，即可判断两人的想法是否正确。
【解析】
（1）月历中同一列相邻两个数相差7，$a_2$在$a_1$正下方，因此$a_2=a_1+7$，当$a_1=6$时，$a_2=6+7=13$；
（2）观察凹字形位置：$a_2$在$a$左侧，同一行相邻数差1，得$a_2=a-1$；$a_1$在$a_2$正上方，同一列差7，因此$a_1=a_2-7=(a-1)-7=a-8$；
同理，$a_3$在$a$右侧，得$a_3=a+1$；$a_4$在$a_3$正上方，因此$a_4=a_3-7=(a+1)-7=a-6$；
（3）先计算5个数的和：
$a_1+a_2+a+a_3+a_4=(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14$
若和为26，则$5a-14=26$，解得$a=8$，此时$a_1=8-8=0$，月历中不存在日期为0的数，不符合实际，因此小龙的想法不正确；
若和为101，则$5a-14=101$，解得$a=23$，此时$a_1=15$，$a_2=22$，$a_3=24$，$a_4=17$，所有数均为1~31之间的正整数，符合月历规则，因此小翼的想法正确。
【答案】
(1) $13$ (2) $a_1=a-8,a_4=a-6$ (3) 小龙的想法不正确，小翼的想法正确，理由见解析。
【知识点】
月历数字规律，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查数字规律探究，解题的关键是掌握月历中数字横向、纵向的差值规律，通过列代数式表示各数，再结合方程求解，注意最终结果要符合月历的实际意义。
【难度系数】
0.7
3 下列说法错误的是 （
A.三个连续正奇数的和能被6整除
B.三个连续正偶数的和能被6整除
C.三个连续正奇数的和能被3整除
D.三个连续正偶数的和能被3整除
A
）A.三个连续正奇数的和能被6整除
B.三个连续正偶数的和能被6整除
C.三个连续正奇数的和能被3整除
D.三个连续正偶数的和能被3整除
答案
3. A
解析
【分析】
要判断四个说法的正误，可采用两种思路：一是用字母表示出三个连续奇数/偶数，计算和后结合整除定义判断；二是用举特例的方法代入具体数值验证，快速排除错误选项。由于连续奇数、连续偶数的相邻两数差都是2，设中间数为未知数时，求和可抵消首尾的常数项，能大幅简化计算。
【解析】
方法一：代数推导法
1. 三个连续正奇数的情况
设中间的正奇数为$a$（$a$为大于1的奇数），则另外两个数为$a-2$、$a+2$，三数之和为：
$(a-2)+a+(a+2)=3a$
和为$3a$，必然能被3整除，因此C选项说法正确；
$a$是奇数，不含因数2，因此$3a$没有因数2，不能被6整除，因此A选项说法错误。
2. 三个连续正偶数的情况
设中间的正偶数为$b$（$b$为大于2的偶数），则另外两个数为$b-2$、$b+2$，三数之和为：
$(b-2)+b+(b+2)=3b$
$b$是偶数，可表示为$b=2k$（$k$为正整数），因此和为$3×2k=6k$，能被6整除，B选项说法正确；
和为$3b$，必然能被3整除，D选项说法正确。
方法二：特例验证法
取连续正奇数1、3、5，和为$1+3+5=9$：9能被3整除，不能被6整除，直接验证A错误、C正确；
取连续正偶数2、4、6，和为$2+4+6=12$：12既能被3整除也能被6整除，验证B、D正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
用字母表示数，整除的判定，奇偶数的性质
【点评】
本题既可以通过代数推导得到普遍结论，也可以用特例法快速验证，适合结合两种方法提高做题效率。其中设中间数表示连续奇偶数的技巧，能简化求和运算，是探究数的规律时常用的方法。
【难度系数】
0.8
要判断四个说法的正误，可采用两种思路：一是用字母表示出三个连续奇数/偶数，计算和后结合整除定义判断；二是用举特例的方法代入具体数值验证，快速排除错误选项。由于连续奇数、连续偶数的相邻两数差都是2，设中间数为未知数时，求和可抵消首尾的常数项，能大幅简化计算。
【解析】
方法一：代数推导法
1. 三个连续正奇数的情况
设中间的正奇数为$a$（$a$为大于1的奇数），则另外两个数为$a-2$、$a+2$，三数之和为：
$(a-2)+a+(a+2)=3a$
和为$3a$，必然能被3整除，因此C选项说法正确；
$a$是奇数，不含因数2，因此$3a$没有因数2，不能被6整除，因此A选项说法错误。
2. 三个连续正偶数的情况
设中间的正偶数为$b$（$b$为大于2的偶数），则另外两个数为$b-2$、$b+2$，三数之和为：
$(b-2)+b+(b+2)=3b$
$b$是偶数，可表示为$b=2k$（$k$为正整数），因此和为$3×2k=6k$，能被6整除，B选项说法正确；
和为$3b$，必然能被3整除，D选项说法正确。
方法二：特例验证法
取连续正奇数1、3、5，和为$1+3+5=9$：9能被3整除，不能被6整除，直接验证A错误、C正确；
取连续正偶数2、4、6，和为$2+4+6=12$：12既能被3整除也能被6整除，验证B、D正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
用字母表示数，整除的判定，奇偶数的性质
【点评】
本题既可以通过代数推导得到普遍结论，也可以用特例法快速验证，适合结合两种方法提高做题效率。其中设中间数表示连续奇偶数的技巧，能简化求和运算，是探究数的规律时常用的方法。
【难度系数】
0.8
4 十位和个位上的数字分别是$a$,$b$的两位数可以表示为$10a+b$,如果这个数能被3整除,那么$a+b$能被3整除.在上述情形成立的条件下,下列用$a$和$b$表示的各数中也一定能被3整除的是（
A.$5a+b$
B.$6a+b$
C.$7a+b$
D.$8a+b$
C
）A.$5a+b$
B.$6a+b$
C.$7a+b$
D.$8a+b$
答案
4. C
解析
【分析】
首先明确已知条件：若两位数$10a+b$能被3整除，则$a+b$一定能被3整除，即$a+b$是3的倍数。要判断四个选项中的式子哪个一定能被3整除，可将每个选项的整式拆分成两部分：一部分是系数为3的倍数的项，另一部分是$(a+b)$，如果两部分都是3的倍数，那么整个式子就是3的倍数，就能被3整除。
【解析】
由题意得，当$10a+b$能被3整除时，$a+b$能被3整除，即$a+b$是3的倍数。
逐个分析选项：
A. $5a+b=4a+(a+b)$，$4a$不一定是3的倍数，因此$5a+b$不一定能被3整除；
B. $6a+b=5a+(a+b)$，$5a$不一定是3的倍数，因此$6a+b$不一定能被3整除；
C. $7a+b=6a+(a+b)$，$6a=3×2a$，是3的倍数，$a+b$也是3的倍数，两个3的倍数相加的和仍是3的倍数，因此$7a+b$一定能被3整除；
D. $8a+b=7a+(a+b)$，$7a$不一定是3的倍数，因此$8a+b$不一定能被3整除。
【答案】
C
【知识点】
1. 整式的变形 2. 能被3整除的数的特征
【点评】
本题解题的核心是灵活运用已知条件，将待判断的整式拆分出已知能被3整除的$(a+b)$，再结合3的倍数的性质判断整体是否为3的倍数，掌握整式的拆分技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：若两位数$10a+b$能被3整除，则$a+b$一定能被3整除，即$a+b$是3的倍数。要判断四个选项中的式子哪个一定能被3整除，可将每个选项的整式拆分成两部分：一部分是系数为3的倍数的项，另一部分是$(a+b)$，如果两部分都是3的倍数，那么整个式子就是3的倍数，就能被3整除。
【解析】
由题意得，当$10a+b$能被3整除时，$a+b$能被3整除，即$a+b$是3的倍数。
逐个分析选项：
A. $5a+b=4a+(a+b)$，$4a$不一定是3的倍数，因此$5a+b$不一定能被3整除；
B. $6a+b=5a+(a+b)$，$5a$不一定是3的倍数，因此$6a+b$不一定能被3整除；
C. $7a+b=6a+(a+b)$，$6a=3×2a$，是3的倍数，$a+b$也是3的倍数，两个3的倍数相加的和仍是3的倍数，因此$7a+b$一定能被3整除；
D. $8a+b=7a+(a+b)$，$7a$不一定是3的倍数，因此$8a+b$不一定能被3整除。
【答案】
C
【知识点】
1. 整式的变形 2. 能被3整除的数的特征
【点评】
本题解题的核心是灵活运用已知条件，将待判断的整式拆分出已知能被3整除的$(a+b)$，再结合3的倍数的性质判断整体是否为3的倍数，掌握整式的拆分技巧是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
5 新考向 探究题 在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为$a$，个位上的数字为$b$，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的和能被11整除.
（1）小智的发现正确吗？请说明理由.
（2）已知一个三位正整数的百位上的数字为$m$，个位上的数字为$n$，十位上的数字是0，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变.若原数大于新数，请写出原数与所得新数的差一定能被哪些自然数整除（1除外）.
（1）小智的发现正确吗？请说明理由.
（2）已知一个三位正整数的百位上的数字为$m$，个位上的数字为$n$，十位上的数字是0，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变.若原数大于新数，请写出原数与所得新数的差一定能被哪些自然数整除（1除外）.
答案
5. (1) 正确 理由:由题意,可得原数$=10a+b$,新数$=10b+a$,所以原数与新数之和为 $10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)$. 所以原数与所得新数的和能被 11 整除. (2) 由题意,可得原数$=100m+n$,新数$=100n+m$,且原数大于新数,所以原数与所得新数的差为 $100m+n-(100n+m)=100m+n-100n-m=99m-99n=99(m-n)$. 所以原数与所得新数的差能被 99 整除. 又因为 $99=1×99=3×33=9×11$,所以原数与所得新数的差一定能被 3,9,11,33,99 整除(1除外)
解析
【分析】
（1）要判断小智的发现是否正确，首先需要用含a、b的代数式分别表示原两位数和交换数位后的新两位数，再计算两数的和，将和整理为含因数11的形式，即可判断其是否能被11整除。
（2）先根据三位数的数位特征，用含m、n的代数式表示原三位数和交换数位后的新三位数，计算两数的差并化简，再将差的常数项分解因数，排除1后即可得到所有能整除这个差的自然数，原数大于新数可保证差为正，m-n为正整数。
【解析】
(1) 小智的发现正确，理由如下：
由题意，原两位正整数可表示为$10a + b$，交换十位与个位数字后的新数可表示为$10b + a$。
两数之和为：$\begin{split}(10a + b) + (10b + a) &= 10a + b + 10b + a \\&= 11a + 11b \\&= 11(a + b)\end{split}$
因为a、b均为整数，所以$a + b$是整数，因此两数的和是11的倍数，能被11整除，故小智的发现正确。
(2) 由题意，原三位正数十位为0，可表示为$100m + n$，交换百位与个位数字后的新数可表示为$100n + m$。
已知原数大于新数，两数的差为：
$\begin{split}(100m + n) - (100n + m) &= 100m + n - 100n - m \\&= 99m - 99n \\&= 99(m - n)\end{split}$
因为原数大于新数，所以$m ＞ n$，m、n均为正整数，因此$m - n$是正整数，两数的差是99的倍数。
又因为$99 = 3 × 33 = 9 × 11 = 1 × 99$，排除1后，原数与新数的差一定能被3、9、11、33、99整除。
【答案】
(1) 正确，理由见解析；
(2) 3、9、11、33、99
【知识点】
列代数式表示多位数，整式的加减运算，数的整除判定
【点评】
本题属于数论类探究题，通过用代数式表示多位数，结合整式加减运算化简结果，进而分析代数式的整除特性，考查了逻辑推理能力和代数表示的应用意识，解题的关键是正确掌握不同数位的数的代数表示方法。
【难度系数】
0.7
（1）要判断小智的发现是否正确，首先需要用含a、b的代数式分别表示原两位数和交换数位后的新两位数，再计算两数的和，将和整理为含因数11的形式，即可判断其是否能被11整除。
（2）先根据三位数的数位特征，用含m、n的代数式表示原三位数和交换数位后的新三位数，计算两数的差并化简，再将差的常数项分解因数，排除1后即可得到所有能整除这个差的自然数，原数大于新数可保证差为正，m-n为正整数。
【解析】
(1) 小智的发现正确，理由如下：
由题意，原两位正整数可表示为$10a + b$，交换十位与个位数字后的新数可表示为$10b + a$。
两数之和为：$\begin{split}(10a + b) + (10b + a) &= 10a + b + 10b + a \\&= 11a + 11b \\&= 11(a + b)\end{split}$
因为a、b均为整数，所以$a + b$是整数，因此两数的和是11的倍数，能被11整除，故小智的发现正确。
(2) 由题意，原三位正数十位为0，可表示为$100m + n$，交换百位与个位数字后的新数可表示为$100n + m$。
已知原数大于新数，两数的差为：
$\begin{split}(100m + n) - (100n + m) &= 100m + n - 100n - m \\&= 99m - 99n \\&= 99(m - n)\end{split}$
因为原数大于新数，所以$m ＞ n$，m、n均为正整数，因此$m - n$是正整数，两数的差是99的倍数。
又因为$99 = 3 × 33 = 9 × 11 = 1 × 99$，排除1后，原数与新数的差一定能被3、9、11、33、99整除。
【答案】
(1) 正确，理由见解析；
(2) 3、9、11、33、99
【知识点】
列代数式表示多位数，整式的加减运算，数的整除判定
【点评】
本题属于数论类探究题，通过用代数式表示多位数，结合整式加减运算化简结果，进而分析代数式的整除特性，考查了逻辑推理能力和代数表示的应用意识，解题的关键是正确掌握不同数位的数的代数表示方法。
【难度系数】
0.7
