10. 如图, 在 $△ AOB$ 和 $△ EOF$ 中, $∠ AOB = ∠ EOF = 90°, OA = OB, OE = OF$, 连接 $AE,BF$.
(1)求证:$AE=BF$;
(2)判断 $AE$ 与 $BF$ 的位置关系,并证明你的结论.

10. (1)【证明】$\because ∠AOB=∠EOF=90°,$
$\therefore ∠AOE=90°-∠BOE,∠BOF=90°-∠BOE,$
$\therefore ∠AOE=∠BOF.$
$\therefore 在△ AEO与△ BFO中,\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOE=∠BOF, \\ OE=OF, \end{cases}$
$\therefore △ AEO≌△ BFO(\mathrm{SAS}),\therefore AE=BF.$
(2)【解】$AE⊥BF.$
证明:如图,延长 $AE$ 交 $OB$ 于点 $C$,交 $BF$ 于点 $D$,则 $∠ACO=∠BCD.$
$\because △ AEO≌△ BFO,\therefore ∠OAC=∠OBF.$
在$△ ACO$和$△ BCD$中,$∠ACO=∠BCD,∠OAC=∠CBD,$
$\therefore ∠BDC=∠AOC=90°,$
$\therefore AE⊥BF.$

11.[2025石家庄校级期中] 如图,在△ABC中,∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6,D为AB的中点,点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动.同时点Q在线段CA上以每秒a(a＞0)个单位的速度由点C向点A运动.设运动时间为t s(0≤t≤3).
(1)线段PC=(用含t的代数式表示);
(2)当点P,Q的运动速度相等,t=1时,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
(3)若△BDP≌△CQP,求a的值.

11. 【解】(1)$6-2t$
(2)$△ BPD≌△ CQP.$
理由:$\because D$为$AB$的中点,$AB=8,\therefore DB=\frac{1}{2}AB=4.$
$\because$点$P,Q$的运动速度相等,$t=1$,
$\therefore BP=CQ=2,\therefore CP=4=BD.$
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C.$ 在$△ BPD$和$△ CQP$中,$\begin{cases} BD=CP, \\ ∠B=∠C, \\ BP=CQ, \end{cases}$$\therefore △ BPD≌△ CQP.$
(3)$\because △ BDP≌△ CQP,\therefore BP=PC,BD=CQ,$
$\therefore 2t=6-2t,at=4,解得\ t=\frac{3}{2},a=\frac{8}{3}.$

12. 为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的中线，延长$AD$到$M$，使$DM=AD$，连接$BM$。
【探究发现】
(1)如图①，$AC$与$BM$的数量关系是，位置关系是；
【初步应用】
(2)如图②，在$△ ABC$中，若$AB=10$，$AC=6$，求$BC$边上的中线$AD$的取值范围；
【探究提升】
(3)如图③，$AD$是$△ ABC$的中线，过点$A$分别向外作$AE ⊥ AB$，$AF ⊥ AC$，使得$AE=AB$，$AF=AC$，延长$DA$交$EF$于点$P$，判断线段$EF$与$AD$的数量关系和位置关系，并说明理由。

12. 【解】(1)$AC=BM$;$AC// BM$
(2)如图①,延长 $AD$ 到点 $M$,使 $DM=AD$,连接 $BM$,易知$△ MDB≌△ ADC,\therefore BM=AC=6.$
在$△ ABM$中,$AB-BM＜AM＜AB+BM,$
即$10-6＜AM＜10+6,\therefore 4＜2AD＜16,\therefore 2＜AD＜8.$

(3)$EF=2AD$,$EF⊥AD$. 理由如下:
如图②,延长 $AD$ 到点 $M$,使得 $DM=AD$,连接 $BM$.
易知$△ BDM≌△ CDA,\therefore BM=AC.$
$\because AC=AF,\therefore BM=AF.$
由(1)可知,$AC// BM,\therefore ∠BAC+∠ABM=180°.$
$\because AE⊥AB,AF⊥AC,\therefore ∠BAE=∠FAC=90°,$
$\therefore ∠BAC+∠EAF=180°,$
$\therefore ∠ABM=∠EAF.$
在$△ ABM$和$△ EAF$中,$\begin{cases} AB=EA, \\ ∠ABM=∠EAF, \\ BM=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ EAF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AM=EF,∠BAM=∠E.$
$\because AD=DM,\therefore AM=2AD,\therefore EF=2AD.$
$\because ∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE,$
$\therefore ∠APE=∠BAE=90°,\therefore EF⊥AD.$