三、解答题（共52分）
12.（12分）解方程：
(1) $\frac{x+1}{4x^2 -1} = \frac{3}{2x+1} - \frac{4}{4x -2}$；
(2) $\frac{1}{x+3} - \frac{2}{3 -x} = \frac{12}{x^2 -9}$。

(1) 去分母，得$2(x+1)=6(2x-1)-4(2x+1)$，
去括号，得$2x+2=12x-6-8x-4$，
移项、合并同类项，得$-2x=-12$，
解得$x=6$，
检验：当$x=6$时，$2(2x+1)(2x-1)≠0$，
$\therefore x=6$是分式方程的解。
(2) 去分母，得$x-3+2(x+3)=12$，
去括号，得$x-3+2x+6=12$，
移项，合并同类项，得$3x=9$，
系数化为1，得$x=3$，
经检验：$x=3$不是原方程的解，
$\therefore$原分式方程无解。

13. (12分)已知关于$x$的方程$\frac{2}{x+4}=\frac{m}{x}$与方程$\frac{3}{2x}-\frac{1}{x-1}=0$的解相同，求$m^2 - 2m$的值。

$\because \frac{3}{2x}-\frac{1}{x-1}=0$，$\therefore 3(x-1)-2x=0$，
解得$x=3$。检验：当$x=3$时，$2x(x-1)≠0$，
$\therefore x=3$是原方程的解。
把$x=3$代入$\frac{2}{x+4}=\frac{m}{x}$，得$\frac{2}{7}=\frac{m}{3}$，
解得$m=\frac{6}{7}$。
$\therefore m^2-2m=\frac{36}{49}-\frac{12}{7}=-\frac{48}{49}$。

14. (12分)[2024扬州]为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾？

设B型机器每天处理$x$吨垃圾，
则$\frac{500}{x+40}=\frac{300}{x}$，解得$x=60$。
经检验，$x=60$是所列方程的根。
$\therefore$B型机器每天处理60吨垃圾。

15.（16分）新考向 传统文化 钧瓷是河南省禹州市独有的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，是我国五大名瓷之一.某校为了推行中原文化进校园，准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用.经了解，茶壶的单价比茶杯的单价高100元，用100元购买茶杯的数量和用600元购买茶壶的数量相同.
（1）求茶壶和茶杯的单价.
（2）学校准备购买5个茶壶和若干个茶杯（茶杯数量大于5个），某钧瓷店为了宣传助学，特推出两种优惠方案.方案一：买一个茶壶送一个茶杯；方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售，问学校选择哪种方案购买更省钱？

(1)设茶壶的单价为$x$元，则茶杯的单价为$(x-100)$元，由题意得$\frac{100}{x-100}=\frac{600}{x}$，解得$x=120$。
经检验，$x=120$是原方程的解，且符合题意，
$\therefore x-100=120-100=20$。
$\therefore$茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元。
(2)设学校购买$m$个茶杯$(m＞5)$。
方案一的费用为$5×120+20(m-5)=(20m+500)$元，
方案二的费用为$0.9×(5×120+20m)=(18m+540)$元。
当$20m+500=18m+540$时，$m=20$；
当$20m+500＞18m+540$时，$m＞20$；
当$20m+500＜18m+540$时，$m＜20$。
综上，当购买20个茶杯时，两种方案的费用一样；当购买茶杯个数大于20个时，方案二省钱；当购买茶杯个数大于5个且小于20个时，方案一省钱。